Hogyan határozhatom meg a másodfokú függvények nulláit

A lineáris és kvadratikus függvények témáiról

Ez a bejegyzés elmagyarázza, hogy egy másodfokú függvény hány gyökérrel rendelkezik és hogyan számítható ki. Két részt talál itt. Az első elmagyarázza, hogy egy négyzetfüggvény hány nullával rendelkezik, a második pedig a másodfokú egyenletek megoldását magyarázza el a p-q vagy az abc képlet segítségével, amelyek segítségével kiszámíthatja a másodfokú függvények nulláit.

Egy kis input

A nullák a függvény fontos pontjai. Fontos szerepet játszanak, különösen az alkalmazási példákban, mivel kiemelkedő pontokat jelölnek meg. Például, ha a labda dobását másodfokú függvény segítségével modellezik, az egyik nulla jelöli azt a pontot, amelyen a földre ér. Ha a hidat másodfokú függvény segítségével modellezik, akkor az azt a pontot jelöli, ahol a híd a talajt érinti.

A másodfokú függvénynek egy, kettő vagy egyáltalán lehet nullája. Ez grafikusan szemléltethető.

Ha egy másodfokú függvénynek csak egy nulla van, akkor a függvény grafikonja csak egyszer metszheti az x tengelyt. Ez csak akkor áll fenn, ha a parabola csúcsa az x tengelyen fekszik. Így a függvény csúcsa megegyezik a függvény nulla értékével.

Ha egy másodfokú függvénynek két nullája van, a parabola kétszer metszi az x tengelyt. Pontosan ez az eset, amikor a felfelé nyíló parabola csúcsa az x tengely alatt fekszik, vagy a lefelé nyíló parabola csúcsa az x tengely felett fekszik.

Ha egy másodfokú függvénynek nincs nulla, a parabola egyáltalán nem metszik az x tengelyt. Pontosan ez az eset, amikor a felfelé nyíló parabola csúcsa az x tengely felett fekszik, vagy a lefelé nyíló parabola csúcsa az x tengely alatt fekszik.

Mivel a parabola függvényértéke a csúcstól mindkét x irányban nő (felfelé nyíló parabolákkal) vagy csökken (lefelé nyíló parabolákkal), legfeljebb két nulla lehet. Mivel egy harmadik nulla esetén a függvényértékeknek valamikor újra csökkenniük kell (felfelé nyitott parabolákkal) vagy növekedniük (lefelé nyitott parabolákkal).

A nulla azt a pontot írja le, amelyen a függvényérték felveszi a ki nulla értéket. Ezért kiszámíthatja, ha megoldja az x egyenletét \ (f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 \). Ennek az egyenletnek a megoldására két képlet létezik p-q- és a abc képlet (gyakran hívják Éjfél Formula kijelölt). Nem számít, melyiket használják, mivel mindkettő ugyanazt eredményezi. Ezért kiválaszthatja, melyiket szereti jobban, vagy melyeket már ismeri az iskolából.

Mind a p-q, mind az abc képletnél először talál egy kihajtható szöveget, amely elmagyarázza ennek a képletnek a levezetését. Itt megtudhatja, hogy a képlet honnan származik és miért működik valójában. Ezután három kihajtható szöveget talál, amelyek különböző példák segítségével magyarázzák a képlet alkalmazását, köztük egy ugyanazon témában található You-Tube videót. Válassza ki azt a magyarázati formát, amelyik jobban tetszik.

A másodfokú függvény gyökének kiszámítása a p-q képlet segítségével:

Ha a \ (x ^ 2 + px + q = 0 \) alakú másodfokú egyenletet meg kell oldani \ (x \) esetén, akkor a p-q képlet használható. Ez úgy érhető el, hogy megoldjuk a fenti (x) egyenletet. Ehhez használja a négyzet kiterjesztését.

1. lépés: Az egyenlet a négyzettel egészül ki, így a \ (\ left (x + \ frac

\ jobbra) ^ 2 = x ^ 2 + px + \ balra (\ frac

\ right) ^ 2 \) jön létre.

2. lépés: A binomiális képletek segítségével binomiál készül.

3. lépés: Az egyenlet megoldva \ (x \).

Magyarázó szövegek

Három különböző példát találhat a másodfokú függvények nulláinak kiszámításához a következő kinyitható szövegek mögött:

Ha a \ (f (x) = - 3x ^ 2-6x-3 \) másodfokú függvény nulláit szeretné kiszámítani, akkor először a függvényegyenletet állítsa be nulla, \ (f (x) = 0 \).

Ezért a következőket kell alkalmazni: \ (- 3x ^ 2-6x-3 = 0 \)

A p-q képlet: \ (x _ = - \ left (> \ right) \ pm \ sqrt \ right) ^ 2-q> \), és megoldja \ (x ^ 2 + px + q \) alakú másodfokú egyenleteket.

A pq képlet használatához a másodfokú egyenletnek \ (f (x) = x ^ 2 + px + q \) formátumúnak kell lennie, vagyis a prefactor \ (a = 1 \) előtt a \ (x ^ 2 \) birtokolni. Ennek elérése érdekében először elosztjuk az egyenletet a prefaktorral \ (a = -3 \)

Most az egyenletnek megvan a kívánt formája, és \ (p = 2 \) és \ (q = 1 \) érvényes. Ha most beillesztjük a p-q képletet, a következőket kapjuk:

Az \ (f \) függvény gyöke tehát a \ (x_1 = x_2 = -1 \) pozíciókban található. Egy minta megerősíti az eredményt:

Mivel a függvénynek csak egy gyöke van, a csúcsnak is az \ (x = -1 \) pontban kell lennie.

Ha ki akarja számítani a \ (f (x) = x ^ 2 + 4x + 3 \) másodfokú függvény nulláit, akkor először a függvényegyenletet nullával állítja be, \ (f (x) = 0 \).

Ezért a következőket kell alkalmazni: \ (x ^ 2 + 4x + 3 = 0 \)

A p-q képlet: \ (x _ = - \ left (> \ right) \ pm \ sqrt> \ right) ^ 2-q> \), és megoldja \ (x ^ 2 + px + q \) alakú másodfokú egyenleteket.

A pq képlet használatához a másodfokú egyenletnek \ (f (x) = x ^ 2 + px + q \) formátumúnak kell lennie, vagyis a prefactor \ (a = 1 \) előtt a \ (x ^ 2 \) van, ami jelen esetben is így van. Ezért: \ (p = 4 \) és \ (q = 3 \)

Ha most beillesztjük a p-q képletet, a következőket kapjuk:

Az \ (f \) függvény gyöke tehát a \ (x_1 = -1 \) és \ (x_2 = -3 \) pozíciókban található. Egy minta megerősíti az eredményt:

Ha a \ (f (x) = 2x ^ 2-8x + 14 \) másodfokú függvény nulláit szeretné kiszámítani, akkor először a függvényegyenletet állítsa be nulla, \ (f (x) = 0 \).

Ezért a következőket kell alkalmazni: \ (2x ^ 2-8x + 14 = 0 \)

A p-q képlet: \ (x _ = - \ left (> \ right) \ pm \ sqrt> \ right) ^ 2-q> \), és megoldja \ (x ^ 2 + px + q \) alakú másodfokú egyenleteket.

Most az egyenletnek megvan a kívánt formája, és \ (p = 2 \) és \ (q = 1 \) érvényes. Ha most beillesztjük a p-q képletet, a következőket kapjuk:

A (z) \ (x_ \) kifejezésre nincs valós megoldás, mivel a negatív szám gyöke nem vonható ki a valósból. Ez azt jelenti, hogy a függvénynek nincs nulla.

Magyarázó videók

És még egy matematikai dal, amely soha nem felejti el a fülbemászó kifejezést:

A másodfokú függvény nullainak számítása az abc képlet segítségével:

Ha az \ (x ^ + bx + c = 0 \) alak másodfokú egyenletét meg kell oldani \ (x \) esetén, akkor az abc képlet használható. Ezt úgy érhetjük el, hogy megoldjuk a fenti (x) egyenletet. Ehhez használja a négyzet kiterjesztését.

1. lépés: Először az \ (x ^ 2 \) előtti \ (a \) tényezőt szüntetjük meg, ha az egyenletet elosztjuk \ (a \).

2. lépés: Az egyenlet a négyzettel egészül ki, így a \ (\ left (x + \ frac\ jobbra) ^ 2 = x ^ 2 +> \ cdot + \ balra (\ frac\ right) ^ 2 \) jön létre.

3. lépés: A binomiális képletek segítségével binomiál készül.

4. lépés: Az egyenlet megoldva \ (x \).

Magyarázó szövegek

Három különböző példát találhat a másodfokú függvények nulláinak kiszámításához a következő kinyitható szövegek mögött:

Ha a \ (f (x) = - 3x ^ 2-6x-3 \) másodfokú függvény nulláit szeretné kiszámítani, akkor először a függvényegyenletet állítsa be nulla, \ (f (x) = 0 \).

Ezért a következőket kell alkalmazni: \ (- 3x ^ 2-6x-3 = 0 \)

Az abc képlet: \ (x _ = \ frac \ pm >> \) és megoldja \ (ax ^ 2 + bx + c \) kvadratikus egyenleteket.

Ebben az esetben \ (a = -3 \), \ (b = -6 \) és \ (c = -3 \) vonatkozik. Az abc képletbe beillesztve az eredmény:

Egy minta megerősíti az eredményt:

Mivel a függvénynek csak egy gyöke van, a csúcsnak is az \ (x = -1 \) pontban kell lennie.

Ha a \ (f (x) = x ^ 2 + 4x + 3 \) másodfokú függvény nulláit szeretné kiszámítani, akkor először a függvényegyenletet állítsa be nulla, \ (f (x) = 0 \).

Ezért a következőket kell alkalmazni: \ (x ^ 2 + 4x + 3 = 0 \)

Az abc képlet: \ (x _ = \ frac \ pm >> \) és megoldja \ (ax ^ 2 + bx + c \) kvadratikus egyenleteket.

Ebben az esetben \ (a = 1 \), \ (b = 4 \) és \ (c = 3 \) érvényes. Az abc képletbe beillesztve az eredmény:

Ennek eredményeként \ (x_1 = \ frac = -1 \) és \ (x_2 = \ frac = -3 \) lesz a nulla. Egy minta megerősíti az eredményt:

Ha ki akarja számítani a másodfokú függvény nulláit (f (x) = 2x ^ 2-8x + 14 \), akkor először a függvényegyenletet nullával állítja be, \ (f (x) = 0 \).

Ezért a következőket kell alkalmazni: \ (2x ^ 2-8x + 14 = 0 \)

Az abc képlet: \ (x _ = \ frac \ pm >> \) és megoldja \ (ax ^ 2 + bx + c \) kvadratikus egyenleteket.

Ebben az esetben \ (a = 2 \), \ (b = -8 \) és \ (c = 14 \) vonatkozik. Az abc képletbe illesztve az eredmény:

Mivel a negatív gyöknek nincs megoldása a valósban, az \ (f \) függvénynek nincs gyöke.

Magyarázó videók

És még egy matematikai dal, amely soha nem felejti el a fülbemászó kifejezést:

A legfontosabb dolgok egy pillanat alatt

Első gyakorlat

Most maga is aktívvá válhat. Oldja meg az alábbi feladatok közül legalább kettőt. Ha még nem tudod megtenni, akkor rendben van. Vizsgálja meg alaposan a mintaoldatot. A „Gyakorlat teszi tökéletessé” részben még több lehetősége van az egész gyakorlására.

1. feladat

Számítsa ki a függvények gyökerét

a) \ (f_1 (x) = 2x ^ 2-8 \)

b) \ (f_2 (x) = \ fracx ^ 2-x + \ frac \)

c) \ (f_3 (x) = 6x ^ 2-12x \)

d) \ (f_4 (x) = x ^ 2-4x-5 \)

2. gyakorlat

Oldja meg a következő egyenleteket.

a) \ (7x ^ 2 + 3x = -5 \)

b) \ (2x ^ 2 = 4-8x \)

c) \ (4 (x ^ 2-1) = 4x + 4 \)

3. feladat

a) Rajzoljon másodfokú függvényt nulla, egy vagy két nullával. Mi teszi őket kiemelkedővé?

b) Számítás nélkül döntse el, hogy a következő függvényeknek van-e egy, kettő vagy nincs nullája.

1. megoldás

a) A nullák \ (x _ = \ pm2 \). A nullák meghatározásához először nullázzuk a függvényt:

\ (f_1 (x) = 2x ^ 2-8 = 0 \)

A nullákat most egyszerű egyenértékű transzformációk, a p-q vagy az abc képlet segítségével lehet meghatározni.

Egyszerű egyenértékű transzformációk:

\ (\ leftrightarrow \) \ (2x ^ 2 = 8 \) | \ (+ 8 \)

\ (\ leftrightarrow \) \ (x ^ 2 = 4 \) | \ (: 2 \)

Ennek eredményeként \ (x_1 = 2 \) és \ (x_2 = -2 \)

p-q képlet:

Ennek eredményeként \ (x_1 = 2 \) és \ (x_2 = -2 \)

abc képlet:

Ennek eredményeként \ (x_1 = 2 \) és \ (x_2 = -2 \)

b) A függvénynek nincs nulla. Ennek meghatározásához először nullázzuk a függvényt:

Az egyenlet megoldható a p-q vagy az abc képlet segítségével.

p-q képlet:

Mivel a negatív szám gyökének nincs reális megoldása, az egyenletnek nincs megoldása és a függvénynek tehát nulla.

abc képlet:

Mivel a negatív szám gyökének nincs reális megoldása, az egyenletnek nincs megoldása és a függvénynek tehát nulla.

c) A nullák \ (x_1 = 0 \) és \ (x_2 = 2 \). A nullák meghatározásához először nullázzuk a függvényt:

A nullákat most egyszerű egyenértékű transzformációk, a p-q vagy az abc képlet segítségével lehet meghatározni.

Egyszerű egyenértékű transzformációk:

\ (\ leftrightarrow \) \ (x ^ 2-2x = 0 \) | \ (X \) kizárása

Egy termék akkor és akkor nulla, ha a két tényező egyike nulla. A (z) \ (\ cdot \) termék akkor és csak akkor nulla, ha \ (x_1 = 0 \) vagy \ ((x_2-2) = 0 \) \ (\ leftrightarrow \) \ (x_2 = 2 \)

p-q képlet:

Ez azt jelenti, hogy \ (x_1 = 1-1 = 0 \) és \ (x_2 = 1 + 1 = 2 \)

abc képlet:

d) A nulla (k) meghatározásához először nulla értékre állítjuk a függvényt:

p-q képlet:

Ez azt jelenti, hogy \ (x_1 = 2 + 3 = 5 \) és \ (x_2 = 2-3 = -1 \)

abc képlet:

2. megoldás

a) Az egyenletet először \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \) és \ (x ^ 2 + px + q = 0 \) formába helyezzük, hogy aztán az abc vagy a p-q képlettel megoldjuk.

\ (7x ^ 2 + 3x = -5 \) | \ (+ 5 \)

Megoldás a p-q képlettel:

A másodfokú egyenletnek nincs valós megoldása.

Megoldás az abc képletet használva:

A másodfokú egyenletnek nincs valós megoldása.

b) Az egyenletet először \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \) és \ (x ^ 2 + px + q = 0 \) formába helyezzük, hogy aztán az abc vagy a p-q képlettel megoldjuk.

\ (2x ^ 2 = 4-8x \) | \ (- 3 \)

\ (\ leftrightarrow \) \ (2x ^ 2-4 = -8x \) | \ (+ 8x \)

Megoldás a p-q képlettel:

Megoldás az abc képletet használva:

c) Az egyenletet először \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \) és \ (x ^ 2 + px + q = 0 \) formába helyezzük, hogy aztán az abc vagy a p-q képlettel megoldjuk.

\ (4 (x ^ 2-1) = 4x + 4 \) | \ (- 3x \)

\ (\ leftrightarrow \) \ (4x ^ 2-4-4x = 4 \) | \ (- 4 \)

Megoldás a p-q képlettel:

Megoldás az abc képletet használva:

3. megoldás

a)

A függvények csúcsaik helyzetében különböznek egymástól. Két esetet különböztetünk meg: egy parabola nyílik felfelé és egy parabola nyílik lefelé.

Hazugság nincs nulla előtt,…

tehát a csúcs az x tengely felett van, amikor a parabolák felfelé nyílnak.

tehát a csúcs az x tengely alatt van, amikor a parabolák lefelé nyílnak.

Hazugság egy nulla előtte a csúcs az x tengelyen fekszik felfelé és lefelé nyitott parabolákkal egyaránt. A nulla tehát a csúcsnak felel meg.

Hazugság két nulla előtt,…

tehát a csúcs az x tengely alatt van, amikor a parabolák felfelé nyílnak.

tehát a csúcs az x tengely felett van, amikor a parabolák lefelé nyílnak.

b) Az \ (f_1 \) függvény grafikonja egy felfelé nyíló parabola. A csúcs közvetlenül leolvasható a \ (S_ (3 | 2) \) függvényegyenletből. A csúcs tehát az x tengely fölött van, és az \ (f_1 \) függvénynek nincs nulla.

Az \ (f_2 \) függvény grafikonja egy lefelé nyíló parabola. A csúcs közvetlenül leolvasható a \ (S_ (1 | 2) \) függvényegyenletből. Így a csúcs az x tengely felett helyezkedik el, és az \ (f_2 \) függvénynek pontosan két nullája van.

Az \ (f_3 \) függvény grafikonja egy lefelé nyíló parabola. A csúcs közvetlenül leolvasható a \ (S _- \ frac | 0 \) függvényegyenletből. Így a csúcs az x tengelyen fekszik, és az \ (f_3 \) függvénynek pontosan egy nulla van, amely megfelel a csúcsnak.