Harmonikus rezgés - Abitur fizika

Kísérlet: rugós inga

Súly (narancssárga doboz) függ egy rugón. Ha lehúzza, majd elengedi, akkor kezd felfelé és lefelé lendülni.

harmonikus

Bal: Rezgés súrlódással
A rezgés energiát veszít a súrlódás miatt, ezért a súly egyre közelebb oszcillál a nyugalmi helyzethez, és végül abbahagyja a rezgést.

Jobb: Rezgés súrlódás nélkül
A súly egyenletesen leng a nyugalmi helyzet körül.

Először súrlódás nélküli rezgéssel fogunk foglalkozni. A súrlódással járó rezgésről további információt a Csillapított rezgés című részben talál.

A rezgés általános meghatározása

A rezgés (más néven oszcilláció) leírja az állapotváltozás menetét, amikor a rendszert egy zavar miatt stabil egyensúlyból hozzák ki, és egy helyreállító erő kényszeríti vissza a kezdeti állapot felé. [. ]

Alkalmazás a rugós ingára

Bal: Stabil egyensúly
A rugó húzóereje (felfelé) és a gravitáció miatti gyorsulás (lefelé) kiegyensúlyozza egymást. A doboz nem mozog.

Jobb: Zavar és taszító erő
Ha a súlyt egy zavar miatt (pl. Kézzel húzva) kihozzák az egyensúlyból, akkor a rugó húzóereje és a gravitáció által okozott gyorsulás között egyensúlyhiány keletkezik.
Az eredményül kapott össztömeg a súlyra hat taszító erő hivatkozott, mert "megpróbálja" visszahajtani a súlyt a kiindulási helyzetbe.

A rezgés általános meghatározása (folytatás)

[. ] Alapvetően egy rendszer rezgése két energiaforma közötti időszakos energiaátalakításon alapul. A rendszer rögzített időintervallum után ismételten végigfut a kezdeti állapoton.

Alkalmazás a rugós ingára

A rugós inga rezgésének pontosabb magyarázatához vegye figyelembe a sebesség a szükséges súly.

A következő észrevehető:

A maximális lehajlásnál
A súly sebessége minimális (\ (0 m/s \)). A helyreállító erő maximális.

A nyugalmi helyzet áthaladásakor
A helyreállító erő minimális (\ (0 N \), mivel a rugóerő és a súlyerő kiegyensúlyozzák egymást). A sebesség maximális.
A súly egyedül mozog rajta tehetetlenség folytatni.

Következtetés
Energiaátalakítás zajlik a rugó potenciális energiája és a súly mozgási energiája között.

A helyreállító erő

A rugó deformálódásakor fellépő erő középiskola óta ismert. Ez:
$$ F = - D \ cdot s $$

Nyugalmi helyzet
\ (F_ = F_G + F_ = F_G - D \ cdot s_1 = 0 \)

Rendellenesség
\ (F_ = F_G + F_ = \ aláhúzás> - D \ cdot s_2 = - D \ cdot s_2 \)

Rezgési differenciálegyenlet

A \ (F = m \ cdot a \) és a (a = \ ddot \) képletek (a gyorsulás az út második deriváltja) segítségével a következő differenciálegyenletet kapjuk:
\ begin F_ & = - D \ cdot s \\ m \ cdot a & = - D \ cdot s \\ m \ cdot \ ddot & = - D \ cdot s \ end Ez az egyenlet megoldható itt nem látható részletesebben leírva.

Rezgésegyenlet

A differenciálegyenlet megoldásával megkapja az oszcillációs egyenletet: $$ s (t) = s_0 \ cdot \ sin (2 \ pi f t + \ phi_0) $$

  • amplitúdó
    Az \ (s_0 \) amplitúdó az oszcilláció maximális elhajlását írja le.
  • Időszak időtartama (rezgési periódus)
    A periódus az az idő, amely eltelt, miközben egy oszcillációs rendszer pontosan egy oszcillációs periódust fut át, vagyis ezt követően ismét ugyanabban a rezgési állapotban van. A (T) periódus reciproka a frekvencia (f), tehát: \ (f = \ frac \).
  • frekvencia
    A \ (f \) frekvencia a teljes rezgések számát mutatja egységenként, és Heinrich Hertz német fizikus szerint mérik Hertzben (\ (Hz = \ dfrac \)).
  • Fázisszög
    A \ (\ phi_0 \) fázisszög jelzi, hogy melyik fázisban kezdődik az oszcilláció. A (z) \ (\ phi_0 = 2 \ cdot \ pi \) fázisszöge egy periódusnak megfelelő eltolásnak felel meg.
    \ (\ Phi_0 = \ frac \ cdot 2 \ cdot \ pi = \ frac \ cdot \ pi \) fázisszög esetén az oszcilláció egy periódus negyedével elmozdulna. (Vagyis a rugó inga felülről indulna)

1. példa:
\ (s_0 = 2 m \), \ (f = \ frac Hz \) és \ (\ phi_0 = 0 \)

Az időszak: $$ T = \ dfrac = \ dfrac Hz> = 10 s $$

Szögfrekvencia

Az oszcilláció egy körmozgás vetületének is felfogható.

Egy ilyen mozgás szögsebessége (\ omega \) már ismert a középszintről: $$ \ omega = 2 \ pi f $$ Megfelel a kék mutató által másodpercenként mért szögnek.

A bal oldali animációban a súly rezeg a \ (f = 0,25 Hz \) frekvenciával, ennek következtében a szögsebesség: $$ \ omega = 2 \ pi f = 2 \ pi \ cdot 0,25 Hz = \ dfrac \ pi Hz $ $ Rezgéseknél azonban a (z) \ (\ omega \) szót használjuk Szögfrekvencia kijelölt.

Az oszcillációs egyenlet most: $$ s (t) = s_0 \ cdot \ sin (\ omega t + \ phi_0) $$

2. példa:
\ (s_0 = 5 m \), \ (\ omega = \ frac \ pi Hz \) és \ (\ phi_0 = \ frac \ cdot 2 \ cdot \ pi = \ frac \ cdot \ pi \)

A frekvencia: $$ f = \ dfrac = \ dfrac \ pi Hz> = \ dfrac Hz $$ Az időszak hossza: $$ T = \ dfrac = \ dfrac Hz> = 4 s $ $

Sebesség és gyorsulás

A sebességfüggvényt \ (\ frac \ pi \) balra tolja az oszcillációs függvényhez képest.
A gyorsulási funkciót \ (1 \ pi \) balra tolja az oszcillációs függvényhez képest.