Az ideális gáz állapotának egyenlete - fizika
További tanulási videók és számos anyag vár rád:
Komplett csomag mérnökhallgatók számára
A videó betöltődik .
Ha a videó rövid idő után nem jelenik meg:
Videó megtekintési útmutató
- Hőellátás
- Hőleadás
- Hőállapotegyenlet ideális gázokhoz
- A fajlagos gázállandó
- Hőállapotegyenlet
- 1. alkalmazási példa: Az ideális gáz állapotának hőegyenlete
- Videó: Az ideális gáz állapotegyenlete
- 2. alkalmazási példa: Az ideális gáz hőállapot-egyenlete
- 3. alkalmazási példa: Az ideális gáz állapotának hőegyenlete
A három hőállapot-változó figyelembevétele után most meg akarjuk mutatni a három változó közötti kapcsolatot.
Hőellátás
A Hőellátás oda vezet
- a hőmérséklet emelkedik
- a hangerő növekszik
- a sűrűség csökken
- a nyomás növekszik.
Hőleadás
A Hőleadás oda vezet
- süllyed a hőmérséklet,
- a hangerő csökken
- a sűrűség növekszik,
- a nyomás csökken.
Most általában megfogalmazhatjuk a következő összefüggést a három termikus állapotváltozó között:
Ez az egyenlet azt mondja, hogy kapcsolat van e három állapotváltozó között. Ennek a kapcsolatnak köszönhető, hogy a harmadik változót két adott változóból lehet kiszámítani egy adott állapotra. A következő felbontások lehetségesek:
$ p = p (T, v) $; $ v = v (p, T) $; $ T = T (p, v) $
Értesítés
Ezeket az állapotegyenleteket kísérletileg határozzák meg, és minden anyaghoz külön hőállapot-egyenlet van.
Hőállapotegyenlet ideális gázokhoz
Az ideális gázok hőállapot-egyenlete egyszerű formában van, ezért alkalmas a nyomás, a térfogat és a hőmérséklet közötti összefüggések bemutatására. Normál nyomás alatt és jóval a forráspont felett minden gáz megközelítőleg úgy viselkedik, mint egy ideális gáz, vagyis az egyes gázrészecskék térfogata elhanyagolható (a teljes térfogathoz képest), csakúgy, mint az egyes részecskék kölcsönhatása egymással.
A fajlagos gázállandó
Ideális gáz esetében a $ p $, $ v $ és $ T $ kapcsolata érvényes, amely mindig ugyanazt az állandó értéket veszi: $ R_i $:
módszer
$ R_i = \ frac
$ for $ \ rho \ és $ 0.
$ v $ specifikus kötet
$ R_i $ az a fajlagos gázállandó, amelynek különböző méretei vannak a különböző gázokhoz. Ezt lehet venni táblázatokból vagy kiszámítani.
A független számításhoz a $ R $ univerzális gázállandóra van szükség,
Értesítés
$ R = 8.314.47 \ frac $ Univerzális gázállandó
amelyet elosztunk a vizsgált gáz moláris tömegével:
módszer
$ R_i = \ frac $ Fajlagos gázállandó kiszámítása
A $ R $ univerzális gázállandó minden ideális gázra ugyanazon fizikai körülmények között vonatkozik. Az univerzális gázállandó Avogadro tételéből következik:
Értesítés
Minden ideális gáz azonos számú részecskét tartalmaz ugyanabban a térfogatban, ugyanazon a hőmérsékleten és nyomáson (Avogadro tétele).
Hőállapotegyenlet
A fenti egyenlet átalakítása után az ideális gáz hőállapot-egyenletét a következő módon kapjuk meg:
módszer
$ v = \ frac $ - specifikus kötet
Az állapotegyenlet kifejezhető $ V $ mennyiségben is (szorozva a fenti egyenletet $ m $ -val):
módszer
$ p $ - nyomás passzal
$ V $ - kötet $ m ^ 3 $ -ban
$ R_i $ Egyéni gázállandó
$ T $ - hőmérséklet Kelvinben
Vagy a hőállapot-egyenletet a $ R $ ($ n $ helyett $ m $) univerzális gázállandó fejezi ki:
módszer
$ R $ - Univerzális gázállandó
-a moláris térfogattal (ossza el a fenti egyenletet $ n $ -val):
$ v_m = \ frac $ - Moláris térfogat
Az ideális gázok hőállapot-egyenlete az összes hőállapot-egyenlet korlátozó esetét képviseli. Ez alacsony sűrűségű $ \ rho \ -tól 0 $ -ig érvényes, azaz alacsony nyomáshoz kellően magas hőmérsékleten. Ebben az esetben a gázmolekulák belső térfogata és a molekulák közötti vonzóerő elhanyagolható. Sok gáz, például vízgőzzel telítetlen levegő esetében ez az egyenlet normál körülmények között is jó közelítés.
1. alkalmazási példa: Az ideális gáz állapotának hőegyenlete
példa
20 MPa nyomás uralkodik egy 0,1 m ^ 3 $ térfogatú edényben. A hőmérséklet $ t = 25 ° C $, és a tartály oxigénnel van megtöltve. Az oxigént megközelítőleg ideális gáznak kell tekinteni. Számítsa ki az oxigén tömegét!
Az állapot hőegyenlete:
Adott:
$ p = 20 MPa = 20 000 000 Pa $
T = 273,15 K + 25 = 298,15 K $
módszer
A $ R_i $ specifikus (speciális) gázállandót egy táblázatból vettük. Ezt úgy is kiszámíthatjuk, hogy felhasználjuk az univerzális gázállandót, amelynek $ R = 8.314.47 \ frac $, és elosztjuk az oxigén moláris tömegével (lásd a periódusos táblázatot). Az oxigén moláris tömege ($ O_2 $):
$ M_ = 2 \ szor O = 2 \ szor 15999 u = 31,998 u = 31,998 \ frac = 31,998 \ frac $
A fajlagos gázállandót ekkor adjuk meg:
Keresés:
Helyezze be az értékeket és oldja meg a $ m $ értéket:
20 000 000 USD Pa-szor 0,1 m ^ 3 = m-szer 259,8 \ frac \ alkalommal 298,15 K $
Az egység kiszámítása:
A tartályban lévő oxigén tömege $ m = 25,82 kg $.
Videó: Az ideális gáz állapotegyenlete
A videó betöltődik .
Ha a videó rövid idő után nem jelenik meg:
Videó megtekintési útmutató
2. alkalmazási példa: Az ideális gáz hőállapot-egyenlete
példa
A fenti U-csöves manométer meg van adva. Az U-csövet a bal felső sarokban lezárjuk és nitrogénnel töltjük meg. Ezt követi a nyilvánvaló magasságkülönbséggel rendelkező higany és a tartály, amely bármilyen gázzal meg van töltve. A nitrogént megközelítőleg az ideális gáznak kell tekinteni. Mekkora az abszolút nyomás a tartályban?
U-csöves manométerrel a tartály belsejében lévő abszolút nyomást a következők segítségével számítják ki:
$ p = p_b + \ rho \; H \; g $
A $ p_b $ referencianyomás az a nyomás, amelyet a nitrogén a higanyra gyakorol a bal oldalon. Ez azt jelenti, hogy először meg kell határozni a referencianyomást, hogy ezután kiszámíthassuk a tartályban lévő abszolút nyomást.
A referencianyomás (vagyis a nitrogén nyomása) az állapot hőegyenletével határozható meg, mivel feltételezzük, hogy a nitrogén megközelítőleg az ideális gáz:
$ p_b V = m \; R_i \; T $
A hangerő a nitrogént az oszlop magasságával lehet kiszámítani, amelyben a nitrogént megszorozzuk a területtel. Mivel az oszlop átmérője $ d = 4mm $, a terület a következőképpen számítható:
Ez egy kör keresztmetszetű oszlop.
$ A = \ pi \ cdot 2 ^ 2 mm ^ 2 = 12,566 mm ^ 2 $.
A térfogatot most a nitrogén tartalmú oszlop magasságával kell kiszámítani:
$ V = 500 mm \ 12,566 mm ^ 2 = 6,283 mm ^ 3 = 6,283 \ 10 × m ^ 3 $.
A Méretek $ m = 0,02g = 2 \ cdot 10 ^ kg $ értékkel adható meg.
A fajlagos gázállandó táblázatból és a nitrogén mennyiségéről olvasható le:
A hőmérsékletet $ t = 0 ° C $ értékkel adjuk meg:
Értesítés
FONTOS: Az egységeket mindig helyesen kell átalakítani, hogy a megfelelő eredményt kapjuk.
A hőállapot-egyenlet most megoldható $ p_b $ esetén, és a beillesztett értékek:
módszer
$ p_b = 258.064,36 Pa $ referencianyomás (nitrogén)
A referencianyomás meghatározása megtörtént. A grafikon a higany magasságának különbsége alapján azt mutatja, hogy a referencianyomás nagyobb, mint a tartályban lévő nyomás. A tartályban lévő abszolút nyomás most meghatározható az U-csöves manométer egyenletével:
$ p = p_b - \ rho \; H \; g $
A mínuszjel, mert a referencianyomás nagyobb, mint a tartályban lévő nyomás. A $ p_d = \ rho h g $ nyomáskülönbség ezért negatív. A higany sűrűsége $ \ rho = 13,550 kg/m ^ 3 $.
$ p = 258 064,36 Pa - 13550 kg/m ^ 3-szor 0,1 m-szer 9,81 m/s ^ 2 $
módszer
$ p = 244 771,81 Pa $. Abszolút nyomás a tartályban
3. alkalmazási példa: Az ideális gáz állapotának hőegyenlete
Ismét megadjuk a 2. alkalmazási példában megadott U-csöves manométert, amelynek zárt oszlopát nitrogénnel töltjük meg. Az információk a grafikonon találhatók.
példa
Az oszlophoz most hő kerül, ami a bal oldali oszlop nitrogénjét 20 mm-rel tágítja. A tartályban lévő nyomásváltozás, valamint a higany sűrűségének és hosszának változása elhanyagolható.
Mekkora a nitrogén hőmérséklet-különbsége?
Mivel a tartályban lévő gáz nyomásváltozása elhanyagolható, a referencianyomást, vagyis a nitrogén nyomását az U-cső egyenletével lehet meghatározni:
$ p = p_b - \ rho \; H \; g $.
A mínuszjelet ismét használjuk, mert a nitrogén nyomása nagyobb, mint a tartályban lévő gázé. Ezt újra láthatja a magasságkülönbség alapján (lásd a nyomás fejezetet).
Az abszolút nyomás a tartályban a 2. alkalmazási példában $ p = 244 771,81 Pa $ volt. A higany sűrűsége $ \ rho = 13 550 kg/m ^ 3 $. Még meg kell határozni a magasságkülönbséget, amely a nitrogén tágulása miatt most 20 mm-rel megváltozott.
A nitrogén 20 mm-rel terjed a bal oszlopban, vagyis a higany szintje 20 mm-rel csökken a bal oszlopban. Ez oda vezet, hogy a jobb oszlop higanyszintje pontosan ezzel a 20 mm-rel nő. Az előző magasságkülönbség tehát $ 2 \ cdot 20mm $ -val $ h = 140 mm $ -ra nő.
$ p = p_b - \ rho \; H \; g $.
244 771,81 USD Pa = p_b - 13 550 kg/m ^ 3-szor 0,14 m-szer 9,81 m/s ^ 2 $
módszer
$ p_b = 263 381,38 Pa $. Referencia nyomás (nitrogén)
Most, hogy meghatároztuk a referencianyomást, a hőmérséklet-különbség meghatározható az állapot hőegyenletével:
(1) $ p_2V_2 = m \; R_i \; T_2 $
(2) $ p_1V_1 = m \; R_i \; T_1 $
Ezt a két hőállapot-egyenletet figyelembe kell venni, és minden változó mennyiséget (hőmérséklet, térfogat és nyomás) indexekkel kell ellátni. A nitrogén tömege és a fajlagos gázállandó ugyanaz marad. Ezek az egyenletek most kivonásra kerülnek egymásból:
(1) - (2): $ p_2V_2 - p_1V_1 = m \ cdot R_i (T_2 - T_1) $.
A feladatban a hőmérséklet-különbség utáni kérdés az, hogy miért:
A $ p $ nyomás a referencianyomás (nitrogén), mivel feltételezzük, hogy ez az ideális gáz. A $ p_2 $ referencianyomás az új referencianyomás melegítés után, a $ V_2 $ pedig az új térfogat a melegítés után.
Az új térfogatot úgy számítják ki, hogy 20 mm-rel kitágítják a nitrogén által elfoglalt magasságot:
$ V_2 = (20mm + 500mm) \ cdot \ pi \ cdot 2 ^ 2 = 6 534,51 mm ^ 3 = 6 534,51 \ cdot 10 ^ m ^ 3 $.
A $ p_1 $, $ V_1 $, $ m $ és $ R_i $ értékei a 2. alkalmazási példából vehetők fel: