A Gauss-eliminációs módszer
Ezen az oldalon a lineáris egyenletrendszerek megoldásának Gauss-módszerét mutatjuk be egy példával, amely különösen alkalmas programozott folyamatokhoz és sok ismeretlen egyenletrendszerhez.
A lineáris egyenletrendszer megoldását keressük
Először az egyenleteket úgy alakítjuk át, hogy az összes változó az egyenlőségjel bal oldalán és az abszolút tag (azaz a változó nélküli szám) jobbra legyen:
Az átalakított egyenleteket most egymás alá írjuk, így a megfelelő változók egymás alatt vannak:
A papírmunka egyszerűsödik, ha csak a számokat, azaz az együtthatókat (a változók előtti tényezőket) rögzítjük balról, az abszolút számokat pedig jobbra az egyenletekből. A jeleket be kell tartani és el kell fogadni. Az összes hiányzó változóra nulla kerül:
Egy ilyen számtáblát mátrixnak nevezünk; és mivel egy lineáris egyenletrendszer együtthatóival van dolgunk, ezt nevezzük együtthatómátrixnak.
Megpróbálják ezt a mátrixot megfelelő átalakításokkal formává alakítani
átvinni, ahol a, b, c és d jelöli azokat a számokat, amelyek ezeken a helyeken keletkeznek. Ezek azonban nem olyan számok, amelyek nem érdekelnek bennünket, nem kevesebbek, mint a ténylegesen keresett megoldások. Mivel az első sor w = a, a második x = b stb.
A következő típusú deformációk használhatók erre a célra:
- Sorok cseréje
- Szorozzuk meg vagy osszuk el a sor összes számát egy bizonyos számmal (≠ 0).
- Összeadhatja vagy kivonhatja az egyik sor többszörösét a másikból, összeadva vagy kivonva a többszöröst ugyanabban az oszlopban.