Mi különbözteti meg a hanghullámokat a számoktól - Deus ex Machina
A matematikát és a zenét gyakran egy ágyba teszik - bár az átfedés korlátozott. Működő házasság, vagy csak pletyka?
Igazából juhruhában vagyok farkas, és nem hiszek magamban, amikor - mint egy ideje tettem - fehér hadon lovagolok a tudományos oktatás érdekében, hogy harcba szálljak. Miután megragadtam az alkalmat, hogy rengeteg nárcisztikus rágcsálást szolgáltassak mérnököknek és matematikusoknak ebben a szalonban, itt az ideje, hogy újra figyelembe vegyem a bölcsészettudomány olvasóit.
Időnként úgy hírlik, hogy a matematika és a zene ó! olyan szoros kapcsolatban. Bevallom: nem nekem. Természetesen a zene hanghullám, a hanghullám fizika és valahogy matematika, de nem látom a közvetlen kapcsolatot. Ugyanez vonatkozik a pletykára, miszerint a zenészek gyakran matematikusok, és fordítva. Az ókorban volt Pitagorasz, 600 évvel később Ptolemaiosz, aki mind a matematikával, mind a zeneelmélettel fontos módon foglalkozott, de utána semmi sem következik. Leibniz, mindannyian egyetemes zseni, semmi köze a zenéhez. Goethe viszont a zenével, de a matematikával nem. Újabban a svájci matematikus, Leonhard Euler nagyjából ismeretlen közreműködései voltak a zeneelméletben, de ennél többet nem találtam (bár mindig hálás vagyok a további tippekért!). Einsteinből tudjuk, hogy általában szerette a zenét és különösen a hegedűjét, de ez a szerelem nem mozgatta meg nagy zenei vonatkozású tudományos felfedezésekig.
Mindazonáltal oka van annak, hogy a zeneelmélet bekerült a hét szabad bölcsészettudomány matematikai kvadriviumába a középkorban - még akkor is, ha a zenetudósok manapság inkább a három másik tudományhoz rendelnék magukat.
Tehát mi az oka annak a híresztelésnek, hogy a zene és a matematika összefügg egymással? Az anekdoták arról számolnak be, hogy az aranymetszést (az „a: b” és az „a + b: a” matematikai távolságarányt) használták a hangszerkészítés során - senki sem tudja biztosan megmondani, hogy Stradivarius ezt tudatosan építette-e fel, vagy nem véletlen volt-e.
Talán a legnyilvánvalóbb példa valójában a hangolás, a húrarányok és a hanghullámok kérdése - és ez a téma foglalkoztatja a fent említett számos teoretikust. A hangolás lényege, hogy például a 12 ötödrétegű réteg elméletileg körülbelül 7 oktávnak felel meg - de nem egészen, vagyis végül ugyanaz a hang jön ki, de kissé más hangmagasságban. Ez a különbség Pitagorasz vesszőjeként is ismert, és a középkor óta aggasztja a zenészeket: a billentyűs hangszerek bevezetésével döntést kellett hozni. A hangmagasság és az intervallumok húrmagasságarányként fejezhetők ki - valószínűleg ez az, ami elsősorban a matematikusok számára érdekes. Az oktáv az 1: 2, az ötödik a 3: 2 aránynak felel meg. Ez azt jelenti, hogy ha egy hegedűhúrt megnyom a táblán azon a ponton, ahol a megmaradt rezgő húr kétszer olyan hosszú, mint a leválasztotté, akkor az eredeti vonós hang pontosan egy [Szerkesztés: ötödik] -vel hangzik feljebb. Ez lenne a tiszta intervallum. De ha sok tiszta oktávot és tökéletes ötödöt rétegezel egymásra, az utolsó hangok sajnos szétesnek.
A legtöbb hangszer rugalmasan állítható a hangmagasságban, következésképpen minden hang és minden intervallum olyan szépen van hangolva, amennyire az adott billentyű megköveteli. A billentyűs hangszerekkel viszont el kell köteleznie magát egy kulcs mellett. Még akkor is, ha Bach állítólag 15 perc alatt képes lenne újból behangolni a csembalóját, ez messze meghaladja a modern zongorahangolók képességeit, és ki akarja ezt folyamatosan megengedni magának?
Még Bach idejében is így hangolták a hangszereket, hogy az eltérés valahogy eloszlott a fennmaradó intervallumok között. A késő barokk periódusig az átlagos tónusú hangolás volt az uralkodó, amelyben a harmadokat (és az ötödeket és az oktávokat, amelyeket amúgy is különösen tisztának véltük) tisztán hangoltuk - de csak az ötödök körének első gombjaiban, vagyis az elméletileg lehetséges 12 billentyűben (és ezekben) megfelelő kisebb partnerek), csak az első 8 hangzott tisztán, csökkenő tendenciával.
Meglehetősen piszkos megoldás az egyenlő hangolás, amelyben csak az oktávok hangzanak tisztán, míg az összes többi intervallum megkapja a pitagorai vessző egy részét - vagyis tisztátalan hangot. Elképesztő, hogy ez a variáns érvényesült, valószínűleg azért is, mert a képzetlen fül alig veszi észre.
Sokkal ismertebb azonban a Jól temperált hangulat, amelynek Bach valószínűleg „A jól temperált klavír” című nagy művét is dedikálta. Andreas Werckmeister (akiről ennek a hangolási módszernek a számtalan variációját elnevezik) az elsők között volt, aki nem szisztematikusan terjesztette a bosszantó vesszőt, inkább az érzés szerint. Attól függően, hogy az intervallum és a kulcs mennyire volt fontos, és mennyire érzékeny vagy tompa az emberi fül a szennyeződésekre, az intervallumokat tiszta vagy tisztátlanra hangolták. A C-dúr intervallumok használatának gyakorisága és fontossága miatt a billentyűk különösen tiszták voltak, és a sok véletlenszerű billentyű meglehetősen tisztátalan volt - ez vezetett ahhoz a kulcsjellemzőhöz, amely ma is a zenetudomány alapvető eleme.
Konkrétan ez azt jelenti, hogy egy modern zongorán az első kötet F-dúr előjátékát és fúgáját ugyanolyan könnyen lehet C-dúrban eljátszani - hangzásban nincs különbség. Ugyanazon szintre hangolt zongorán azonban a különbség nagyon hallható lenne. Bach szinte biztosan a jól temperált hangolás új eredményének megünneplésére állította össze ezt a művet, amely lehetővé tette az összes billentyű lejátszását egy billentyűs hangszeren - jóllehet a jól temperált változatban, nem pedig az azonos hangulatú változatban, mint ahogyan ma használjuk. Általánosságban elmondható, hogy Bachnak valószínűleg sok köze volt a számokhoz: művei hemzsegnek a számok szimbolikájától, de ott is csak találgatni lehet, hogy mennyit szánnak belőle. Amikor a tíz parancsolatról szóló kórust megzenésítjük, és a trombita tízszer indul, akkor szívesen feltételezem a szándékot. Ha viszont két szám összesen 129 oszlopot tartalmaz, és ezt (3 × 43 = 129) hármas hitvallásra való hivatkozásként értelmezzük, gyorsan elfogy a türelmem - ez tippelés, bizonyítékok vagy érvek lehetősége nélkül. Nem is beszélve az okkult oldalról, szabadkőműves gondolkodással, valamint a négyzetek és háromszögek magasabb jelentésével.
Egy másik gyakran idézett terület, ahol a zene és a matematika házasságot köt - bizonyos szemmel szentségtelen - a modern zene. Különösen a tizenkét tónusú zene vagy a soros zene annyira szigorúan felépített, hogy az ember úgy érzi, emlékeztet a matematikára, és az ilyen művek szépsége csak a hangok intenzív vizsgálatával tárható fel. A tizenkét tónusú zenében például olyan hangsorok alakulnak ki, amelyek csak korlátozottan és szigorú szabályok szerint változhatnak, ami többszólamú környezetben rendkívül bonyolulttá válik - olyannyira, hogy egy professzor egyszer úgy gondolta, hogy egy számítógépes algoritmus könnyebben képes tizenkét tónusú zenét komponálni, mint az emberi géniusz. Helyénvaló az is, hogy Boulez például számtáblákkal is dolgozott a minták egyértelművé tétele érdekében. Ennek ellenére - még ha egyesek nem is értenek egyet velem - ez nem matematika. A számok és a matematika valójában két teljesen különböző dolog. És a tizenkét tónusú vagy soros zene továbbra is zene. Az embernek arra kell törekednie, hogy megértse, megtörje fülének szokásait és komolyan foglalkozzon vele, de ez még mindig a művészet - amely egyedülállóan dacol a racionalitással.
A művészet az, amikor az intervallumok és a hanghullámok (azaz a matematika és az akusztika) egyre nagyobbak lesznek. 2 + 2 = 5, amely megérinti az embereket, és minden másról megfeledkezik. Zene, csak.