Bevezetés az m-be; szemiklasszikus módszerek a kvantum káoszban
ahol T a klasszikus mozgás időszaka. Ennek a szabálynak az általánosítása Sommerfeld, Wilson, Schwarzschild és Epstein [37, 3.1. §] által javasolt többdimenziós elválasztható rendszerekre az (1) feltétel bevezetésével minden szabadsági fokhoz túl szigorú maradt, és emellett kiváltságos koordinátarendszert vezetett be a fázistérben . [31] [[56, ennek a munkának a modern kiemeléséhez], lásd] megmutatta, hogy ezt az utolsó nehézséget legyőzhetjük és általánosíthatjuk az előző szabályokat azáltal, hogy integrál invariantusokat hordozó kvantálási feltételeket szabunk meg:
ahol D a szabadság fokainak száma. Ezek a feltételek nemcsak elválasztható rendszerekre vonatkoznak, hanem valójában amint a fázistér fejlődése korlátozott és integrálható marad. Ebben az esetben Liouville tételének [5, 49. §] értelmében a fázistér a D mozgásállandók által felcímkézve torikussá válik. A C minden értékéhez bármelyik D hurok családot kiválaszthatjuk, amelyek az egyes tórusokon C-hez kapcsolódnak és homotópikusan elkülönülnek. A C mennyiségileg megfigyelt értéke ekkor olyan, hogy a (2) feltétel teljesül, és ezért csak diszkrét értékek választják ki őket. Ennek a megfogalmazásnak az volt a nagy érdeme, hogy nemcsak a számszerűsíthető rendszerek osztályát tágította, hanem egy geometriai nyelven is tovább magyarázta, vagyis független a fázistérben kiválasztott koordinátarendszertől. Azonban - és maga Einstein rámutatott - egy ilyen megfogalmazás elvesztette értelmét a nem integrálható rendszerek és különösen az ergodikus rendszerek számszerűsítésére, amelyek ráadásul döntő szerepet játszottak a mikrokanonikus statisztikai fizika alapjaiban.
A [39], [44], [20] és [76] következményeként kiegészítő megközelítés az volt, hogy a Schrödinger-egyenlet közelítő megoldásait közvetlenül konstruálták eikonális technikák alkalmazásával, elsősorban a kvantumkontextuson kívül Debye által kifejlesztett [37, §5.3,]. A (J) WKB elmélet alapgondolata az, hogy a klasszikus mechanikát kvantummechanika közelítéseként kapjuk meg, amikor a De Broglie hullámhossza kicsi a klasszikus skálához képest, ugyanúgy, ahogy a hullámoptikából geometriai optikát találunk, amikor a fény hullámhossza apró. A Schrödinger-egyenlet megoldásának megírásával formában
amikor. Az összeg az összes klasszikus pályára vonatkozik, amelyek q'-t q-hoz kötik egy t időpontban, és a klasszikus cselekvést képviseli a végeinek függvényében. egész szám, amely csak a klasszikus hamiltoni áramlás számának és dimenziójának függvénye .
Így eljutunk a szemiklasszikus elméletek modern problémájának középpontjába. A kvantumállapotokból felépített mennyiségek határértéke akkor egyes, amikor ez a szingularitás azt eredményezi, hogy a (3) és (4) bekezdésben látottal arányos frekvencián oszcillál. Ezután azon gondolkodunk, hogy van-e olyan általánosítás lehetősége, amelyet Van Vleck kapott, aki fix, de a klasszikus cselekvésekhez képest kicsi, lehetővé teszi, hogy kiváló közelítéssel számítson ki egy kvantummennyiséget, amely csak a klasszikus összetevőkből indul ki. Megdöbbentő, hogy negyven év kellett ahhoz, hogy Jeffreys, Kramers, Brillouin, Wentzel és Van Vleck úttörő munkája jelentősen gazdagodjon mind a kvantum, mind a klasszikus dinamika jobb megértésével, valamint tanulmányi területeik bővítésével.
Maslov munkája [48] szigorúbb matematikai alapokat adott a szemiklasszikus közelítéshez, különösen azáltal, hogy jobban kontrollálta a forma helyettesítői által kiváltott hibákat (3). Pontosabban, Maslov megmutatta, hogy a gyorsan oszcilláló kifejezések amplitúdói mindegyike aszimptotikus terjeszkedésként írható le, amelyek domináns kifejezésének vezetése a WKB fentiekben felidézett szemiklasszikus értelmezéséhez vezet. Ezenkívül Feynman által a kvantummechanika [32] megfogalmazása, amelyet közvetlenül a Huygens-Fresnel-elv inspirált [5, 46. §], ennek az elvnek a klasszikus mechanika összefüggésében való megvitatását a következő találja Dirac megjegyzésében, lehetővé teszi számunkra, hogy fizikai szempontból jobban megértsük, miért klasszikus dinamika legalább részben strukturálja a kvantumdinamikát. Valójában gyakran írhatunk kvantummennyiséget egy halmazhoz tartozó fázisok terének útvonala közötti interferencia eredményeként, de nem korlátozva a legkevesebb cselekvés elvének ellenőrzésére. például,