6 Normál erőknek kitett alkatrészek, elmélet II
Mozgatható és mozdíthatatlan rendszerek A szerkezetek akkor tekinthetők mozdíthatatlannak, ha kellően meg vannak merevítve (például falpanelekkel), vagy ha a másodrendű elmélet (csomópont elmozdulás terhelés alatt) hatása bizonyíthatóan kevesebb, mint 10%. Az inga alátámasztja a merevítő merevítő alkatrészhez kapcsolódó mennyezeteket 1. ábra: Falakkal vagy merev magokkal merevített nem elmozdítható rendszer. A függőleges alkatrészek által merevített szerkezetek (pl. Falpanelek, liftmagok) mozgásképtelennek tekinthetők, ha a körülbelül szimmetrikusan elrendezett merevítő alkatrészek esetében a következő feltételek teljesülnek [DIN 1045-1, 8.6. (5)]: 1 óra teljes EF cm I c 1 m 3 (0, + 0,1 m) 1 esetén m 4 0,6 (1) h teljes m E cm I c teljes szerkezeti magasság az alapszint tetejéig a merevítő alkatrészek teljes merevsége a figyelembe vett irányban F A függőleges terhelések tervezési értékeinek összege γ F 1.0-val. Ez a feltétel a régi DIN 1045 (88) alapján már α instabilitási számként ismert. A függőlegesen merevítő elemek nincsenek-e megközelítőleg szimmetrikusan elrendezve, vagy vannak-e VI -
A kompressziós tagok karcsúsága: lo λ (3) i lo β l col ekvivalens hosszúsággal (kihajlási hossz Euler esetének megfelelően) l col a kompressziós tag hossza i giráció sugara i IA A téglalap alakú keresztmetszetnél az ismert összefüggések egyszerűsíthetők i mereven befogott elasztikusan befogott rendszer mereven befogott csuklós mereven befogott mereven befogott elasztikusan befogott β (elméleti), 0 1,0 0,7 0,5 0,5–1,0 és a főkönyveknél a csomópontoknál a szorító hatás a 3. ábrán látható nomogram segítségével határozható meg, a szomszédos főkönyvek és tartóelemek merevségétől függően, és így kiszámítható a rendszer pontosabb és általában gazdaságosabb kihajlási hossza. A nomogram megkülönbözteti a nem tolható és az eltolható rendszereket. Az alkalmazás során kerülni kell a kikelt területet. A β együtthatót a k A és k B merevségi arányok alapján határozzuk meg: k AI l + I l és I col1 col1 col col b1 lb 1 + 0,5 Ib lb I l + I l kb (4) I col0 col0 col1 col1 b3 lb3 + 0,5 Ib4 lb4 VI - 4
3. ábra: Interakciós diagram az emelettámaszok kihajlási hosszának meghatározásához A karcsúság elhatárolása Az egyes tömörítési tagok karcsúságától függően eldől, hogy a tömörítő tag méretezésekor figyelembe kell-e venni a másodrendű elmélet hatását. A nem elmozdítható és elmozdítható egyedi nyomóelemek vékonynak tekinthetők, ha a karcsúság következő határértékeit túllépik: λ λ max max 5 15 ν, ha ν esetén ν 0,41 35 (14), a DIN 1045-1 [8.6.5 (8 )] A 2. rendű elmélet hatásából a deformációkra bemutatott egyenlet VI - 11
1 l0 e K1 (15) r 10 A (15) egyenletben egyetlen ismeretlen tényező a kritikus keresztmetszet görbülete (1/r), amely függ a keresztmetszet geometriájától és a megerősítés mértékétől, valamint az M keresztmetszet feszültségétől és N függ. Ha a rendszert a keresztmetszet legnagyobb görbületével, az oszlopalappal nézzük, a görbület (1/r) összefüggéseit lineáris feszültségeloszlás alapján lehet levezetni: e tot ee 1 N hd M, NA s A s1 ε s 0,9 d ε s1 9. ábra: A legnagyobb görbületű keresztmetszet figyelembevétele A keresztmetszet húzott oldalán az acél tágulása és a beton összenyomódása miatt az e c1-3,5 0/00 préselt keresztmetszetén mindkét oldalon feszültség ε s1/van az acélrétegek számára ε s> ε yd a hozampont felett. A keresztmetszeti görbület tehát kiszámítható az erősítő acélrétegekhez viszonyítva, figyelembe véve a meglévő normál erőterhelést, az alábbiak szerint: 1 r K ε yd 0,9 d (16) N ud N és K 1 (17) N N ud bal VI - 1
Épület/szerkezet Th. II. O. 10% nincs a rendszer nem mozgatható A rendszer nem mozgatható A rendszer nem mozgatható A Th. II figyelembevétele szükséges. Rendelés szükséges! Az egyetlen nyomású tag (támasztó) rendszer mozdulatlan A rendszer mozgatható M, N λ> λ crit igen figyelembe véve a Th. a modelltámogatási módszer segítségével e tot no e tot e 0 + e a + e M II N e tot standard méretezés pl. az interakciós ábrával 11. ábra: A diagram folyamatábrája a modelltámogatási módszerrel. VI - 14
Méretezési diagramok az oszlopok tervezéséhez Általános szabályként az oszlopok méretezhetők a szimmetrikusan megerősített keresztmetszetek interakciós diagramjaival (µ-ν diagram). A kapcsolódó µ és ν belső erőket kiszámítjuk azokra a rendszerekre, amelyek nem veszélyeztetik a tervezett belső erőket, a másodrendű elmélet szerint szükséges bizonyítékokkal az N normális erőterhelésekből, valamint az első és másodrendű elméletből származó M N e tot pillanatból. Az 1. ábra a C1/15 - C50/60 beton kölcsönhatás diagramját mutatja be, valamint a d 1/h 0,10 és a BSt 500 erősítőacél bemeneti értékeket. 1. ábra: Példa a [6] VI - 15 szimmetrikusan megerősített téglalap keresztmetszetekre vonatkozó interakciós diagramra
A most megjelent további méretezési diagramok értékelik a modelltámogatási módszert, figyelembe véve a nem kívánt ea excentricitást és az e excentricitást a másodrendű elmélet részéből, és ezáltal megkönnyítik a modelltámogatási módszer alkalmazását. A 13. és 14. ábra a [6] és a DAfStb 45. füzet diagramjait mutatja. A másodrendű elmélet szerinti igazolás további méretezési diagramjai az 55 DAfStb füzetben jelennek meg. 13. ábra: A [6] VI - 16 modelltámogatási módszer méretezési diagramja
14. ábra: µ-nomogram mint méretezési segédanyag a másodrendű elmélet részének figyelembevételével [3] 6.6 Biaxiális hajlítású kompressziós tagok Mind az oszlop tervezett terhelése miatt, mind a karcsú oszlopok másodrendű elméletének arányait figyelembe véve Környezeti momentumok vagy excentricitás mindkét keresztmetszeti tengely irányában. A második rend elméletének igazolásakor a gyenge komponens tengelye VI - 17, különösen nem szimmetrikus keresztmetszetek esetén
hogy megvizsgálja az esetleges kihajlás ellen. Továbbá azt is figyelembe kell venni, hogy ugyanazok a tárolási feltételek léteznek-e mindkét irányban. Annak érdekében, hogy meg lehessen kerülni a pontos ellenőrzést, amelyet általában csak megfelelő számítógépes program segítségével lehet elvégezni, a verifikáció a DIN 1045-1 szabvány szerinti mindkét keresztmetszeti irányban külön-külön is elvégezhető a téglalap keresztmetszetek esetében, figyelembe véve a relatív különcségek megengedett arányait. Ez a megfontolás azonban csak akkor megengedett, ha az N terhelési pontja a 15. ábrán látható sraffozott területen belül van. Ezt a feltételt a következő összefüggések teljesítik: (e h) (e b) 0, 0 z 0 y vagy (18) és (e b) (e h) 0, 0 y 0 z e 0y, e 0z a megfelelő terhelési központ az első rendű elmélet szerint. 15. ábra: Az oszlop keresztmetszetének külön ellenőrzésének határértékei a két fő tengely irányában VI - 18
6.8 Példa A következő példa segítségével elmagyarázzuk a DIN 1045-1 alkalmazását a karcsú oszlopoknál, a kihajlás veszélyével. Nem karcsú oszlopok esetén a kialakítás egyszerű alkalmazással egyszerűsödik, pl. az interakciós diagramok (µ-ν diagramok, lásd az 1. ábrát). Az oszlop egy 4 emeletes épület alagsorában található éloszlop, közvetlen terheléssel a gerendán keresztül. Rendszer- és alkatrészméretek: Építőanyagok: C5/30 beton BSt 500 S betonacél -cu módszer) M gk 16 knm M qk 10 knm Oszlop keresztmetszete: h/sz 5/45 cm Az épület merevítése és a vízszintes teherátadás több falpanel, valamint lift és lépcsőmag segítségével történik. Az épület teljes szerkezete az Eq. (1) osztályozni kell. VI - 0
Betonburkolat: kiválasztott rúdátmérő: d sl 0 mm, ds, bü 8 mm Beton burkolat az XC3 expozíciós osztályhoz: min c 0 mm ráhagyás c 10 mm DIN 1045-1, 6. DIN 1045-1, Tab. 4 nom c 0 mm + 10 mm 30 mm Az XC3 expozíciós osztály minimális betonszilárdsága C0/5. Méretek: keresztmetszeti méretek w/h 45/5 cm statikus magasság d: dh - nom cds, bü ½ ds, l 1 réteg hosszanti megerősítéshez d 5 3,0 0,8 ½, 0 0, cm kiválasztva: d 0 cm d 1 5 0 5 cm (távolság a hosszirányú erősítő réteg súlypontjától a keresztmetszet széléig) Műveletek a teherbírás végső határállapotához A teherbírás határállapotában össze kell kapcsolni az állandó és változó terhelésekből adódó műveleteket: 1. lépés: állandó terhelések Művelet: élő terhelések Ez a következő hasznos alapkombinációkat eredményezi: VI - 1
DIN 1045-1, 5.3.3 DIN 1045-1, 1. tábla 1. alapkombináció: kedvezőtlen hatások max N és max M γ g 1,35 és γ q 1,5 esetén Báziskombináció: kedvező hatások min N és min M γ g-vel 1,0 3. alapkombináció: kedvezőtlen hatások min N és max M pillanatra γ g 1,35 és γ q 1,5 GK 1 esetén: N 1,35 650 kn + 1,5 30 kn 1357,5 kn M 1, 35 16 knm + 1,5 10 knm 36,6 knm GK: N 1,00 650 kn M 1,00 16 knm 650 kn 16 kn GK 3: N 1,35 650 kn 877,5 kn M 1,35 16 knm + 1,5 10 knm 36,6 knm A pillanat az oszlopfejre hat. Statikus rendszer és a belső erők lefutása M, N N-terület M-terület - l 4,0 - VI -
Az oszlop egyenértékű hossza (kihajlási hossza) és karcsúsága A megadott határfeltételek mellett az oszlop egyetlen tömörítési tagként ellenőrizhető. Az oszlop kihajlási hossza l0 β l col l 0 1,0 4,0 m, lásd a DIN 1045-1, 8.6 ábrát. (4) Az oszlop karcsúságát két irányban kell figyelembe venni: Karcsúság oszlopirányban h 5 cm (vö. 3. egyenlet): l 4,0 λ oi 0,89 0,5 58 Karcsúság oszlopirányban b 45 cm: DIN 1045 -1, 8.6. (4) Az i giráció sugara téglalap keresztmetszet esetén: i 0,89 hl 4,0 λ oi 0,89 0,45 3,3 A karcsúság lehatárolása (lásd az 5. egyenletet): ν NA fc cd 1,36 MN 0,5 m 0, 45m 14, MN 0,85 m² DIN 1045-1, 8.6.3 () DIN 1045-1, egyenértékű (9) λ 5 esetén ν 0,41 A kritérium nem teljesül. max DIN 1045-1, egyenértékű (7) Jelen esetben olyan mozgó szerkezetű oszlopokról van szó, amelyekre az oszlopvégek közötti további nyíróterhelés nincs hatással. Így a karcsúsági határ meghatározható a (6) egyenlet alapján. Az e 01 0 (az oszlopalap excentricitása) esetén az e 01/e 0 hányados nulla lesz: λ crit e01 5 () 5 (0) 50 35 DIN 1045-1, Eq. (39) 1 r K ε yd 0,9 d VI - 4
N ud NK 1 NN ud bal K 1 (biztonságos oldalon) DIN 1045-1, 8.6.5 (9) A teherbírás növekedésének hatása a normál erőterhelés következtében Az oszlop alján a görbület 1 r 0,00 1,44 10 0, 9 0,0 m 1 m DIN 1045-1, egyenlő (39) Ebből e az alábbiak szerint határozható meg: e K1 r l0 1,44 10 10 1 4,0² m² 1 m 10 0,043 m 4,3 cm DIN 1045-1, Eq. (38) A második rendű elmélet szerinti teljes excentricitás tehát: e tot e 1 + e és e 1 e 0 + ea 1,6 cm + 1,0 m, 6 cm e tot e 1 + e, 6 cm + 4, 3 6,9 cm DIN 1045-1, 8.6.5 (5) DIN 1045-1, egyenértékű (35) DIN 1045-1, egyenlő (34) MN e tot 1,36 MN 0,069 m 0,09 MNm Tervezés a szimmetrikus megerősítési keresztmetszetek interakciós diagramjával Bemeneti értékek: N 1,36 MN M 0,09 MN h 5 cm d 1 5 cm d1/h 5/5 0, 0 Interakciós diagram szimmetrikusan megerősített téglalap keresztmetszetekhez pl. a DAfStb 550 füzetben vagy a Schneider felépítési táblázatokban [6] ν N bhf cd 136, MN 0, 45 m 0, 5 m 14, MN m² 0, 85 kapcsolódó normál erő µ M b h² f 0, 09 MNm 0, 45 m 0, 5 m² 14, MN m² cd 0, 4 kapcsolódó pillanat VI - 5
Olvassa el a d1/d 0.0 és a beton C50/60-ig terjedő diagramjáról: ω tot 0,7 A keresztmetszet teljes megerősítési tartalma: 0,45 m 0,5 m As, összesen As 1 + As 0,714,4 MN m² 4 10 5, 7cm² 435MN m² DIN 1045-1, 8.6.5 (9) A normál erőterhelés következtében a teherbírás növekedésének hatása a ma ismert DIN 1045-1, 8.6.5 (9) megerősítési tartalommal. Ezzel az első megerősítési tartalommal további iterációs lépés a K együttható (17. egyenlet) az excentricitáshoz a másodrendű elmélet szerint. N ud NK 1 NN ud bal N ud - (f cd A c + f yd A s) - (14,4 MN/m² 0,5 m 0,45 m + 435 MN/m² 5,7 10-4 m²) -. 7 MN A támasz maximálisan 88 MN centrikus nyomóerőt képes elnyelni. N -1,36 MN (alapértelmezett) DIN 1045-1, 8,6,5 (9) N bal -0,4 f cd A c 0,4 14,4 MN/m² 0,5 m 0,45 m -0, 64 MN Az oszlop egyidejűleg maximális nyomatékterheléssel képes elnyelni 0,64 MN nyomóerőt. VI - 6
, 7 MN + 136, MN K 0, 65, 7 MN + 0, 64 MN DIN 1045-1, (40) egyenlet 0, 0m 1 1 m DIN 1045-1, egyenlő (39) Ebből az e ismét meghatározható a következőképpen: e 1 160, 10 4, 0² m² 1 m 10 0,08 m, 8 cm DIN 1045-1, Eq. (38) A második rendű elmélet szerint az új teljes excentricitás tehát: e 1 1 cm +, 8 m 3,8 cm e tot 1,6 cm + 3,8 5,4 cm DIN 1045-1, 8.6,5 (5 ) DIN 1045-1, egyenértékű (35) DIN 1045-1, egyenlő (34) MN e tot 1,36 MN 0,054 m 0,07 MNm ν 0,85 µ M b h² f 0,07 MNm 0,45 m 0,5 m² m² 14, MN m² cd 018, az ezzel összefüggő normál erővel kapcsolatos nyomaték: ω tot 0,45 interakciós diagram szimmetrikusan megerősített téglalap keresztmetszetekhez pl. a DAfStb 550 füzetben vagy a Schneider építő táblázataiban [6] VI - 7
A keresztmetszet teljes megerősítési tartalma: 0,45 m 0,5 m s 0,45 10 4 16,5 cm² 14,4 MN m² 435MN m² A, összesen A K együttható javításának újabb ismétlése csak kisebb változásokhoz vezet. Oldalanként választható kengyelerősítés: 3 0 meglévő A s 3 3,14 cm² 18,8 cm² DIN 1045-1, 13,5. (1) DIN 1045-1, egyenértékű (155) DIN 1045-1, 13.5. () A minimális megerősítési tartalom ellenőrzése (lásd: 19. egyenlet): 015, 136, MN As, min 015, N f yd 10 4 4, 68cm² (teljesítve) 435MN m² A maximális hosszanti megerősítés tartalmának ellenőrzése (lásd: Eq. 0): 18, 8cm² .ρ 0,017 1,7% 9,0% (teljesítve) 5 cm 45 cm Választható kengyelerősítés DIN 1045-1, 13.5.3 (4) maximális kengyeltávolság s Bu 1 min ds, ls Bu min h oszlop (legkisebb oszlopátmérő) s Bü 300 mm és s Bü 1 perc ds, l 1 0 mm 40 mm a döntő kritérium: ds 8 mm-es konzol 4 cm-enként DIN 1045-1, 13.5.3 (5) az alsó mennyezet és a felső vágásánál A kengyel megerősítésének távolsága vörösre csökken. s tartó 0,6 4 cm 14 cm 45 cm magasságig (a tartó legnagyobb mérete) DIN 1045-1, 13.5.3 (7) A keresztmetszet belsejében lévő rudakat csak akkor tekintjük tartóként a tartónak, ha a távolságuk 15 ds, zárójel a sarok területéről nem haladja meg a. max. sarok 15 0 mm 300 mm A hosszanti rudak így mind meg vannak tartva. VI - 8
Megerősítési rajz: VI - 9
6.9 Irodalom [1] DIN 1045-1, Betonból, vasbetonból és előfeszített betonból készült szerkezetek, 1. rész: Méretezés és kivitelezés, 001. július kiadás [] G. König, N. K: Vasbeton építés alapjai; Teubner Verlag, Leipzig 1998 [3] Kordina, Quast: Karcsú alkatrészek méretezése a szerkezeti deformációk által befolyásolt teherbírás határállapotához Stabilitási elemzés; a konkrét naptárban 001, 1. rész, 349. o. Ernst & Sohn Verlag, Berlin 001 [4] DAfStb-Heft 45: Mérések az Eurocode számára, 1. rész; Német Vasbeton Bizottság; Berlin 199 [5] DAfStb-Heft 0: Beton és vasbeton alkatrészek méretezése a DIN 1045 szerint, 1978. szeptemberi kiadás; Német Vasbeton Bizottság; Berlin 1979 [6] Schneider: Építőasztalok mérnököknek, Werner Verlag 001 VI - 30