Iterációs folyamat - matematikai lexikon
Matematikai lexikon: iterációs módszerek
Folyamatok, amelyek egy feladat megoldását a közelítő megoldások végtelen sorozatának határértékeként számolják.
Ezzel szemben a közvetlen eljárások olyan módszerek, amelyek (hibamentes számítások kerekítése esetén) véges számú lépés után kiszámítják a feladat pontos megoldását.
Néhány problémára, pl. B. a sajátérték-problémák megoldása során mindig iterációs módszereket kell alkalmazni a numerikus megoldáshoz, mivel ezeket a problémákat i. általában nem tudja közvetlenül megoldani.
Egyéb problémák esetén, pl. B. az Ax = b lineáris egyenletrendszerek megoldása, közvetlen vagy iteratív módszerek használhatók. A lineáris egyenletrendszerek közvetlen megoldásának módszerei jellemzően megváltoztatják az adott A együtthatómátrixot, és az eredeti problémát könnyebben megoldhatóvá alakítják. A lineáris egyenletrendszerek iteratív megoldásában az A együttható mátrix nem változik; iterációs lépés itt gyakran egy mátrix-vektor szorzás végrehajtása. Míg a közvetlen módszerek legalább elméletileg kiszámítják a probléma pontos megoldását, a konvergencia és a konvergencia sebességének kérdései fontosak az iterációs módszereknél.
A rögzített pontok iterációs módszere különösen érdekes a numerikus matematikában, amelyet úgy kell érteni, mint egy iterációs módszert egy fix pont kiszámításához a Banach rögzített pont tétele alapján; lásd még iterált ábrákat.
Végül néhány megjegyzés egy iterációs módszer viselkedésére egy fix pontegyenlet T (x) = x megoldásához a rögzített pont közelében. Legyen \ (M \ subseteq >> ^ \) és \ (T: M \ - >> ^ \) leképezés. Ha x * a T rögzített pontja, akkor a rögzített pont hozzávetőleges meghatározásához gyakran használjuk az x0 fix kezdő közelítésű \ (_ = T (_) \) iteratív módszert. Ezután az eljárás sorrendjének leírásával meghatározható az eljárás megoldási viselkedése a rögzített pont közelében. Ha van állandó c és egy \ (p \ in> \), amely: \ begin || ^ - ^ || \ le c \ cdot || ^ - ^ | ^
,\ vége 0 ≤ c 1, a T által generált módszert p rend metódusának nevezzük, feltéve, hogy egy x0-val kezdődik az x megfelelő szomszédságából *.
Minden p-edik sorrendű metódus lokálisan konvergál, vagyis van egy x * U szomszédság, így minden \ (_ \ U-ban) a hozzá tartozó iterációs szekvencia \ (_ = T (_) \) konvergál x-re *.
Ön is érdekelheti: Spektrum - Die Woche: 48/2020