Pólusok és nullák
1. Bemutatkozás
Ez a dokumentum bemutatja, hogyan lehet megtervezni egy rekurzív digitális szűrőt nulláinak és pólusainak elhelyezésével. Ez a módszer nagyon hatékony nagyon alacsony cut-off frekvenciájú szűrők tervezéséhez (a mintavételi frekvencia apró töredéke). Különösen azt fogjuk látni, hogyan lehet aluláteresztő vagy sáváteresztő szűrőt szerezni egy nagyon széles integrációs tartományban, amely nagyon alacsony frekvenciától a Nyquist frekvenciáig terjed.
2. Alapelv
Lineáris digitális szűrőt veszünk figyelembe, amelyet a következő ismétlődési összefüggés határoz meg:
Az M + 1 együttható az an és az N + 1 bn valós.
A szűrő frekvenciaválaszának tanulmányozásához bemutatjuk a Z komplex változót, amelyet az alábbiak határoznak meg:
ahol f a frekvencia, Te a mintavételi periódus. A jelölések leegyszerűsítése érdekében a csökkent pulzációt Ω is használjuk. Amikor a frekvencia 0 és a Nyquist frekvencia között változik (a mintavételi frekvencia fele), az Ω impulzus 0 és π között változik. A Z szám tehát az egység félkörén mozog.
A szűrő frekvenciaátvitelét Z értékű átviteli függvénnyel kapjuk meg:
Az átviteli függvényt két polinom arányaként írhatjuk fel:
A nullák a számláló N gyökei; qi-vel jelöljük őket. A pólusok a nevező gyökerei; pi-vel jelöljük őket. A szűrő stabil működéséhez szükséges és elegendő, hogy az összes pólus (szigorúan) az egység körében legyen. A szűrő valódi együtthatói, minden nem valós pólus (vagy nulla) összefüggésben van a konjugált komplexumával.
Itt van például egy kétfokozatú átviteli függvény (M = N = 2), amelyet pólusaival és nulláival írunk:
A pólus elhelyezési módszer ([1], [2]) a szűrő meghatározásából áll, a pólusok és nullák közvetlen elhelyezésével.
Tegyük fel, hogy meg akarjuk szüntetni a H-t egy bizonyos nulla nélküli Ωa lüktetés esetén. Meg kell határoznunk az 1 modulus és az Ωa argumentum nulla értékét és annak konjugátumát:
Ha az impulzus nulla, akkor csak egy valós nulla elegendő. Ha alacsony, de nem nulla erősítést akarunk elérni ehhez a pulzáláshoz, akkor elegendő, ha ennek a nulla 1-től eltérő modulust adunk (1-nél kisebb vagy nagyobb).
A rezonancia, vagyis az erősítés maximumának meghatározásához a pólusokra kell hatni. Tegyük fel, hogy rezonanciát szeretnénk kapni egy Ωb impulzusra. Ha ez a pulzálás nem nulla, két konjugált pólust kell meghatározni:
Ha Ωb = 0, akkor csak egy valós pólus elegendő. Az r1 modulusnak szigorúan kisebbnek kell lennie, mint 1, hogy a szűrő stabil legyen. Minél közelebb van ez a modulus 1-hez, annál erősebb a rezonancia (annál nagyobb a maximum). Bizonyos esetekben választhatunk 1-gyel egyenlő modulust, amely instabilitást ad az Ωb pulzációnak (az erősítés ennek a pulzációnak a végtelen felé mutat).
A pólusokat és a nullákat grafikusan ábrázolják a komplex síkban. A pólusokat keresztek, a nullákat körök képviselik.
A pólusok és nullák definiálásakor a b0 állandót a kívánt erősítésnek megfelelően kell meghatározni, például az aluláteresztő szűrő maximális erősítése.
A pólusok és nullák elhelyezésének módszere kvalitatív módszer. Meg kell ábrázolnunk a frekvencia választ, hogy megkapjuk a szűrő kvantitatív viselkedését.
3. Első rendű szűrők
3.a. Integrátor
Tökéletes integrátort definiálunk úgy, hogy a pólus nulla frekvencián p1 = 1, a nulla pedig a Nyquist frekvencián q1 = -1:
Teljes oldal ábra
A második írás lehetővé teszi az ismétlődési reláció megszerzését, tudva, hogy az z -1 számláló egy egység késleltetésének felel meg a bemenetnél, a nevező pedig egy egység késleltetését jelenti a kimenetnél:
A frekvencia válasz:
Az erősítés végtelen nulla impulzusnál, ami azt jelenti, hogy a szűrő instabil, ha a bemeneti jel spektrumában nulla frekvencia van. Az instabilitás egy pólus jelenlétéből fakad az egység körén. Itt van az erősítés és a fáziseltolás ábrája:
Ennél a szűrőnél nincs maximális erősítés a b0 konstans beállításához. Ezt az állandót a célnak megfelelően állítjuk be.
Tegyük fel, hogy valódi integrációt akarunk megvalósítani, amely folyamatos időben megfelel a következő összefüggésnek: