A Sierpinski-háromszög mindenütt jelenléte - a tudomány spektruma

A Sierpinski-háromszög mindenütt jelenléte

Furcsa számok, furcsa alakzatok: ez részben vonzóvá teszi a matematikát. Még furcsább - és vonzóbb - a matematikára jellemző meglepő összefüggések. Újra és újra kiderül, hogy azok a dolgok, amelyeknek semmi köze egymáshoz, szorosan összefüggenek egymással. Az egyik kedvenc példám erre a Sierpinski háromszög (kép lent). Ez - Benoît Mandelbrot terminológiájában - egy fraktál: az egész alak olyan részekre bontható, amelyek az egész kisebb másolatai. De a Sierpinski háromszög összefügg a görbék kettőseivel, Pascal háromszögével, Hanoi tornyaival és a furcsa 466/885 számmal is, amely nagyjából megegyezik 0,52655-tel.

Waclaw Sierpinski (1882–1969) lengyel matematikus 1915-ben leírta háromszögét. Könnyű rajzolni: az egyenlő oldalú háromszöget az oldalak közepének összekapcsolásával osszuk négy háromszögre, majd távolítsuk el a középső háromszöget. Ismételje meg a folyamatot a megmaradt háromszögek mindegyikével. Ha ezt végtelen számú alkalommal végzi, akkor a végeredmény egy olyan görbe lesz, amely minden pontján önmagával találkozik. Ez a geometriai tulajdonság ellentmond annak az elképzelésnek, hogy az ilyen görbéket kezdetben "szörnyeknek" és kórosnak tekintették (Spektrum der Wissenschaft 3/1992, 72. o.). Ha nagyon óvatosan veszi, akkor a Sierpinski görbe minden pontján találkozik önmagával, a kezdő háromszög három sarokpontjának kivételével. De még a szörnyetegségnek ezt a kis hiányát is kiküszöbölte Sierpinski azáltal, hogy háromszögének hat másolatát egy szabályos hatszöggé formálta. A közelmúltban meglepően jelent meg ennek a végtelenül szaggatott alaknak a gyakorlati alkalmazása: antennák (lásd az alábbi keretet).

Sokkal korábban, 1890-ben, Édouard Lucas (1842–1891) francia matematikus felfedezett egy matematikai tételt, amely kapcsolatot teremt Sierpinski görbéje és Pascal híres háromszöge között, amelyben mindegyik szám a felette levő két szám összege. Ezeket a számokat binomiális együtthatóknak is nevezzük. Az n-edik sor k-dik bejegyzése (ahol 0-val kezdődő sorokat és oszlopokat számolunk) az a különböző lehetőségek száma, amelyek alapján n különböző dolog közül választhatunk k-t. Lucas megkérdezte: Pascal háromszögében mely számok párosak és melyek páratlanok? Első pillantásra látható a meghökkentő válasz: A páratlan binomiális együtthatók elrendezése pontosan úgy néz ki, mint a Sierpinski-görbe diszkrét változata (az alábbi kép; lásd még Spektrum der Wissenschaft 8/1993, 10. o.).

Érdekes következtetés, hogy szinte az összes binomiális együttható egyenletes. Vagyis a Pascal-háromszög méretének növekedésével a páratlan és a páros együtthatók aránya megközelíti a 0. David Singmaster, a londoni South Bank Egyetem általánosította ezt az állítást, és bebizonyította, hogy minden m természetes számra szinte az összes binomiális együttható osztható m-vel.

A Sierpinski-háromszög - amelyet akkor még nem hívtak így - ismét megjelenik Édouard Lucas munkájában. 1883-ban Hanoi tornyainak híres rejtvényét "N. Claus" álnéven forgalmazta (a rossz névért a megfelelő betűit rázta). A játék, amelyet az amatőr matematikusok már régóta értékelnek, nyolc (vagy kevesebb) korongból áll, három boton. A három lemezes tok a jobb oldali képen látható. A lemezeket eleinte méretük szerint rendezzük el az egyik rúdon. Az egész köteget most lemezenként kell mozgatni egy másik rúdra, így egy kisebb lemezt soha nem szabad nagyobb korong alá kerülni.

Köztudott, hogy a megoldás rekurzív szerkezetű. Vagyis az n + 1 szelettel rendelkező hanoi puzzle megoldása könnyen levezethető az n szeletet tartalmazó megoldásból. Tegyük fel, hogy tudja, hogyan oldja meg a háromlemezes feladványt, és meg kell találnia a négylemezes megoldást. Először hagyja figyelmen kívül az alsó lemezt, és mozgassa a felső három lemezt egy üres pálcára, követve a háromlemezes rejtvény megoldásának - jól ismert - receptjét. Helyezze a negyedik lemezt a másik szabad pálcára, és ismét a háromlemezes recept alapján halmozza a három felső lemezt a negyedikre.

Geometrikusan ábrázolhatjuk ezt a rekurzív struktúrát - mint minden olyan játékot, amely csak véges számú pozíciót engedélyez és e pozíciók között mozog. Minden megengedett helyzethez sarokot rajzolunk, és minden mozdulathoz élt rajzolunk a két helyzet (vagy azok sarka) között, amelyeket ez a mozdulat egymásra alakít. A teljes eredmény grafikon. Ha, mint ebben az esetben, egy vonat is meg tudja fordítani, akkor az élek nem egyirányú utcák.

Hívja meg az n szelettel rendelkező verzió grafikonját Hn. Hogyan néz ki ez a grafikon? Találkozzunk H3, azaz a grafikon, amely leírja a helyzeteket és mozog a 3 korongos rejtvényben (fenti kép). Az 1-es, 2-es és 3-as lemezt számozzuk, az egyik a legkisebb, a 3 a legnagyobb. Ezután megszámozzuk a sávokat balról jobbra 1-vel, 2-vel és 3-mal. Feltéve, hogy az 1. lemez a 2. sávon van, a 2. lemez az 1. sávon és a 3. lemez a 2. sávon van. A számok egymás után jelzik, hogy az 1., 2. és 3. korong melyik rúdon van. Az a tény, hogy a 3. lemez az 1. lemez alatt van, nem azonnal kiderül ebből az ábrából, hanem a szabályokból következik. A háromlemezes puzzle minden pozíciója megfelel egy ilyen háromjegyű sorrendnek. 3 3 = 27 pozíció van, mert mindegyik lemez bármelyik póluson lehet, a többitől függetlenül.

Melyik mozdulat megengedett a 212. pozícióból? Az egyes botok legkisebb lemezének a tetején kell lennie. Tehát nem tehetjük fel a 2. lemezt a 2. rúdra, mert akkor az a kisebb 1 lemezen fekszik. Csak a 212. pozícióból a 112, 312 és 232 pozíciókba húzhatunk. A grafikon HA 3. ábra az összes lehetséges mozgást mutatja mind a 27 pozícióból. A grafikon három példányából áll H2 háromszögbe rendezve és három éllel összekötve.

Mindegyik grafikon HA 2. ábra hasonlóan három részre oszlik; ez a rekurzív megoldás szerkezetének következménye. Azok az élek, amelyeknek a három példánya HA Connect 2 pontosan azok a lépések, amelyekben a legnagyobb lemezt mozgatja. A három HA 2-grafikonok viszont csak a két legkisebb szelet mozgatásának lehetőségeinek felelnek meg - egy példány a harmadik szelet minden lehetséges helyzetéhez. Ugyanez vonatkozik mindenkire Hn: Három példányból áll Hn-1, amelyek háromszög alakban vannak elrendezve és a sarkokban vannak összekötve. A szeletek számának növekedésével a grafikon egyre jobban hasonlít a Sierpinski görbére.

A grafikon segítségével Hn mindenféle kérdésre válaszolhatunk Hanoi tornyaival kapcsolatban. Például a grafikon láthatóan összekapcsolódik - egy darabból áll; így bármilyen helyzetből bármelyikhez eljuthatunk. A legrövidebb út a szokásos kezdőponttól (a legnagyobb háromszög egyik sarka) a szokásos célpozícióig (egy másik sarok) csak egy a grafikonon kívül, és 2 -1 él. Tehát a rejtvény 2-ben van -1 mozgatható megoldható.

Körülbelül tíz évvel ezelőtt Andreas Hinz müncheni matematikus a Hanoi-tornyok segítségével kiszámította a Sierpinski-görbe bármely két pontja közötti legrövidebb út átlagos hosszát. Hinz bebizonyította, hogy az átlagos mozdulatok száma, amellyel bármelyik pozícióból a másikba kerül, ellentétes (466/885) mikor megy nagy lesz. Ebből következik, hogy a Sierpinski-görbe két pontja közötti átlagos távolság (a görbe mentén) 466/885, ha a kezdő háromszög mindkét oldala 1. A statisztikák rajongói számára Hinz azt is bebizonyította, hogy az egység Sierpinski-görbe két véletlenszerűen kiválasztott pontja közötti távolság szórása pontosan 904808318/14448151575.

Bibliográfia

Négy találkozás Sierpi´nski tömítésével. Írta: Ian Stewart: The Mathematical Intelligencer, 17. évf., 1. kiadás, 52-64. Oldal, 1995.