Dinamikus rendszer - biológia

Milyen meleg túl meleg az élethez az óceán feneke mélyén?

Antibiotikumok baktériumoktól

Sejtvándorlás: egy ismert fehérje újonnan felfedezett funkciója

Molekuláris iránytű a sejtek igazításához

Mi teszi a levelek öregedését ősszel

A keselyű gyöngytyúk demokráciája

Ekembo környezete: Az emberek nyílt tájakon is éltek

| Genetika | Mezőgazdaság, erdészet és állattenyésztés

A búzafajtát vad füvek keresztezésével hozták létre

Milyen meleg túl meleg az élethez az óceán feneke mélyén?

Dinamikus rendszer

(Determinisztikus) alatt dinamikus rendszer az ember megérti egy időfüggő folyamat matematikai modelljét, amely homogén az idő tekintetében, vagyis a kezdetektől fogvaÁllapot, de nem a kezdetektől fogvaidő attól függ. A dinamikus rendszer kifejezés jelenlegi formájában George David Birkhoff matematikusra nyúlik vissza.

A dinamikus rendszerek sokféle alkalmazást találnak a mindennapi folyamatokban, és nemcsak a matematika (pl. Számelmélet, sztochasztika), hanem a fizika (pl. Inga mozgása, klíma modellek) vagy az elméleti biológia (pl. Ragadozó zsákmány modellek).

Az egyik különbséget tesz diszkrétebb és folytonosabb Időfejlődés. Egy idődiszkrét dinamikus rendszerben az állapotok egyenlő távolságú ugrásokban változnak, azaz H. egymást követő, mindig ugyanolyan nagy időintervallumokban, míg az időfolytonos dinamikus rendszer állapotváltozásai végtelenül kis időbeli lépésekben zajlanak. A folytonos idejű dinamikus rendszerek leírásának legfontosabb eszközei az autonóm közönséges differenciálegyenletek.

Folyamatos és diszkrét alrendszerek vegyes rendszere folytonos-diszkrétdinamikusnak is nevezik hibrid kijelölt. Ilyen hibrid dinamikára példák találhatók a folyamattervezésben (pl. Adagolási sablon rendszerek).

Definíciók

A dinamikus rendszer egy hármas $ (T, X, f), $, amely egy $ T = \ N_0, \ Z, \ R ^ + _ 0 $ vagy $ \ R, $ dem halmazból áll Időszak, egy nem üres halmaz $ X $, a Állami tér, és egy művelet $ f \ kettőspont \, T \ szorozza meg X-t X-ig $ T $ -tól X X-ig, $, így mindenki számára körülmények $ x \ X $ -ban és minden Időpontok $ t_1, t_2 \ T $ -ban a következő érvényes:

$ f (0, x) = x $ (Identitás tulajdonság) és
$ f (t_2, f (t_1, x)) = f (t_2 + t_1, x) $ (Félcsoportos ingatlan).

Ha $ T = \ N_0 $ vagy $ T = \ Z $, akkor $ (T, X, f) nevet $ idő-diszkrét vagy rövid diszkrét, és $ T = \ R ^ + _ 0 $ vagy $ T = \ R $ használatával egy hívja a $ (T, X, f) $ értéket időfolytonos vagy folyamatosan. A $ (T, X, f) $ -t diszkrét vagy folyamatos dinamikus rendszernek is nevezik valós időben vagy mint megfordítható jelöli, ha $ T = \ Z $ vagy $ T = \ R $ érvényes.

Minden $ x \ x-ben $ -nak a térképet $ \ beta_x \ kettőspontnak, T \ -nek X, \, t \ mapsto \ beta_x (t) hívják: = f (t, x), $ die Mozog of $ x = \ beta_x (0) $, és az $ O (x): = \ $ halmaz lesz a vonat vagy a (teljes) pálya $ x $ hívta. A pozitív félpálya vagy Előre pálya $ x $ értéke $ O ^ + (x): = \ $, és ha $ (T, X, f) $ megfordítható, $ O ^ - (x): = \ $ der negatív fél pálya vagy Fordított pálya $ x $ -tól .

Diszkrét $ (T, X, f) $ dinamikus rendszer fokozatosan, ha a $ X $ állapottér egy (nem üres) metrikus tér, és ha minden átalakítás $ \ varphi_t \ kettőspont, X \ X-be, \, x \ mapsto \ varphi_t (x) egy $ t \ in T $ időponthoz tartozik: = f (t, x), $ folyamatos. A folyamatos dinamikus rendszert $ (T, X, f) $ -nak hívják fokozatosan vagy egy Fél áramlás, ha a $ X $ állapottere egy metrikus tér, és ha minden időponthoz tartozó transzformáció és egy állapot minden mozgása folyamatos. Ezenkívül a $ (\ Z, X, f) $ folytonos diszkrét dinamikus rendszert a-nak is nevezik vízesés és egy féláramú $ (\ R, X, f) $ one folyam. Folyamatos dinamikus rendszer állapotterét is nevezzük Fázistér és az egyes $ x_0 \ -okból X-ben a pálya mint Fázisgörbe vagy Röppálya jelölve $ x_0 $, ami egyszerűen $ x \ kettőspont \, t \ mapsto x (t) $ beírása $ x (0) = x_0 $ .

Ha az ember folyamatos és, ha szükséges, további diszkrét dinamikus rendszereket kombinál egy rendszer kialakításához, akkor ezt nevezzük a folytonos-diszkrétvagy azt is hibriddinamikus rendszer.

Megjegyzések

Az irodalomban gyakran nem tesznek különbséget a dinamikus rendszerek és a folyamatos dinamikus rendszerek vagy áramlások között, és az áramlást gyakran differenciálható áramlásként értik (lásd alább). Vannak általánosabb definíciói a folyamatos dinamikus rendszereknek is, amelyekben z. B. egy topológiai sokaságot, egy (esetleg kompakt) Hausdorff-teret vagy akár csak egy topológiai teret veszünk fázistérként.
A bal oldali $ f $ művelet helyett, mint a fenti definícióban, a dinamikus rendszereket gyakran egy jobb művelettel definiáljuk: $ f_r \ kettőspont \, X \ szorozva T \ és X $ $ X $ értéken, az argumentumok sorrendje ennek megfelelően megfordul.
A definícióban az $ f $ művelet azonossági tulajdonságára van szükség, mert minden $ x $ állapotnak nem szabad megváltoznia, amíg nem telik el idő (azaz $ t = 0 $ esetén). Ez a tulajdonság azt jelenti, hogy a $ 0 $ -hoz tartozó transzformáció megegyezik a $ X $ -val: $ \ varphi_0 = \ operatorname_X. $
A félcsoport tulajdonság homogénné teszi a dinamikus rendszert az idő függvényében: Először $ t_1 $ időegységben jut el a $ x $ államtól a $ f (t_1, x) $ államig, majd onnan $ t_2 $ időegységben jut el a $ f (t_2 + államhoz). t_1, x) $, d. H. ugyanabba az állapotba, ahová közvetlenül a $ x $ államtól jutunk $ t_2 + t_1 $ időegységben. A (z) $ \ varphi_t \ colon \, X \ - X, \, x \ mapsto \ varphi_t (x): = f (t, x), $ mindenkori $ transzformációk kommutatív félcsoportot alkotnak a $ \ kompozícióval. a $ $ linkként és egy semleges elemmel: $ \ varphi_0 $, a $ T \ to X ^ X \ !, \, t \ mapsto \ varphi_t, $ egy félcsoportos homomorfizmus: $ \ varphi_ = \ varphi_ \ circ \ varphi_ $ az összes $ t_1, t_2 \ -ban T. $. Ez az átalakítási félcsoport még egy csoport is invertálható dinamikus rendszerekben, mert az összes $ t \ esetén T $ $ \ varphi_ $ a $ \ varphi_t inverz eleme. $
A $ T (\, X, f) $ dinamikus rendszert $ T = \ N_0 $ vagy $ T = \ R ^ + _ 0 $ értékkel átalakíthatjuk invertálható dinamikus rendszerré $ (T ', X, f') $ folytassa a következővel: $ (T '\ cap \ R ^ + _ 0, X, f' | _) = (T, X, f) $, ha a $ 1 $ -hoz tartozó $ \ varphi_1 $ transzformáció inverz függvény $ (\ varphi_1) ^ $ tulajdonosa. Ekkor vannak $ \ varphi_: = (\ varphi_1) ^ $ és rekurzívan $ \ varphi_: = \ varphi_ \ circ \ varphi_ $ az összes $ n \ n \ N-ben. $ Ha $ (T, X, f) $ folyamatos, akkor $ \ varphi_: = \ varphi_ \ circ \ varphi_ $ minden $ t = n + s \ in \ R ^ + _ 0 $ esetén $ n \ in \ Az N_0 $ és $ s \ a [\, 0,1) $ -ban egyértelműen megadta az összes negatív időkhöz tartozó transzformációt is. A $ T ': = T \ cup \ $ értékkel pontosan egy művelet végezhető: $ f' \ kettőspont, T 'X-től X-ig, \, (t, x) \ mapsto f' (t, x): = \ varphi_t (x), $ $ T '$ -tól $ X $ -ig deklarálva, hogy $ (T', X, f ') $ a $ (T, X, f) $ megfordítható folytatása.
A félcsoport tulajdonság miatt minden diszkrét $ (\ N_0, X, f) $ vagy $ (\ Z, X, f) $ dinamikus rendszer felhasználható a $ 1 var $: $ $ $ $ $ $ $ $ transzformáció iteratív alkalmazásaként. Tekintsük az idõpontokat iterációs indexként: $ \ varphi_ = \ varphi \ circ \ varphi_t $ az összes $ t \ -re \ N_0 $ -ban, és $ (\ Z, X, f) $ esetén van $ \ varphi_ = \ varphi ^ \ circ \ varphi_t $ minden $ -t \ esetén \ N_0. $ Ezért $ (T, X, f) $ már egyedileg meghatározza a $ \ varphi $ és könnyebben írható $ (X, \ varphi) $.
Ha az $ $ T \ cap \ Z $ -ra korlátozódik egy folyamatos dinamikus rendszerben $ (T, X, f), $, akkor $ (T \ cap \ Z, X, f | _) $ -val mindig egy diszkrét dinamikus rendszer. Egyrészt ezt a diszkretizálást széles körben alkalmazzák a numerikában, pl. B. a visszamenőleges elemzésben. Másrészt vannak olyan természetes és technikai rendszerek, amelyeket nem folyamatos állapotváltozások jellemeznek, és diszkrét dinamikus rendszerekkel közvetlen módon modellezhetők.
A dinamikus rendszerek elméletében különösen a pályák viselkedése érdekli a $ t \ to \ pm \ infty értékeket. $ A Limes mennyisége és stabilitása itt nagy jelentőséggel bír. A rögzített pontok pontosan azok a fázistér $ x $ pontjai, amelyeknél létezik olyan pont, amelynek pályája a $ t \ - + \ infty $ felé x felé halad, és korlátozzák az ilyen pontok halmazait. A rögzített pontok mellett a legfontosabb határmennyiségek a periodikus pályák. Különösen nemlineáris rendszerekben azonban összetett, nem periodikus határhalmazokkal is találkozhatunk. A nemlineáris rendszerek elméletében a rögzített pontokra, a periodikus pályákra és az általános nem periodikus határhalmazokra az attraktor (vagy. Repeller, ha visszataszító, lásd még furcsa attraktor) is alábbhagyott. Ezeket a káoszelmélet részletesen megvizsgálja.

Fontos speciális esetek

Szimbolikus dinamizmus egy diszkrét dinamikus rendszerben van $ (T, X, f) $, $ X = A ^ T $ egy $ A $ ábécé esetében ($ X $ egy végtelen számú szimbólum $ A $ -tól) és $ \ varphi_1 A $ egy úgynevezett eltolási térkép, amely az egyes szekvenciák szimbólumait egy hellyel eltolja.
Differenciálható A (fele) áramlások (fele) $ (T, X, f) $ áramlások, amelyeknél az egyes idõpontokhoz tartozó minden transzformáció differenciálható. Különösen a differenciálható áramlás ezen átalakításainak mindegyike diffeomorfizmus.
Ban ben kaotikushu illusztrációk, mint pl B. a Bernoulli-féle térképezés, a logisztikai térképezés vagy a Hénon-féle térképezés, a diszkrecetizációk nagy szerepet játszanak az iterált térképek vizsgálatához.

Példák

Fizikai példa a kettős inga, a kémiai a Brusselsator.

A fizikától megkülönböztethető áramlás

Legyen $ M $ kompakt differenciálható sokaság, például egy nem generált energiafelület a $ \ mathbb ^ n $ -ban, és a $ v \ kettőspont \, M \ - TM $ sima vektormező $ M $ felett. Ekkor Picard-Lindelöf tétel szerint létezik egyparaméteres diffeomorfizmusok csoportja $ \ varphi_t \ kettőspont M \ to M $

$ \ varphi_0 = \ operátornév_M, $
$ \ varphi_ \ circ \ varphi_ = \ varphi_ $ az összes $ t_1, t_2 \ esetén \ R, $
$ \ frac \ varphi_t = v \ circ \ varphi_t. $

A rögzített $ x $ pont pályája a $ M $ -tól a 3. és a $ x $ kezdeti érték közötti differenciálegyenlet megoldási görbéje. Ezt a $ v $ sima vektor mezőnek megfelelő $ 1 $ paramétercsoportot a $ M $ folyamának nevezzük .