Szögek kiszámítása Szögek kiszámítása

Ebben a cikkben megnézzük a szögek kiszámítását. Megfelelő képleteket és példákat is megadunk. Ez a cikk a matematika középszintjének része.

A matematikában számos képlet létezik a szögek kiszámításához. Az alábbiakban csak a szögek kiszámításához kapcsolódó témaköröket soroljuk fel, amelyekkel az alábbiakban részletesebben foglalkozunk, és megfelelő képleteket és példákat is adunk. A témákhoz:

A trigonometrikus függvények sin, cos és tan
Szinusz törvény és koszinusz törvény
A háromszög és a négyzet szögeinek összege
Számítsa ki a vágási szöget

1. A trigonometrikus függvények sin, cos és tan

A szögfüggvények felhasználhatók a szögek kiszámításához. A szög kiszámításához a szinusz, a koszinusz és az érintő függvényeket csak derékszögű háromszögeken szabad használni. A következő ábra egy ilyen háromszöget mutat be. Ezután belemegyünk a szögek kiszámításába:

Ez derékszögű háromszög volt. Ezen a ponton emlékeznie kell néhány kifejezésre. Ezek újra és újra megjelennek a számításban. Néhány tulajdonságot érdemes megjegyezni:

Jobb oldalon, a háromszög alján derékszöget rajzoltunk
A bal alsó sarokban lévő szöget α-nak jelöljük (beszélt: alfa)
Az "a" oldalt ellentétes katétának nevezzük, mert az α szöggel szemben helyezkedik el
A "b" oldalt szomszédosnak nevezzük, mert az α szögben fekszik
A "c" oldalt hipotenusznak nevezzük

A szomszédos, ellentétes és hipotenusz kifejezéseket már ismernie kell a pitagoraszi tételből. A szög kiszámításának első módja a szinusz. A következő matematikai összefüggés érvényes:

Az alfa (α) esetében fokokban használt szöget használunk, például 20 vagy 40 fokot.
A szemközti kathéta és a hipotenusz hosszát ugyanabban az egységekben kell használni, például mindent metrikusan kell behelyezni.
A számológépet DEG (fok) értékre kell állítania, különben rossz eredményt kap.
Ha ki akarja számolni a szöget, akkor az arcsinnal kell dolgoznia (lásd a példákat)

1. példa (szinusz):
A szemközti kathéta hossza 3 cm (a = 3 cm), a hipotenusz hossza 5 cm (c = 5 cm). Mekkora az α (alfa) szög?

Jobbra görgethető táblázat

Magyarázat a számításhoz: Helyezze a számokat a szinuszegyenletbe. Ezután kiszámítják a jobb oldali felosztást. Sinα = 0,6 fokot kap. Most jön az érdekes rész: Ahhoz, hogy megszabadulj a bűntől, használnod kell az arcsint. Tehát be kell mennie a számológépbe arcsin 0,6 belép. Ez 36,78 fokos szöget eredményez (ha a számológépet fokozatra állítja).

Kozin/Kozin:

A szinusz után a koszinuszra/koszinuszra jutunk. A képlet így néz ki:

2. példa (koszinusz):

A szomszédos katéter hossza 3 cm (b = 3 cm), a hipotenusz hossza 5 cm (c = 5 cm). Mekkora az α (alfa) szög?

Jobbra görgethető táblázat

Megjegyzés a koszinusszal történő számításhoz: Helyezze a számokat a koszinusz-egyenletbe. Ezután kiszámítják a jobb oldali felosztást. Cosα = 0,6 fokot kap. Most jön az érdekes rész: Ahhoz, hogy megszabadulj a cos-tól, használnod kell az arccókat. Tehát be kell mennie a számológépbe arccos 0,6 belép. Ez 53,13 fokos szöget eredményez (ha a számológépet fokozatra állítja).

A szinusz és a koszinusz után az érintő funkció be van kapcsolva. Itt is először a képlet:

3. példa (érintő):

A szomszédos kathéta hossza 3 cm (b = 3 cm), a szemközti katéter hossza pedig 3 cm (a = 3 cm). Mekkora az α (alfa) szög?

Jobbra görgethető táblázat

Csatlakoztassa a számokat az érintőegyenletbe. Ezután kiszámítják a jobb oldali felosztást. Tanα = 1 értéket kap. Most jön az érdekes rész: A barnulás megszabadulásához arctant kell használnia. Tehát be kell mennie a számológépbe arctan 1.0 belép. Ez 45 fokos szöget eredményez (ha a számológépet fokozatra állítja).

2. A szinusz törvénye és a koszinusztörvény

A trigonometria során a szinuszok törvénye kapcsolatot létesít egy általános háromszög szöge és az ellenkező oldalak között. A szinusz arány képletei a következő grafikára utalnak:

Szinusz törvény képletek:

Minden háromszögben a két oldal hossza úgy viselkedik, mint az ellentétes szög szinuszértékei:

A szinuszok törvényét gyakran arányegyenletként fogalmazzák meg:

Ismertek az a = 5 cm, b = 4 cm hosszúságok és az α = 70 fokos szög. A β szöget ki kell számítani.

Megoldás: Az információkat a szövegből vesszük és beillesztjük a képletbe (az alábbi magyarázatok).

Átalakítjuk a képletet bűnre (β), majd beillesztjük az értékeket. Az arcsin keresztül utólag megkapjuk a szöget.

A trigonometria során a koszinuszok törvénye kifejezi a három oldal és a háromszög szöge közötti kapcsolatot. A koszinusz-törvény képletei a következő ábrára utalnak:

Kozinusz törvény képletek:

A trigonometria során a koszinuszok törvénye összeköti a háromszög három oldalát a háromszög három szögének egyikével. Ennek képlete így néz ki:

A = 11, b = 10 és c = 13. Adjuk meg az α szöget. A következőkben láthatja a feladat megoldását, az alábbiakban olvasható magyarázatok:

Először úgy rendezzük át a képletet, hogy cos (α) az egyenlet egyik oldalán, az összes többi információ pedig a másikon legyen. Ezután beszúrjuk az értékeket és kiszámoljuk az információkat. Utolsó dolog az arccók használata a szög megszerzéséhez.

3. A háromszög és a négyzet szögeinek összege

Kezdjük egy háromszöggel. Ennek három oldala és három szöge van. A következő ábra bemutatja, hogyan néz ki egy háromszög:

A következő a szögek szempontjából érdekes: A háromszög összes szögének összege 180 fok. Ez azt jelenti, hogy:

Példa: Tudja, hogy az alfa szög 60 fok, a béta szög 90 fok. Ekkor a gamma szögnek 30 fokosnak kell lennie, mert 60 fok + 90 fok + 30 fok = 180 fok.

Kezdjük a négyzet meghatározásával: A négy vonallal körülvett sík alakot négyzetnek nevezzük. A négy vonalat a tér oldalainak nevezzük. Ha két oldal egymás mellett van, akkor közös sarokpontjuk van. Az A, B, C és D nagybetűket általában ezekhez a sarokpontokhoz rendelik. Ezenkívül matematikailag pozitív értelemben szögeket rajzolnak a négyzetbe. Ezek az α (ejtsd: alfa), β (ejtsd béta), γ (ejtsd: gamma) és δ (ejtsd: delta). A négyzetet alkotó vonalakat a, b, c és d betűkkel is jelöljük.

A következő ábra a négyzetet mutatja:

A négyzet tulajdonságai:

hatálya: Az összes vonalhossz összegét a négyzet kerületének nevezzük.
- hatálya = a + b + c + d

Szögösszeg: Ha összeadja az összes belső szög összegét - lásd a fenti ábrát - 360 fokot kap, mint egy kör
- Szögösszeg = 360 ° = α + β + γ + δ

információ: Egy négyzetnek négy sarka, négy belső szöge és négy szegmense van.

4. Számítsa ki a vágási szöget

A vektorszámítás a szögekkel történő számításról is szól. A következőkben megvizsgáljuk, hogyan lehet kiszámítani a két egyenes metszésszögét, valamint az egyenes és a sík közötti metszés szögét.

Vágási szög két egyenes:

Lehet, hogy a legtöbb ember számára teljesen logikusnak tűnik, de a teljesség kedvéért meg kell adni egy feltételt a két egyenes metszésszögének kiszámításához: a két egyenesnek egyáltalán kereszteznie kell. Ha két egyenesünk van a térben, amelyek nem kereszteznek sehol, értelmetlen számolni nekik a metszésszöget. Hacsak a feladatban nincs kifejezetten megadva, hogy két egyenes keresztezi egymást, ezt maga ellenőrizheti (lásd cikkünket Két egyenes metszéspontja).

Ha most meg van győződve arról, hogy van kereszteződési pont, akkor most elkezdheti a metszésszög kiszámítását. Először egy kis grafika, majd a szög kiszámításának képlete:

Képlet a vágási szög kiszámításához:

A g1 és g2 egyenesek direction metszési szögét a megfelelő irányvektorokkal a következőképpen számítjuk:

Fontos: Az arccos használata előtt állítsa a számológépet DEG vagy DEGREE értékre.

A következőkben két egyenes közötti metszésszöget kell kiszámítani. Megjegyzés: Két vonal kereszteződése című cikkünkben már bemutattuk, hogy a két vonal egyáltalán metszik egymást.

Vágási szög: egyenesen a síkhoz

Ebben a szakaszban meg kell tanulnia, hogyan kell kiszámítani az egyenes és a sík közötti metszésszöget. Először átadjuk az általános képletet és egy példát a jobb megértéshez.

Képlet: Az egyenes és a sík metszésszöge

Megjegyzés: A számítás különösen könnyen elvégezhető, ha a sík koordináta formában van megadva. Szükség esetén szintet is átalakíthat. Lásd: Paraméteres egyenlet konvertálása egyenlet koordinálására.

Adott egy E sík és egy egyenes g. Ki kell számolni a sík és az egyenes metszésszögét.

Megoldás: Kivesszük a normálvektort a síkból, majd az összes szükséges információt beillesztjük az egyenletbe a szög kiszámításához.