Kondenzátor lemerítése ellenálláson keresztül - Landesbildungsserver Baden-Württemberg
Ha a diákok még nem ismerik meg az exponenciális függvényt matematika órán, akkor iteratív számítással történő modellezéssel kell választaniuk a téma megközelítését.
Ha elérhető az exponenciális függvény, akkor kövesse az ezen az oldalon látható utat is, és megoldhatja az elsőrendű differenciálegyenletet.
1.) A kapcsolási rajz.
Töltési folyamat
Ha a kapcsoló 1. helyzetben van, akkor a kondenzátort az ellenálláson keresztül a forrásból töltjük.
A jelenlegi irány az piros húzott. Az óramutató járásával ellentétes irányban van.
Kirakási folyamat
Ha a kapcsoló 2-es helyzetbe van állítva, akkor a forrás "leválasztásra kerül". A korábban feltöltött kondenzátor most ugyanazon az ellenálláson keresztül ürül.
A jelenlegi irány az zöld húzott. Az óramutató járásával megegyező irányban.
2.) A kondenzátor kisülés elmélete és a differenciálegyenlet.
2.1.) A kondenzátor feszültsége.
A következő a kondenzátor Q töltése és az Uc feszültség közötti kapcsolatra vonatkozik:
A kisütési folyamat során az Uc feszültség a kondenzátoron keresztül van az egyetlen forrás az áramkörben.
Minél jobban lemerül a kondenzátor, annál alacsonyabb lesz ez a feszültség.
2.2.) Mekkora a kisülési áram?
A kisülési áramra a következők vonatkoznak:
A mínuszjel figyelembe veszi, hogy a kisütésnél az áramlás pontosan ellentétes irányú, mint töltéskor (lásd fent)
2.3.) A jelenlegi erősség a töltés változásával függ össze.
Az áram erősségét a 2.2. a kondenzátorlapok Q (t) aktuális töltésmennyisége határozza meg.
Most a töltés a kondenzátorból áramlik, vagyis a kondenzátor Q (t) töltésének mennyisége egyre kisebb. Ezért az I (t) áram egyre inkább csökken.
A kisütési folyamat kezdetén másodpercenként sok töltés folyik le a kondenzátorról, később pedig kevesebb töltés.
Az alábbiak érvényesek:
Ez a pillanatnyi áramerősség analóg a Pillanatnyi sebesség a mechanikában.
Erről többet megtudhat a Kondenzátor töltése oldalon.
2.4.) A kisülés differenciálegyenlete.
Ha most egyenlővé tesszük a (2) és (3), akkor elérkezünk Differenciálegyenlet (DGL) 1. sorrend a kondenzátor kisütése.
A matematikából ismerjük az 1. rendû DGL formáját. A növekedési függvény DGL-je például formája
A fenti DGL hasonlóan néz ki, bal oldalon van egy derivált, jobb oldalon maga a függvény.
3.) A differenciálegyenlet megoldása.
3.1.) Első tájékozódás.
A megfelelő függvény keresésének megkönnyítése érdekében először figyelembe kell venni az egyes változók értékeit a kisütési folyamat legelején és közvetlenül a végén.
a kondenzátor teljesen fel van töltve.
a kondenzátor lemerül.
3.2.) A helyes megoldási funkció.
A differenciálegyenlet megoldási függvénye az Exponenciális függvény.
Itt nem kell sokat tudni róluk, de ez fontos:
| Ha levezet egy exponenciális függvényt, akkor azt egy prefaktorig reprodukálják. A kitevő állandó tényezője a függvény elé kerül. (Emlékeztető: f 'egy koordinátán alapuló származék lenne. A fizikusok egy f ponttal jelölik a deriváltat az idő szerint) | |
| T = 0 s esetén az exponenciális függvény értéke 1. (Ez olyan, mint 10 0 = 1). | |
| T = ∞ esetén az exponenciális függvény 0 lesz. (Ez is olyan, mint 10 - nagy szám = 0). |
Mi a helyes megoldási funkció?
Kis gondolkodással könnyű előállni a megfelelő ötlettel:
Ha akarja, kombinálhatja a C * Uq-t a kezdeti Qo töltet kialakításához.
T = 0 s esetén az exponenciális függvény értéke 1, tehát megkapjuk a kezdeti Q töltést (t = 0 s) = C * Uq = Qo.
T = ∞ esetén az exponenciális függvény 0 lesz, így a kondenzátor töltése akkor is 0.
3.3.) Mi a helyes kitevő?
De mi az a tényező értéke a kitevőben?
Ehhez figyelembe kell vennünk, hogy a kitevõnek dimenziómentesnek kell lennie.
Mivel a t időnek "s" dimenziója van, a a-nak tehát "1/s" dimenzióval kell rendelkeznie, és valamilyen módon tartalmaznia kell az R ellenállást és a C kapacitást.
Az egységeknél először próbáljuk ki az R és C szorzatát
(A transzformációkhoz szükséges egyenleteket fentebb soroljuk fel):
Szinte igaza van! Az a tényezőnek pontosan annak a kölcsönösnek kell lennie!
Tehát a megoldás funkció most:
3.4.) Az oldatminta.
Először levezetjük a függvényt:
. és illessze be a differenciálegyenletbe:
Nyilvánvalóan megközelítésünk megoldja a differenciálegyenletet. Megtaláltuk a megfelelő megoldási jellemzőket.
Tehát:
4.) A felezési idő.
A kirakodás elsőre gyors. Végtelen időbe telik azonban, amíg a kondenzátor 100% -ban kisüt. Ezért nincs értelme meghatározni a kisütési időt.
Ehelyett használja a Felezési idő th, ez az az idő, amikor a kondenzátor csak félig töltődik fel, vagyis az az idő telik el, amíg Uc = Uq/2. Az alábbiak érvényesek:
Jegyzet:
Ez pontosan ugyanaz az idő, amikor a kondenzátor csak félig töltődik fel a töltési folyamat során.
A töltési folyamat és a kisütési folyamat felezési ideje tehát ugyanaz.
5. Összefoglalás.
Itt vannak a görbék és függvények a Kirakási folyamat összefoglalva: