Kényszerített csillapított inga
Tudjuk, hogy az egyszerű inga egyenlete, amely egy rögzített pontban lógó és súrlódás nélküli huzal végén lévő tömegből áll, formájú
ahol l az inga hossza és g a gravitáció gyorsulása. Ez egy 2 szabadságfokú mozgás (2 egyenletre van szükség az egyenlet megoldásához). Az egyszerű inga mozgása mindig szabályos. Ha súrlódás van, a mozgás csillapodik, és a tömeg visszatér egyensúlyi helyzetébe, amely fix vonzópont. Másrészről rendelkezhetünk egy disszipatív rendszerrel, amely kaotikus rezsimeket adhat, ha súrlódást és karbantartást adunk hozzá; az egyenlet ekkor
ahol 2 a csillapítási együttható és a rendszer megfelelő lüktetése. Úgy fogunk beállítani, hogy a teljes fordulat megfeleljen x = 1-nek, és hogy a karbantartás egységperiódusú legyen;
Furcsa vonzó cselekmény
x (egy tényezőig) az inga függőleges szöge, x-et azonosíthatjuk x + 1-gyel, amely ugyanazt a pontot képviseli. Valójában az x törtrészét vesszük, ha x> 0, és az x törtrészét 1-gyel növeljük, ha az 1. periódus x kártyája, ami a fenntartáséval megegyező periódus stroboszkópiája, vagyis - mondjuk, hogy figyelembe veszi a fázistér elért pontjait, amikor az idő többszöröse a periódusnak, például t = 0, 1, 2, 3 esetén.
Az egyenletet olyan formában vesszük, amely valóban az előző forma (beállítottuk és).
C = 0,2 és
> a: = op (1, op (1, p)): (kivonjuk a pontok listáját)
> list1: = op ([]): az i - ig (nem (a) -1)/10 do
op (2, op (10 * i, a))] fi od: (a törtrészt vesszük, ha x> 0, különben 1 + a törtrész)
Az attraktor vékonyrétegű fraktálszerkezete annál jobb, mivel a pontok száma nagyobb, ami még tovább meghosszabbítja a számítási időt. Ez a szerkezet jellemző a nyújtás-hajtogatás jelenségére, a káoszhoz vezető keverési műveletre.
Viselkedés a kényszerítés amplitúdója szerint
Térjünk vissza egy alacsony kényszerítő amplitúdóhoz: egy átmeneti rezsim után az inga egyensúlyi helyzetének mindkét oldalán rendszeresen oszcillál, ami ellipszist eredményez az (x, u) fázissíkban. Ha a kényszer növekszik, a rezgések amplitúdója is növekszik, és ha ez meghaladja a fél fordulatot, az inga teljes fordulatszámot képes végrehajtani: az inga elakad.
Ezután kaotikus tranziens rendszert figyelünk meg, amelyből az inga kijön, hogy rögzítse magát a három lehetséges rezsim egyikében, amelyek vagy szabályos rezgések, vagy olyan rezsimek, ahol az inga rendszeresen ugyanabban az irányban forog a erőltetés, ilyen vagy olyan módon. A végső rendszer kiválasztása a kezdeti feltételektől függ; három vonzerő van:
lépésméret = 0,1, vonalszín = piros, jelenet = [t, x]); (3 kezdeti feltétel)
Három lehetséges rezsim létezik a paraméterek ugyanazon értékeire a kiindulási állapotnak megfelelően, ezért három vonzerő. Van multistabilitás.
A viselkedés valójában összetett és nagyon érzékeny a paraméterek értékeire. A 2,17-es szomszéd esetében a rendszer nem tud kijavítani a három korábbi rezsim egyikét, és a vonzerő kaotikussá válik egy olyan szcenárió szerint, amely felidézi az időszakosságot:
A (z) [t, x] opcióval a következőket kapjuk:
A rendszer egy ideig egy irányba fordul, majd hirtelen irányt vált.
Nézzük meg az 1. periódus térképének vonzóját ugyanazon program segítségével, mint a furcsa attraktor esetében, egyelőre 100 és 800 között:
Összehasonlítanunk kell ezt az ábrát a 9.1 ábrával, amelynek a vázlata. Látjuk a furcsa attraktor rajzát a belső szerkezetével.
Ha növeljük az erőltetést, a kaotikus fázisok szigorodnak, és a rendszer őszintén kaotikussá válik.
A kényszerítés magasabb értékei esetén rendszeres rezsimeket találunk, majd a még magasabb értékek esetén is kaotikusak.
Ingyenes oszcillátor
Ez a két lyukú oszcillátor, más néven Duffing oszcillátor.
Az árnyékolatlan szabad anharmonikus oszcillátor egyenlete formájú
Szorzással és integrációval jön
amelyet a kinetikus energia (a tömeg 1-gyel egyenlő) és a potenciális energia mechanikai energia összegének megőrzéseként értelmeznek, az alábbiak szerint:
Valóban két kútú oszcillátorról van szó: két rögzített pontunk van, amelyek középpontjai a nem csillapított oszcillátornak és kutak, ha ez utóbbi csillapított, és nyeregpontja x = 0 esetén.
Rajzoljuk meg a fázisportrét több kezdeti feltétel megadásával:
Tekintsük most a csillapított oszcillátort egyenlettel
Rajzoljuk meg a fázisportrét:
A súrlódás következtében a mechanikai energia csökken, a pont az óramutató járásával megegyező irányba fordul, ahogy közeledik; egy adott pillanatban belép a két kút egyikébe, és körülfordul a kút alján lévő végső helyzetébe. Mivel a rendszer két paramétertől (két szabadságfoktól) függ, nincs lehetséges káosz.
Kényszerített oszcillátor
Már nem ez a helyzet, ha szinuoidális kényszert vezetünk be, ahogyan az egyenlet esetében is
Rajzoljuk meg az új fázisportrét a következőkkel:
Látjuk, hogy a pálya kaotikus. Az oszcillátor néha egy rögzített pont körül, néha a másik körül vagy mindkettő körül forog anélkül, hogy sikerülne javítani.
Meg tudjuk rajzolni az oszcillátor 1. periódusának térképét. Szükséges, hogy ez a forma 1. periódusát kényszerítse; ez eloszlik 4-vel és 2-vel; ezt vesszük:
Az attraktor megvastagszik, ha a súrlódás csökken.
Húzhatunk egyszerre 4 time-1 térképet is különböző időpontokban, úgy, hogy a pointplot3d-vel ábrázolunk egy pontot az 5-ből, ami periódusonként 4 pontnak felel meg, mivel az integrációs lépés 0,05 és a periódus 1. Ugyanazon térkép pontjai mind ugyanarra az abszcisszára teszik fel az idő töredékét: