A kvantummechanika emlékeztet az analitikai mechanikára

Ezek az oldalak nagyon röviden felidézik a klasszikus és analitikai mechanikát, hogy képet alkothassanak az elemi részecskék standard modelljéről.

Hivatkozhat a Wikipedia összes cikkére vagy más webhelyekre, amelyek tovább vihetnek.

Az analitikai mechanika célja a newtoni mechanika egyszerűsítése és általánosítása, különösen olyan rendszerekben, ahol a mozgások korlátozások vagy zavarok alá esnek.

E problémák szemléltetésére a kényszer klasszikus tanulságos esete, amely egyszerűen megoldható, a kettős inga.
Az analitikai mechanika lehetővé teszi a problémát bonyolító ismeretlenek figyelmen kívül hagyását korlátozás nélküli koordináták használatával.

A zavarok elmélete a matematika területe, amely abból a kontextusból áll, hogy közelebbi megoldást lehet találni az egyenletre egy egyszerűbb probléma megoldásától kezdve.

Például közelítő megoldást keresünk egy $ E_ \ lambda $ egyenletre, a $ \ lambda $ paramétertől függően, tudván, hogy a $ E_0 $ egyenlet megoldása, amely megfelel a $ \ lambda = 0 $ értéknek, pontosan ismert.

Áttekintés

Az analitikai mechanika egy komplex rendszer szabadságfokainak alakulását vizsgálja, és már nem támaszkodik Newton anyagi pontjára, az úgynevezett konfigurációs térben

A konfigurációs tér a lehetséges pozíciók halmaza, amelyet ez a rendszer elérhet.
A helyzet és a lendület ekkor kifejeződik ebben a konfigurációs térben, és elvezet minket a Lagrange és Hamilton egyenletekhez.

Ez egy variációs módszer, amely nem határozza meg minden pillanatban a részecske mozgását, de ahol feltételként megadjuk az egész mozgáshoz tartozó integrált, hogy szélsőséges legyen: minimális (vagy szélső) hosszúságú görbét keresünk, más szóval geodéziát.

Általános koordináták, amelyek nem feltétlenül felelnek meg a derékszögű koordinátáknak, innen ered a nevük, - relatív pozíciók, de szögek is ... - a korlátoktól független koordináták, és egyértelműen meghatározzák a rendszer mechanikai állapotát, amely támogatja a kényszereket.

Kettős ingamozgás Ezeket a koordinátákat $ q_i $, $ \ $ és $ n \ leqslant 3N $ jelöléssel látjuk el, ahol N a rendszer leírására használt pontok száma.
A mozgás ezeknek a koordinátáknak a differenciálegyenletével kiszámítható.

A kettős inga esetében csak két független változó, a $ \ theta_1 $ és $ \ theta_2 $ szögek elegendőek a rendszer mozgásának leírására: ezt a két általánosított koordinátát csak 6-mal vesszük figyelembe a a két tömeg.

Lagrangi fogalmazás

Ezután használhatjuk a Joseph-Louis Lagrange-ről (1736–1813) elnevezett Lagrangian-mechanikát.

Lagrangi mechanikában, a dinamikus rendszer Lagrangian $ \ mathcal L [\ varphi_i] $ értéke a dinamikus változók függvénye, amely lehetővé teszi a rendszer mozgásegyenleteinek tömör megírását.

Ha a részecskék általános koordinátái $ \ _ $ és sebességeik, $ \ _ i \> _ $ és $ \ dot_i = \ dfrac $, akkor a függvény kiírása: $ \ mathcal L (q_i, \ dot_i, t ) $
Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) A rendszer művelete ekkor a $ t_1 $ és a $ t_2 $ idők között $ q (1) $ és $ q (2) $ között van, amelyek a kezdeti és a végső értékek az általánosított koordináták közül: $ S = \ int \ korlátozza _ ^ \; L (q_i, \ dot_i, t) dt $.

A variációs elv (a legkevesebb cselekvés elve) feltételezi az integrál pályára számított szélsőséges jellegét.

Ez a funkció csak a pozíciótól és a sebességtől függ (2. sorrendben, az idő függvényében)
Figyelembe veszi az egyes koordináták kezdeti és végső helyzetét (és az időt), és nem a kezdeti helyzeteket és sebességeket.

Vegyünk két lehetséges pályát $ q (1) $ és $ q (2) $ között, az első $ q_i (t) $, a második csak $ \ delta q_i (t) $ -ot változik az előzőtől. Ugyanazt a kezdő és végső pozíciót betartó pályák: $ \ delta q (1) = \ delta q (2) = 0 $.

A művelet $ \ delta S $ változata: $ \ delta S = \ int \ korlátozza _ ^ \; (L (q_i + \ delta q_i, \ dot_i + \ dot_it, t) -L (q_i, \ dot_i, t)) dt $.
Fejlesztésével (vö. Bemutató) a következőket találjuk: $ \ dfrac \ left (\ dfrac_i> \ right) = \ dfrac $, ha $ (1 \ leqslant i \ leqslant n) $, vagyis az Euler-Lagrange egyenletek.

Ha az általánosított koordináták megfelelnek a derékszögű koordinátáknak, akkor: $ \ nabla_L = d \ nablaL/dt $, a laplaci operátorok bevonásával a részecskék helyzetére és sebességére.