03. cikk - 23. kötet - Nr. 4 - 2013
Definíciók és tételek
Nemzeti Informatikai Kutatóintézet, ICI, Bukarest
Összegzés: Ebben a cikkben áttekintjük azokat a tényeket, amelyek a matematika válságához, majd azok alapjainak felkutatásához vezettek, ami biztosítja a tudomány alapjait. Kiemelik, hogy a meghatározás nem egyedi, és hogy a matematika motoros idege, azt egy propozíciós funkción keresztül hajtják végre, amely az intellektuális alkotás számára a mozgás minden szabadságát meghagyja.
Kulcsszavak:definíció, propozíciós funkció, metamatematika, demonstráció.
Bevezetés"Szinte nincs két matematikus, akinek tudománya alapjairól szóló elképzelései teljesen egyetértenek" - mondja Arend Heyting. (Mathematische Grundlagenforschungen. Intuitionizmus, Beweistheorie, Springer, Berlin, 1934) a matematika filozófiájának álláspontjai közötti eltérés. És ez az állítás helyes. Paradox módon a matematika logikai alapjainak kutatása az alapozás helyett meggyengítette őket, és igazságukat önkényes konvenciókká változtatta. Másrészt a matematika teljes ragyogásában létezik, fejlődött és tovább növekszik a róla elmondottakon túl, figyelve arra, amit Hilbert "metamatematikának" nevez.
A matematika természetének és alapjainak logikai vagy filozófiai igazolására irányuló minden erőfeszítés leküzdhetetlen nehézségekbe ütközött és nehéz, sőt megoldhatatlan problémákat okozott. Ilyenek például a logikai-matematikai paradoxonok, a Kurt Gödel által felfedezett eldönthetetlenség (Unentscheidbarkeit) problémája, az elmélet ellentmondásmentességének problémája stb. Ezek a tények a matematikát válságos állapotba hozták, amelyet a szakemberek nyíltan elismertek.
Egyenesen szólva azt mondjuk, hogy valójában nem a matematika, hanem a metamatematika válsága. A paradox problémák nem a matematikai igazságok testének fejlődéséből fakadnak, hanem csak abból a tényből, hogy ezekről az igazságokról beszélünk.
Egyes szerzők úgy vélik, hogy más "kríziseket" is találhatnak a matematika történetében. Például A. Fraenkel és J. Bar-Hillel ragaszkodnak ahhoz az elképzeléshez, hogy a huszadik század nem az első olyan időszak, amikor a matematika "alapítványok válságát" érte. Számukra három nagy válság rázta meg a matematikát a történelem során.
Sok kísérlet van a legutóbbi válság leküzdésére. Csak arra a tényre hívjuk fel a figyelmet, hogy a három említett krízis eltérő természetű: míg az első kettő középpontjában meglepő matematikai felfedezések találhatók, amelyek szokatlan jellegükkel lenyűgözték a kortársak szellemét, az utolsó válságnak sajátos jellege van, mert -kísérlet a matematika új nyelven történő rekonstrukciójára, annak alapjainak biztosítására. Más szavakkal, a korábbi válságokat úgy sikerült legyőzni, hogy új és "furcsa" eredményeket szilárdítottak meg a matematikán belül; az új krízis a korunkban elért rendkívüli eredmények metamatematikai vizsgálatából adódott, amikor a matematikát kívülről próbálta megszilárdítani, nyelvük mesterséges rekonstrukciójával (ami nem az, amelyben az eredményeket kapták). Így látható, hogy az utolsó krízist metamatematikai megfontolások okozták, ezért ezek a tudományok nem félhetnek ezektől a többé-kevésbé filozófiai és túl kifejezetten nyelvi spekulációktól.
Valóságosnak tűnő matematikai katasztrófa után, amelyet ennek a válságnak a bekövetkezése okozott, a vezető gondolkodók alaposabban mérlegelni kezdték a történteket. Így néhány olyan hang elhangzott, amelyek azt állították, hogy a matematikának egyáltalán nincs szüksége "alapra". Ebből a szempontból egy különösen mérvadó hang gyűlt össze, Hilary Putnam (Matematika alapok nélkül, "The Journal of Philosophy", LXIV, 1967).
következtetések: Most foglaljuk össze a fent elért eredményeket, amelyeket természetesen csak a cikk szűk helyén vázolhatnánk fel.
Úgy gondoljuk, hogy a fentiekben választ tudtunk adni arra a két problémára, amelyet Mostowski a matematika alapvető problémájának tart. Válaszunk azt mutatja, hogy a matematikai objektum logikai problémája - és ezen keresztül a matematika révén - nem filozófiai probléma. Természetesen nem vitatjuk az ilyen filozófiai kérdések felvetésének legitimitását. De a matematikai tárgy és az érvelés problémáinak filozófiai szempontból történő felhelyezése azt jelenti, hogy egy további problémát és elméleteket kell létrehozni válaszként erre a problémára, amelyek csak "epitettek", intellektuális epifenománok, messze, többé-kevésbé a jelenségtől közvetlen és megfelelő matematikai értelmiségi. És ezt - számunkra úgy tűnik - tisztán logikai elemzésünkkel kellően megmagyaráztuk. A matematikai aktusnak két aspektusa van: a kreatív szempont, amelyen keresztül egy új "objektum" kerül bevezetésre, a függvény meghatározása; a demonstratív szempont, amely megállapítja az ilyen funkciók egyenértékűségét az elmélet testében. Így a két művészet együtt található: az ars inveniendi és az ars demonstrandi, mint ugyanazon folyamat két oldala, amely a logikai-matematikai folyamat.
Arra törekedtünk, hogy a logika kizárólagos területén maradjunk. De a tárgy természete, valamint a matematikai érvelés, amint azt a fentiekben kifejtettük, új megvilágításba helyezheti azokat az okokat, amelyek arra késztették Platónt és Arisztotelészt, hogy a matematikai tárgyakat különleges helyzetnek tekintsék. Valójában Platón számára a matematikai objektum és különösen a geometriai ábrák köztes tartományt alkotnak az ötletek és az értelmes dolgok között. (Lásd például: Politeia, VII, 529.) Hasonlóképpen, Arisztotelész is megkérdőjelezi a matematikai entitásokat "autonómiájukért"; csak az absztrakciónak lennének köszönhetőek, autonóm létezésük nélkül (De anima, I, 1 és III, 7; Metaphysica, K, 4, 1 061 b és E, 1, 1 026 stb.). A változók lárvavilágát, amelyet a matematikus "szabadon" hozott létre, nem lehetett azonosítani sem Platón transzcendens eszméinek, sem Arisztotelész immanens esszenciáinak világával.
BIBLIOGRÁFIA
Ez a munka Creative Commons Nevezd meg! 4.0 nemzetközi licenc alatt van licencelve.