Termékszabály-példák
A példák csak racionális és trigonometrikus függvényeket tartalmaznak, mivel a termék szabályával általában a további függvényosztályok bevezetése előtt foglalkoznak. A mindennapi iskolai életben - különösen az alapszakokon - a szabályra az exponenciális függvény kapcsán van szükség, amelyet általában közvetlenül a levezetési szabályok után vezetnek be.
Bár minden egyes összegből levezethető összegek, ez nem olyan egyszerű egy termékkel:
Termékszabály
$ f (x) = u (x) \ x v (x) $ $ \ Rightarrow $ $ f '(x) = u' (x) \ x v (x) + u (x) \ x v '(x) ) $
Mikor kell a termék szabálya?
Lazán fogalmazva: mindig szükséged van rá, ha van egy „Függvény $ x $ -al szoros Term-vel $ x $ -val” funkció (ha a változó neve $ x $). Nem számít, melyik tényezőt hívják $ u (x) $ vagy $ v (x) $. Ha a termékszabály nem kifejezetten szükséges, akkor az előzetes átalakítás gyakran könnyebb, különösen racionális funkciókkal.
Példák
- $ f (x) = (5x ^ 2-3) \ cdot (8x ^ 3 + 2x) $
Először kiírjuk a tényezőket, és külön levezetjük őket:
$ \ beginu (x) & = 5x ^ 2-3 & u '(x) & = 10x \\ v (x) & = 8x ^ 3 + 2x & v' (x) & = 24x ^ 2 + 2 \ end $
Most beillesztésre került a termékszabály:
$ f '(x) = 10x \ cdot (8x ^ 3 + 2x) + (5x ^ 2-3) \ cdot (24x ^ 2 + 2) $
Ha a feladat megköveteli a kifejezés utólagos leegyszerűsítését, akkor a zárójeleket el kell bontani:
$ \ beginf '(x) & = 80x ^ 4 + 20x ^ 2 + 120x ^ 4 + 10x ^ 2-72x ^ 2-6 \\ & = 200x ^ 4-42x ^ 2-6 \ end $
Ebben a feladatban jogos kérdés, hogy van-e értelme a termékszabály alkalmazásának. Valójában könnyebb lenne először feltörni a zárójelet, majd levezetni. Ha a te választásod, tedd ezt. Természetesen, ha a termékszabály használatát kérik, akkor be kell tartania. - $ f (x) = x ^ 5 \ cdot \ frac $
Ez az egyik (értelmetlen) példa, amely sajnos még mindig nagy számban megtalálható az iskolai könyvekben, bár korábbi egyszerűsítéssel sokkal könnyebben levezethető lenne a hatalmi törvények felhasználásával. Annak érdekében, hogy a termék szabályával levezethető legyen, először írunk
$ f (x) = x ^ 5 \ cdot x ^ $
majd levezetik:
$ \ beginf '(x) & = 5x ^ 4 \ cdot x ^ + x ^ 5 \ cdot (-2x ^) \\ & = 5x ^ 2-2x ^ 2 \\ & = 3x ^ 2 \ end $
Ha először egyszerűsít, akkor sem a termékszabály, sem az azt követő összefoglalás nem szükséges:
$ f (x) = x ^ 3 \; \ Rightarrow \; f '(x) = 3x ^ 2 $ - $ f (x) = x ^ 2 \ cdot \ sin (x) $
Ebben az esetben a termékszabály elengedhetetlen. A tényezők olyan egyszerűek, hogy azonnal felírhatja az eredményt:
$ f '(x) = 2x \ cdot \ sin (x) + x ^ 2 \ cdot \ cos (x) $
Itt nem lehet összefoglalni. - $ f (x) = \ cos ^ 2 (x) $
Ez egy rövid jelölés a $ f (x) = (\ cos (x)) ^ 2 $ kifejezéshez. Ez a függvény levezethető a láncszabály szerint, de a szorzatszabály úgy is lehetséges, hogy a négyzetet két egyenlő tényező szorzataként írjuk be:
$ f (x) = (\ cos (x)) ^ 2 = \ cos (x) \ cdot \ cos (x) $
Most ismét alkalmazzák a termékszabályt:
$ \ beginf '(x) & = - \ sin (x) \ cdot \ cos (x) + \ cos (x) \ cdot (- \ sin (x)) \\ & = - 2 \ sin (x) \ cos (x) \ end $ - $ f (x) = 3 \ cdot (x ^ 4-4x) $
Ez valójában nem a termék szabályára vonatkozik, hanem a faktor szabályra, mivel az első tényező nem függ a $ x $ változótól. Ha továbbra is alkalmazza a termékszabályt, ne feledje, hogy egy szám deriváltja nulla, és ebben az esetben nem szabad kihagyni, mert ez tényező, és nem összegző:
$ \ beginf '(x) & = \ underbrace \ cdot (x ^ 4-4x)> _ + 3 \ cdot (4x ^ 3-4) \\ & = 3 \ cdot (4x ^ 3-4) \\ & = 12x ^ 3-12 \ vége $ - $ f (x) = - 2 \ cdot x \ cdot \ cos (x) + \ frac 25x ^ 5 $
Ne keverje össze: nem három tényezőről van szó, hanem csak kettőről, mivel az első tényező egy szám. Az első összeg a termékszabály szerint származtatható ($ u (x) = - 2x $; $ v (x) = \ cos (x) $), a második "normális", azaz egyszerűen a teljesítményszabály szerint:
$ \ beginf '(x) & = - 2 \ cdot \ cos (x) -2x \ cdot (- \ sin (x)) + 2x ^ 4 \\ & = - 2 \ cos (x) + 2x \ sin ( x) + 2x ^ 4 \ $ vége
Esetenként a termékszabály három tényezővel bővül.
Termékszabály három tényezőre
$ f (x) = u (x) \ cdot v (x) \ cdot w (x) \; $ $ \ Rightarrow \; $ $ f '(x) = u' (x) \ cdot v (x) \ cdot w (x) + u (x) \ cdot v '(x) \ cdot w (x) + u (x) \ cdot v (x) \ cdot w' (x) $
Tehát a három tényező mindegyikét levezetik és megszorozzák a másik két eredeti tényezővel; ezeket a kifejezéseket ezután hozzáadjuk.
Származtatás
Először zárójeleket tettünk, hogy csak két tényezőnk legyen, még akkor is, ha a második tényező ismét termék:
$ f (x) = u (x) \ cdot \ bal [v (x) \ cdot w (x) \ right] $
Ezt a terméket két tényező szabálya szerint vezethetjük le:
$ f '(x) = u' (x) \ cdot \ left [v (x) \ cdot w (x) \ right] + u (x) \ cdot \ left [v (x) \ cdot w (x) \ right] '$
A $ \ left [v (x) \ cdot w (x) \ right] '$ kifejezés szintén a termék szabálya szerint származik két tényezőre:
$ \ left [v (x) \ cdot w (x) \ right] '= v' (x) \ cdot w (x) + v (x) \ cdot w '(x) $
Telepítés:
$ f '(x) = u' (x) \ cdot \ left [v (x) \ cdot w (x) \ right] + u (x) \ cdot \ left [v '(x) \ cdot w (x ) + v (x) \ cdot w '(x) \ right] $
Most kinyitjuk a hátsó konzolt, és az első nyáron kihagyjuk a felesleges konzolt, és az eredmény megvan:
$ f '(x) = u' (x) \ xx (x) \ xx (x) + u (x) \ xx + x (x) \ x (x) \ cdot w '(x) $
példa
$ f (x) = x ^ 2 \ cdot \ sin (x) \ cdot \ cos (x) $
Három olyan tényező létezik, amelyeket előzetesen nem lehet egyszerűsíteni vagy összefoglalni [1]. Ezért a szabály három tényezőre vonatkozik:
$ f '(x) = 2x \ cdot \ sin (x) \ cdot \ cos (x) + x ^ 2 \ cdot \ cos (x) \ cdot \ cos (x) + x ^ 2 \ cdot \ sin (x ) \ cdot (- \ sin (x)) $
Az eredmény csak kissé rövidebben írható:
$ f '(x) = 2x \ sin (x) \ cos (x) + x ^ 2 \ cos ^ 2 (x) -x ^ 2 \ sin ^ 2 (x) $
A mindennapi iskolai életben a termékszabály szinte mindig két tényezőre elegendő. Három tényezővel rendelkező levezetéseket használnak inkább a "technikai gyakorlásra".
[1] Aki ismeri a trigonometrikus függvények összeadási tételeit, felismeri az egyszerűsítés lehetőségét. Ezzel azonban nagyon ritkán foglalkoznak az iskolában.