Határérték (Limes) kiszámítása - Tanulók

Korlátlan hozzáférést kap a Wiwi-tanulmányok tananyagaihoz.

Célunk, hogy optimálisan felkészítsük Önt a vizsgáira. Fedezze fel most a StudybeesPlus-t:

Minden alap tantárgy az üzleti tanulmányok fokozatához
Korlátlan hozzáférés szkriptek tanulásáról, írásbeli vizsgákról, online tanfolyamokról
Összeomlási tanfolyamok a helyszínen Különleges Ár

Biztosítson korlátlan hozzáférést tananyagainkhoz a Wiwi-tanulmányokhoz.

Célunk, hogy optimálisan felkészítsük Önt a vizsgáira. Fedezze fel most a StudybeesPlus-t:

A határ azt jelzi, hogy a függvények hogyan viselkednek egy `x` érték elérésekor. Ez határ is nevezik limes.

A limes érdekes az ugrásokkal vagy definíciós hézagokkal rendelkező funkciók számára. Azt is használják, hogy tanulmányozzák egy függvény viselkedését a végtelenben.

A határérték kiszámítását hivatalosan a következőképpen fejezik ki:

`\ lim_ (x jobbra a) f (x) = A`,

beszélt: "A limes mert az "f" (x) " x "-jével szemben az" x "egyenlő az" A "-val.

Határérték a függvényugrásoknál és a definíciós hiányosságoknál

Funkcionális ugrások és A definíció hiányosságai balról vagy jobbról lehet megközelíteni, ezáltal a Határértékek mindegyik más és más. Funkcionális ugrás akkor történik, ha a funkcionális szabályban esetkülönbség van. Ezt egy olyan jelzés jelzi, amely így nézhet ki, például: \ beginf (x) = \ left (\ begin \ dots \ for \ x \ leq \ dots \\\ dots \ for \ x> \ \ dots \\ \ end \ right) \ end Az alábbi ábra a limes nál nél Funkcionális ugrások pontosított:

Az "a" pontban a függvény értéke "A" (ezt a kitöltött periódus jelzi). Ha azonban ezt a funkciót balról ugrik, akkor a határérték `B`.

Tehát ha ki akarja számítani a függvény határértékét a bal oldali ugrásnál, akkor ezt írja:

`\ lim_ (x jobbra a ^ -) f (x) = B`

Ha a függvényt jobbról közelíti meg, akkor a következő jelölést használja:

`\ lim_ (x jobbra a ^ +) f (x) = A`

A definíció hiányosságai balról és jobbról is megközelíthetők. A helyesírás ugyanaz marad, és elvileg ugyanúgy jársz el, mint a függvényugrásoknál:

Közelítés balról: `\ lim_ (x jobbra nyíl a ^ -) f (x)`

Közelítés jobbról: "\ lim_ (x jobbra a ^ +) f (x)"

Ha a Határértékek nál nél Funkcionális ugrások vagy A definíció hiányosságai meg vannak adva, célszerű egy minimálisan kisebb és minimálisan nagyobb értéket beilleszteni a függvényegyenletbe az adott határérték meghatározása érdekében. Például, ha a pont `a = 5`, akkor lehet használni a határ balról érkező `4,999999999` és a határ Ha jobbról érkezik, illessze be az "5.000000001" szót. Ennek pontosabb kiszámításához Határértékek egy megfelelő, nullára konvergáló szekvencián keresztül működne, például a "\ frac (1) (n)" szekvencián. Ez aztán beillesztésre kerül a függvénybe az "a" -val együtt, és hagyja futni nulla felé (itt a "n rightarrowinfty" futtatásával):

"\ lim_ (x jobbra a ^ -) f (x) = \ lim_ (n rightarrowinfty) f (a- \ frac (1) (n))" vagy.
"\ lim_ (x jobbra nyíl a ^ +) f (x) = \ lim_ (n jobb oldali infty) f (a + \ frac (1) (n))"

Tehát végül megkapja azt, amelyet keres határ a függvény a balról vagy jobbról érkező `a` pontban.

Korlát a végtelenben

A végtelenben való viselkedés a gráf fejlődéséről szól a bal és a jobb szélen. Tehát az `f (x) = x ^ 3` függvény értéke az x jobbra + infty számára az` + infty`-ra, az `x rightarrow -infty` pedig az` -infty`-ra változik. A gráf a végtelenben számokká is konvergálhat. Például a grafikon az "f (x) = \ frac (1) (x)" értékről "x rightarrow + infty" és "0" (felülről érkező), az "x rightarrow -infty" és "0" ( alulról érkező).

A végtelen határérték tisztázása érdekében hasznos, ha egy grafikát használunk útmutatóként. Például a következő grafikon arra törekszik, hogy "x jobbra - \ infty" a "B" felé, az "x \ rightarrow \ infty" esetében pedig az "A" felé:

A figyelembe vett határértékek jelölése hasonló a függvényugrások és a definíciós hiányosságok jelöléséhez. A határ a grafikon pozitív végtelenben való ábrázolása a következőképpen jelenik meg:

Ha negatív végtelenben vizsgálja a grafikont, akkor ezt írja:

A számítás eljárása Határértékek Az "x \ rightarrow \ pm \ infty" esetében a függvény típusától függően különböző szabályok vannak. A következőkben megkülönböztetünk olyan funkciókat, amelyek csak polinomokból állnak, az Polinomok és keverje össze a kifejezéseket az `e ^ (g (x))` és a tört racionális függvényekkel.

A csak polinomokból álló függvények korlátai

Az alábbiakban elmagyarázzuk, hogyan kell kiszámítani egy függvény határértékét, ha a függvény csak polinomokból áll. A polinom egy olyan függvény, amelyben csak az „a_ix ^ i” alakú kifejezéseket adják hozzá vagy vonják el, például a következő függvényt:

Ha csak polinomok vannak a függvényben, akkor először meg kell határoznunk a legmagasabb kitevőjű x-et. Ha hagyja, hogy az "x" ellentmondjon a "+ \ infty" vagy a "- \ infty" kifejezésnek, akkor a függvény más összetevői soha nem válhatnak ekkorára, mint ez a kifejezés. Ezért elegendő csak azt a kifejezést figyelembe venni, amelyben az a legmagasabb kitevővel. Ahelyett, hogy pl.

"\ lim_ (x jobbra + infty) f (x) = \ lim_ (x jobbra + infty) 4x ^ 3-2x ^ 2 + x + 7"

így az ember csak nézi

Az `f (x) = 4x ^ 3-2x ^ 2 + x + 7` függvény a pozitív végtelen tartományban a pozitív végtelenbe fut.
Pontosan így tekinthető meg a függvény a negatív területen:

`\ lim_ (x jobbra-infty) f (x) = \ lim_ (x jobbra-infty) 4x ^ 3-2x ^ 2 + x + 7 = \ lim_ (x jobbra-infty) 4x ^ 3 = -infty`

A negatív végtelenben a függvény negatív végtelenbe fut.

A polinomokat és az `e ^ (g (x))` keveréket tartalmazó függvények korlátai

Ha a függvénynek a polinomok mellett van egy `e` funkciója is, amelyet összeadunk vagy kivonunk (pl. "f (x) = 3x ^ 2-x ^ 3 + e ^ (x-3))", a legjobb, ha a függvényt két részre osztjuk: Polinomok alkotják az első részt, az `e` függvény alkotja a második részt. Most külön megvizsgálhatja mindkét részt, majd összeállíthatja az eredményeket. Mivel a `e` funkció Bármely polinomnál gyorsabban fejlődött, sokkal fontosabb. Ezt az alábbiakban szemléltetjük. Például, ha figyelembe vesszük a fent említett függvény határát a "\ infty" -val szemben:

"\ lim_ (x jobbra + infty) f (x) = 3x ^ 2-x ^ 3 + e ^ (x-3)"

A függvény első része (`3x ^ 2-x ^ 3`) egy polinom, ahol` -x ^ 3` a legnagyobb teljesítményű kifejezés. Ezért összehasonlítjuk az `-x ^ 3` fejlődését az` e ^ (x-3 )` fejlettségével. Ha egy kisebb számot, például a "2" -et helyettesíti az "x" kifejezésre, az "-x ^ 3" kifejezésnek nagyobb súlya van, mint az "e ^ (x-3)" -nak, mivel "(-2) ^ 3 = -8` és `e ^ (2-3) \ kb 0,37 '. Mivel azonban az `x \ rightarrow \ infty` határát keressük, nagyobb` x` értékeket kell megvizsgálnunk. Például az "x = 20" esetében az "-x ^ 3" értéke "(-20) ^ 3 = -8000", az "e ^ (x-3)" pedig "e ^ (20-3) = 24,154,952 lenne., 75`. Például, ha az "x = 200" -ot nézzük, az "-x ^ 3" kifejezés "-8 000 000", míg az "e ^ (x-3)" kifejezés egyértelműen túlsúlyban van, mivel az "e ^ (200 -3) \ kb. 3,6 * 10 ^ 85 ". Mivel az `e` függvény sokkal gyorsabban fejlődik pozitív végtelenné, mint a polinom negatív végtelenbe, ebben az esetben meghatározza a függvény teljes határát:

"\ lim_ (x jobbra + infty) f (x) = 3x ^ 2-x ^ 3 + e ^ (x-3) = + \ infty"

Így általában kijelenthetjük a következőket: Ha van olyan függvény, amelyben mind a polinomok, mind az "e ^ (g (x))" forma tagjai jelen vannak, és "+" vagy "-" kapcsolja össze őket, a határértéket a következőképpen határozzuk meg:

Ha a polinomok és az `e` függvény egy termék kapcsolja össze (pl. "f (x) = (x ^ 4-x ^ 3) \ cdot (-e ^ (2x))", az eljárás megváltozik. Ekkor már nem lehetséges a külön elválasztás. Ennek ellenére figyelembe vesszük határ az `e` függvény és a polinom egymástól elkülönítve, majd megszorozva őket. A függvény határértékét, amelyben a polinomokat és az "e ^ (g (x))" alakú tagot megszorozzuk, a következő táblázat segítségével határozhatjuk meg:

Ezt az eljárást egy példával is szemléltetni kell. A határértéket a következő függvény "+ \ infty" alapján kell meghatározni:

A függvény egy polinomból (`x ^ 4-x ^ 3) 'és az` e ^ (g (x)) `kifejezésből áll, mégpedig` e ^ (2x) `. Ez a két rész szorozva van. Tehát tudjuk, hogyan határozzuk meg külön a határértéket, majd meghatározzuk a függvény határértékét a fenti táblázat segítségével.

Első rész: `x ^ 4-x ^ 3 jobbra` limes csak a legmagasabb exponens releváns:

"\ lim_ (x jobbra + infty) (x ^ 4-x ^ 3) = \ lim_ (x jobbra + infty) x ^ 4 = infty ^ 4 = + infty".

Második rész: `-e ^ (2x)`

Mivel a `- \ cdot + = -` a két rész összerakását eredményezi, az` x rightarrowinfty` teljes függvénye negatív végtelenbe fut:

"\ lim_ (x jobbra + infty) f (x) = \ lim_ (x jobbra + infty) (x ^ 4-x ^ 3) \ cdot (-e ^ (2x)) = - infty"

A tört racionális függvények határai

A fent vázolt eljárással megteheti Határértékek általában jól kiszámított. Bonyolultabbá válik azonban, ha a funkció töredékként van jelen. Törtek esetében hasznos, ha az egyes frakciókon található összegeket elosztjuk a legnagyobb x kitevővel rendelkező „x” -nel (ez megfelel a frakció meghosszabbításának a legmagasabb kitevővel rendelkező „x” fordított törtrészével). Ezeket aztán külön-külön lehet megtekinteni és összerakni. Ezt a következő függvény példáján kell szemléltetni:

`\ lim_ (x jobbra + infty) f (x) = \ lim_ (x jobbra + infty) \ frac (x ^ 3 + x) (x ^ 4-5) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | * frac (1) (x ^ 4) "

Ha a töredékes racionális függvények határértékének kiszámításakor a "\ frac (0) (0)" vagy a "\ frac (\ pminfty) (\ pminfty)" határozatlan kifejezésekkel találkozik, meg kell vizsgálnia a L’Hospital szabálya ahol a tört számlálója és nevezője egymástól külön-külön származik. Ez az új kifejezés akkor válik a határ művelt. Hogy ez pontosan hogyan működik, a L'Hospital szabálya című fejezetben olvashatja el.

Studybees Plus - Tanulási platform. Az előadásához igazodva.

Kompakt Szkriptek tanulása, az előadásához igazítva
Online összeomlási tanfolyamok a legjobb oktatóktól
Interaktív feladatok az optimális tanulási siker érdekében

Korlátlan hozzáférést kap a Wiwi-tanulmányok tananyagaihoz.

Célunk, hogy optimálisan felkészítsük Önt a vizsgáira. Fedezze fel most a StudybeesPlus-t: