Egyenletek megoldása Magyarázatok és példák megoldása
Hogyan oldhatja meg az egyenleteket? Ez a cikk pontosan magyarázatokat, példákat és gyakorlatokat tartalmaz. Megnézzük az egyszerű lineáris egyenleteket, a másodfokú egyenleteket és a magasabb rendű függvényeket. Az egyenletrendszerek megoldhatók Gauss-módszerekkel vagy helyettesítési módszerekkel vagy addíciós módszerekkel. Összességében az a cél, hogy transzformációkkal meg lehessen találni a megoldás mennyiségét. Ez a cikk a matematikai részünk része.
Hogyan lehet megoldani egy egyenletet? Nos, ez az egyenlet típusától függ. És éppen ezért logikusan itt különféle típusú egyenletekkel kell megküzdenünk. A lineáris egyenletek megoldásával kezdjük.
Egyenletek megoldása vagy megoldása: Lineáris egyenlet
A lineáris egyenletek megoldása sok diákot már kétségbeesésbe sodorta. Kezdjük tehát nagyon egyszerűen. Tehát valamivel kezdjük, amit mindenkinek ismernie kell az általános iskolától, egy egyenletet. Nem vicc!
Ez egy nagyon egyszerű egyenlet. Mert balra 7-et, jobbra pedig 7-et kapunk. Tehát 7 = 7-et kapunk, igaz állítást. Ez vonatkozik a lineáris egyenletek megoldására is. Ami most új, hogy egy újabb változó jelenik meg az egyenletben. Mi a változó A változó úgymond egy szám "helyőrzője". Legalábbis az esetek túlnyomó többségében ez egy szám. A matematikában általában betűt használnak rá. Ez például egy a, b, x vagy y. A változó helyett később egy számot fognak használni. A cél az, hogy megtudjuk, mi a változó száma. És pontosan ezzel fogunk foglalkozni a következő szakaszokban.
Amint azt a bevezetőben már kifejtettük, most egy ismeretlen lineáris egyenletet kell megoldani. Ezt az ismeretlent általában "x" -nek hívják az osztályban, más betűk (változók) is lehetségesek. A cél az, hogy a végén "x = szám" adható meg megoldásként. Nagyon egyszerű feladattal kezdődik. Ezt az alábbiakban ismertetjük.
Jobbra görgethető táblázat
| 1. példa: | |
| x + 2 = 5 | | -2 |
| x = 3 |
Az első sor tartalmazza az x változó kimeneti egyenletét. Ehhez ún Ekvivalens transzformációk vagy néha egyszerűen átalakításokat hajtanak végre. Ez azt jelenti: Az egyenlet megjelenése megváltozik, de a bal oldalon továbbra is ugyanaz az érték jelenik meg, mint az egyenlet jobb oldalán. Az "x" megoldása érdekében a bal oldalon lévő 2-et "meg kell szüntetni". A +2 eltávolításához "-2" -re kell számítani. A jobb áttekintés érdekében az összes számtani műveletet egy "|" betű követi írott. Tehát most a "| -2" -t írják le, hogy egyértelműen lássák, hogy a 2-et le kell vonni. Nagyon, nagyon fontos: Számtani műveleteket kell végrehajtani mindkét oldalon. Ha a "-2" -t számolom bal oldalon, akkor ezt is a jobb oldalon kell elvégezni!
Jobbra görgethető táblázat
| + 5
Jobbra görgethető táblázat
| 3. példa: | |
| 4 = x + 2 | | -2 |
| 2 = x |
Jobbra görgethető táblázat
| 4. példa: | |
| 4 - 3 + x = 5 - 2 | |
| 1 + x = 3 | | -1 |
| x = 2 |
Ennyit az egyenletek összeadásáról és kivonásáról. A 4. példa egyértelműen megmutatja, hogy az átalakítás végrehajtása előtt gyakran van értelme egyszerűsíteni az egyenletet.
Szorzás és osztás:
Eddig "-2" -vel kellett számolni a "+2" kiküszöbölésére és fordítva. Ez vonatkozik a szorzásra és osztásra is a megfelelő egyenletek megoldása érdekében. A "5" eltávolításához ki kell számolnia a "5" értéket. Eleinte kissé furcsán hangzik, de a következő feladat megmutatja ennek működését. Itt is meg kell oldani az "x" -t.
Jobbra görgethető táblázat
| 5. példa: | |
| 5. · x = 15 | |: 5 |
| x = 3 |
Tehát, hogy az "x" egyedül áll, el kell osztani 5-tel. Mivel: 5: 5 = 1 és 1 · x = x. Ha ez túl bonyolult az Ön számára, akkor csak emlékeznie kell: Ahhoz, hogy 5x-t elérjek, el kell osztanom 5-tel. Megjegyzés: Az 5 x jelölés matematikailag megfelel az 5x jelölésnek. Ha a szám és a változó között nincs számtani szimbólum, akkor szorzást hajtunk végre. Tehát a következő feladatokkal is.
Jobbra görgethető táblázat
0,5x = 2
Jobbra görgethető táblázat
| 7. példa: | |
| 5 = 0,2x | |: 0,2 |
| 25 = x |
Nehezítsük meg kissé az egészet. A következő feladatoknál szükség lesz arra, hogy figyeljen a vonal előtti pontra és a zárójelekre. Ellenkező esetben az eredmények (általában) rosszak lesznek. Mint mindig, kezdjük egy példával.
Jobbra görgethető táblázat
| 8. példa | |
| 5. · 8 + x = 10 | |
| 40 + x = 10 | | -40 |
| x = -30 |
Ugyanez vonatkozik ide: pontszámítás a vonalszámítás előtt. Először kiszámítják a szorzást és az osztást, majd az összeadást és a kivonást. És még két feladat:
Jobbra görgethető táblázat
| 9. példa: | |
| 40 + 20x = 20 | |: 20 |
| 2 + x = 1 | | -2 |
| x = -1 |
Jobbra görgethető táblázat
| 10. példa: | |
| 3 + 5 · 2 + 5x = 10 | |
| 3 + 10 + 5x = 10 | |
| 13 + 5x = 10 | | -13 |
| 5x = -3 | |: 5 |
| x = -0,6 |
Egyenletek megoldása vagy megoldása: Másodfokú egyenletek
Éppen lineáris egyenletek megoldásával vagy megoldásával foglalkoztunk. Most térjünk rá a másodfokú egyenletek megoldására. Ez természetesen felveti a kérdést: mi a másodfokú egyenlet? Nos, ez egy ax 2 + bx + c = 0 formájú egyenlet, vagy erre az alakra konvertálható egyenlet. Az a, b és c változók tetszőleges számra vonatkoznak, ahol a a értéke nem lehet nulla. Két példa vagy feladat következik: 3x 2 + 5x + 3 = 0 vagy x 2 + 2x + 1 = 0.
Az "egyszerű" egyenletekkel szemben, amelyeket eddig megismertünk (példa: x + 5 = 0), itt is van másodfokú komponens. Tehát hogyan oldja meg ezt az egyenletet x-re? A válasz erre a kérdésre a PQ képlet, amelyet ebben a szakaszban szeretnénk feltárni. Megjegyzés: A másodfokú egyenlet megoldására a PQ képleten kívül más módszerek is megoldhatók (éjféli képlet vagy ABC képlet vagy polinomiális osztás). Ebben az átfogó cikkben az egyenletek megoldásáról azonban csak egy változatot szeretnénk részletesen bemutatni, és a PQ képlet mellett döntöttünk.
Másodfokú egyenlet megoldása: megoldási képlet
Hogyan lehet megoldani egy ilyen egyenletet? Egy olyan egyenlet megoldásához, mint x 2 + 2x + 1 = 0 x-hez, az alábbi PQ képletet használjuk. Most megadom a képletet és néhány általános információt. Ne essen pánikba: ezt néhány feladat magyarázza utána.
Oldja meg a másodfokú egyenletet:
- Tegye az egyenletet x 2 + px + q = 0 formába
- Tudja meg a "p" és a "q"
- Csatlakoztassa ezt a PQ képlethez
- Használja a megoldás kiszámításához
Ennyit a tervről. Ideje ezt néhány feladattal tisztázni. Kövesse ezeket a példákat a fenti 4 pontos listával.
Fontos jegyzet: Annak érdekében, hogy ne keverjük össze a tanulókat sok törttel, néhány példát kerekítettünk.
1. példa:
Magyarázat: Az x 2 előtti "3" zavarja! Mindig legyen "1", azaz 1x 2. Ehhez osszuk el 3-mal. Ezután olvassa el p és q. A p és q számokat beillesztjük az oldat képletébe. Ezután kiszámoljuk a gyökér előtti és alatti kifejezést. Ezután a gyökeret kivesszük az értékből, és egyszer hozzáadjuk, és egyszer kivonjuk. A másodfokú egyenletnek legfeljebb két valós megoldása van. Tehát az iskolában egy másodfokú egyenletnek legfeljebb két megoldása van, a tanulmányokban mindig két megoldása van (ha megenged komplex számokat, de itt nem térünk ki rá).
2. példa:
Magyarázat: Az eredeti feladat már megfelelő formában van. Ezért p és q egyformán meghatározhatók. Ezután illessze be ezt az egyenletbe, és számítsa ki. Amint az eredményből látható, a -2 megoldás kétszer létezik, azaz x1 = -2 és x2 = -2.
Negatív gyökérű egyenletek megoldása
Két további tipp van a másodfokú egyenletek vagy másodfokú függvények megoldására a PQ képlettel:
- Ha kiszámítja a számokat a gyökér alatt, és a gyökér alatt van egy negatív szám, akkor megszakíthatja. Ekkor az egyenletnek nincs megoldása (legalábbis az iskolások esetében nem, a hallgatóknak képzeletbeli számtant kell végezniük).
- Figyeljen a táblára! Például, ha meg kell oldania az x 2 -5x + 3 = 0 feladatot, akkor p = -5. Ezután ezt a -5 értéket kell használnia a PQ képletben!
Itt talál példát mindkét esetre:
Oldja meg az egyenleteket: ABC képlet vagy éjféli képlet
Az egyenletek - vagy inkább másodfokú egyenletek - megoldása az ABC képlettel vagy az éjféli képlettel is elvégezhető. Az ABC képlet nagyon hasonlít a PQ képletéhez, és másodfokú egyenletek megoldására szolgál. Ha helyesen számol, akkor mindkét képlettel ugyanazt az eredményt kapja. Most következik az általános képlet és a megoldás, majd rátérünk egy példára.
További információ erről a megoldási módszerről az ABC cikk cikkben.
Egyenletek megoldása: 3. és magasabb teljesítmény
A polinomfelosztás egy matematikai technika, amelyet a polinom nulláinak kiszámítására használnak. Használható magasabb fokú egyenletek megoldására is. A számítás módja hasonló az írásbeli felosztáshoz, amelyet az általános iskolában megismert. Emiatt a következőkben először röviden tárgyaljuk az írásbeli felosztást, majd ezt az ismeretet alkalmazzuk a polinomiális felosztásra.
Annak érdekében, hogy a cikk itt ne legyen hosszabb, a megfelelő cikkben minden más megtalálható a polinomiális osztásról: Polinomiális tagolás.
Oldjon meg lineáris egyenletrendszereket
Nézzük meg az egyenletek megoldását más módon. Először is tudnia kell, mit jelent a két változóval rendelkező egyenletrendszer. Íme egy kis példa: Vásárolni megy, és tudja, hogy 6 különlegesen jó minőségű alma és 12 körte 30 euróba kerül. És tudod, hogy 3 alma és 3 körte 9 euróba kerül. A kérdés most az: Mi az alma vagy a körte? Mivel az alma és a körte kifejezés túl hosszú, ezért az alma árát "x", a körte ára pedig "y" helyett tesszük. Ez a következő egyenleteket eredményezi (hasonlítsa össze ezeket a szövegben szereplő információkkal!):
Jobbra görgethető táblázat
| 6. | Almák | és | 12. | Körte | költségek | 30 euró |
| 6. | x | + | 12. | y | = | 30-án |
| 3 | Almák | és | 3 | Körte | költségek | 9 euró |
| 3 | x | + | 3 | y | = | 9. |
Természetesen ez még nem tűnik olyan egyértelműnek. Ezért a jobb áttekintés érdekében a következő jelölést vezették be a matematikában:
Jobbra görgethető táblázat
| | 6x + 12év | = | 30. | | 1. egyenlet |
| | 3x + 3év | = | 9. | | 2. egyenlet |
Egy ilyen egyenletrendszer azt jelzi: Ezek az egyenletek egymáshoz tartoznak. Ez az oka annak is, hogy együtt kell megoldani őket. A cél az, hogy x-re és y-re olyan számot kapjunk, amely mindkét egyenletnek megfelel. És erről most mi gondoskodunk.
Annak érdekében, hogy a cikk ne legyen hosszabb, a lineáris egyenletrendszereinkben minden más megtalálható a lineáris egyenletrendszerekről.
További cikkek:
- ABC képlet: Az ABC képlettel vagy az éjféli képlettel másodfokú egyenleteket is megoldhat. Ennek működéséről az ABC képlet cikkünkben tájékozódhat.
- Polinomiális felosztás: A polinomiális osztás egy módszer a nullák megkeresésére a nagyobb teljesítményű egyenletekben. Megtanulhatja, hogyan működik ez, és hogyan lehet egyenletek megoldására használni a Polinomiális felosztás című cikkben.
- nullpont: Hogyan találsz nullákat? A nullákat számoló cikkben megtalálható egy részletes cikk, amely számos módszert, példát és feladatot tartalmaz.