Alsó-Szászország Kulturális Minisztériuma
1 Alsó-Szászország Kulturális Minisztérium Anyagok a matematika tantárgyhoz a műszaki középiskolában Állapot: november 00
2 Kiadó: Alsó-Szászország Kulturális Minisztériuma, Schiffgraben, 3059 Hannover Postfach 6, 3000 Hannover Hannover, november 00. Újranyomás engedélyezett.
3 Az anyagok nem kötelező érvényű példák, mint ajánlatok a tantestület oktatási tervezéséhez az irányelvek és a keretirányelvek szerint. Ezen anyagok kidolgozásában a következők vettek részt: Möller, Birgit, StR n, Oldenburg (a csoport szóvivője) Braun, Karl-Heinz, OStR, Stadthagen Manzau, Rainer, StD, Hameln Tanácsadók: Haarmann, Hermann, StD, Hildesheim Szerkesztés: Sabine Wiegand Alsó-Szászország Állami Intézet az iskolafejlesztésért és az oktatásért (NLI) Keßlerstraße 5 33 Hildesheim Tanszék Állandó munkacsoport a szakmai tantervek és anyagok kidolgozásáért és teszteléséért (STAG for CUM)
5 Tartalomjegyzék Előzetes megjegyzések Alapvető didaktikai kérdések az alkalmazással kapcsolatos matematika órákon. Alkalmazásorientáció (szakmai tereporientáció) matematika órákon. Modellezés a matematika órákon 3.3 Központi gondolatok, központi matematikai minták, területspecifikus stratégiák. A számítógép szerepe a matematika órákon 5 Munkahelyi-területtel kapcsolatos témák a matematikában a középiskolákban 7. Elemzés 7. Sztochasztika 0.3 Lineáris algebra 3 Anyaggyűjtés 3. Foglalkozási-területtel kapcsolatos feladatok 3. Foglalkozási-területtel kapcsolatos Abitur feladatok megoldásokkal 3 Referenciák 7
20 Foglalkozási területtel kapcsolatos feladat Foglalkozási terület Terület/központi ötletek Alkalmazási témák Egészség és szociális ügyek Gazdaság Stochastics Regresszió és korrelációszámítás A Stiftung Warentest vizsgálatában 0 cigarettamárkát vizsgáltak a cigaretta szennyezőanyag-tartalma szempontjából. A következő értékeket mértük: Kondenzátum-nikotin-szén-monoxid-nitrogén-oxid márka (mg/zig) (Mg/zig) (Mg/zig) (Ppm) A, 0 0,69 5,5 35 B, 7 0,76, 8 7 C 3,7 0,75 5, 966 D, 00,9 9 E 3, 0,97,5 66 F 3,5 0,7 7,7 7 G 3,8 0,98 5, 67 H. 3,8,0 5,0 65 I, 0,6 5, 699 J, 0,70 6,0 86 a) Keresse meg az összes szennyező anyag átlagértékét és szórását! b) Határozza meg a korrelációs együttható kiszámításával, hogy van-e összefüggés a nikotin és a kondenzátum tartalma között. c) Keresse meg a regressziós egyenes egyenletét x-hez képest! d) Ellenőrizze, hogy van-e hasonló összefüggés a b) pontban leírtakkal a szén-monoxid és a nitrogén-oxid tartalma között.
22 Megoldásfejlesztés a matematikai modellben: Ha u B (t) u cos (ωt) =) a híd egyenirányító feszültsége t t X RC és u C (t) = UC e mint az első kisütési folyamat kondenzátorfeszültsége, akkor a következő érvényes: û cos (ωt). 0 t 23 esetén R = 50Ω, C = 00µF, û = 0V, f = 50hz esetén a t X számítása 80535ms. Megfelelő közelítő eszközzel meghatározható. t X 6,50708ms u u B 7 6 u C 5 3-0,005 0,0 0,05 0,0 t Elektrotechnikai értékelések Ezen idők közötti különbség a szelepelzáródás. Ez idő alatt mind a négy dióda blokkolva van: tsperr = t X t X, 3ms. Ezután a szelepvezérlés idejére vonatkozik: t T LEIT = tsperr 5,7ms. Egy diódapár ez idő alatt vezetőképes. A javított érték a számtani középérték (amelyet az erőelektronikában U d-nek hívnak): U AV = TT 0 u (t) dt U AV t X tx tx = u (t) dt u (t) dt u T = TB + t TTX tx tx C (t) dt 7, V Az igazi effektív érték a négyzetgyök négyzetgyökének négyzetgyöke: U TRMS = TT 0 u (t) dt U TRMS t X tx t = u (t) dt u ( t) dt T = TB + t TTX tx t XX u C (t) dt 7, V A két integrál kiszámítása szakaszokban sikerül, a fej és a kéz által kiszámított határértékekkel. Megfelelő matematikai eszközökkel az eredmények gyorsabban érhetők el. 7.
24 Végül az U RMS váltakozó feszültségű komponens effektív értéke szintén meghatározható a kapcsolaton keresztül. (a teljesítményelektronikában U W-nek hívják) U RMS = UTRMS UAV, V. AV U = U + U TRMS RMS Kondenzátor nélkül a szelep vezetőképességének ideje t = 0ms, egyenirányított U = 0V cos (ωt) dt 6,37V, AV TT 0 T TRMS dt 7,07V = 0V valódi effektív érték U = (0V cos (t)) T ω 0 és váltakozó feszültségű komponens U RMS = UTRMS U AV 3.08V. A teljesítményelektronika jellemző jellemzői Ud U AV U W: = 0,9, w = 0,8, U U U TRMS: Ennek megfelelően a kondenzátor simító tulajdonságokkal rendelkezik. Az U RMS váltakozó feszültségű komponens effektív értéke csökken. U Egy simítási tényező határozható meg: G = RMS, 5. U RMS Az egyenfeszültség-komponens jelentősen megnő, és a valódi effektív érték a kondenzátorral együtt növekszik. Ez utóbbi azt jelzi, hogy a diódáknak nagyobb áramot kell szállítaniuk a rövidebb szelepnyitási időkben, mint kondenzátor nélkül. A diódák maximális áramterhelése nő. d Összehasonlításképpen: R = 50Ω és C = 300µF jellemzői: t X = 656,6µs, t X = 7,8ms, t SPERR 6,5ms, t LEIT 3,5ms, U AV = 8,95V, U TRMS = 8,87 V, U RMS =, 3 V, G = 76,8
28 Munkával kapcsolatos feladat Munkaterület/legfontosabb ötletek Alkalmazási témák Technológiai elemzés/teljesen racionális funkciók Hajlító vonal Az egyik oldalon rögzített I-0 gerendát a végén F = 5000 N terhelés terheli. (E = .0 7 N/cm) F = 5000N α f x m a) Állítsa be a hajlítási vonal funkcionális egyenletét a harmadik fokozat teljesen racionális függvényeként. b) Számítsa ki a maximális alakváltozást és a teljes hossz 3/3-ig történő elhajlását! c) Határozza meg az a meredekséget és az α dőlésszöget a gerenda végén. d) Az F erő megduplázódott, de most a gerenda közepén hat. Ebben az esetben számítsa ki a legnagyobb kitérést és az α dőlésszöget a nyaláb végén.
31 Foglalkozási területtel kapcsolatos feladat Foglalkozási terület Terület/központi ötletek Alkalmazási témák Gazdaság Lineáris algebra/sztochasztika Leontief-modell A következő adatok a gazdaság három ágára vonatkoznak, vas és acél, energia és szállítás. az elfogyasztott energia vas- és acéltranszport-felhasználást eredményez a teljes termelési energia-vas- és acélszállítás a) Határozza meg a fogyasztást. b) Határozza meg a T. 750 mátrixot c) Az elkövetkező évre p = termelés lehetséges-e? tervezett. d) A következő évet a mennyit kell előállítani? 00 k = 800 tervezett. 00 5