Bevezetés az üzleti információs rendszerekbe VO WS 2008 PDF ingyenes letöltés
Bevezetés az üzleti informatikába VO WS 2008/2009 adatmodellek irányítják Wilfried Grossmannt
Az optimális viselkedés meghatározásához gyakran matematikai modelleket használnak. Ebből a célból meghatároznak egy olyan célfüggvényt, amely a döntési változóktól függ. Általában a korlátokat is figyelembe kell venni ezeknél a döntési változóknál.
Példa diéta problémára Példa: diéta probléma A táplálkozáshoz bizonyos mennyiségű két A és B vitaminra van szükség, amelyek a tápanyagokban, valamint a gyümölcsben és a tejben találhatók. A gyümölcsnek és a tejnek meghatározott egységára van. Hány egység gyümölcsöt és tejet kell elfogyasztania az embernek naponta, hogy a költségek a lehető legkisebbek legyenek?
Adatok például a kontrollhoz Példa étrendproblémára Gyümölcstej Minimális napi szükséglet A-vitamin 2 4 40 B 4 2 50 Költség egységenként Vitamin tartalom egységenként 3 2,5
Példa étrendproblémára Az étrendprobléma feladatként való megfogalmazása Döntési változó x = elfogyasztott gyümölcs egységei = elfogyasztott tej egységei
Példa étrendproblémára Mivel bizonyos vitaminok minimális követelményei vannak, a mennyiségeknek a következő feltételeknek kell megfelelniük: 2x + 4x + 4 y 2 y x 0, y 40 50 0
Példa diéta problémára Az ezeknek a feltételeknek megfelelő gyümölcs- és tejmennyiségeket megengedett tartománynak nevezzük. Grafikus ábrázolás 30 25 20 B-vitamin 4x + 2y = 50 Tej 15 10 Megengedett tartomány 5 0 0 5 10 15 20 25 Gyümölcs-A-vitamin: 2x + 4y = 40
Példa diéta problémára A célfüggvény az elfogyasztott tápanyagok költségeiből adódik, z = 3 x + 2. 5 y Ezeknek a költségeknek minimálisnak kell lenniük
Példa diéta problémára A következő problémára keressük a megoldást: min z = 2x + 4x + 4 y 2 y x 0, y 3x 40 50 0 + 2,5y
Példa diéta problémára Grafikus ábrázolás 30 pénzegységgel Költség 30 tej 25 20 15 10 5 0 B-vitamin 4x + 2y = 50 Célfüggvény: Költségek Megengedett tartomány 0 5 10 15 20 25 Gyümölcs A-vitamin: 2x + 4y = 40
Példa étrendprobléma grafikus ábrázolására 50 pénzegységgel 30 tej 25 20 15 10 5 0 B-vitamin 4x + 2y = 50 célfüggvény: megengedett költségtartomány 0 5 10 15 20 25 gyümölcs A-vitamin: 2x + 4y = 40 Ezek a költségek megengedett megoldást eredményeznek, de találj jobb megoldásokat
Példa diéta problémára Optimális megoldás 42,5 pénzegység, 10 egység gyümölcs és 5 egység tej 30 tej 25 20 15 10 5 0 B-vitamin 4x + 2y = 50 Célfüggvény: költségek Megengedett tartomány 0 5 10 15 20 25 Gyümölcs A-vitamin: 2x + 4y = 40
A lineáris programozást, az olyan általános problémákat, mint ez a példa, lineáris programoknak nevezzük Kérdések: Milyen feltételek mellett lehet egy kérdést lineáris programként megfogalmazni? Arányosság, additivitás, oszthatóság, meghatározottság
Lineáris programozás, általános Mi a megengedett tartomány, ha kettőnél több változó van? Convex Polyhedron Mindig előfordul, hogy a megoldást egy sarokban feltételezzük? Igen, ha van megoldás, hogyan lehet általában kiszámolni ezt a megoldást? A sarkok megfelelnek a lineáris egyenletek megoldásának, hatékony módszerekre van szükségünk az optimális sarok megtalálásához
Lineáris programozás, érzékenység Hogyan változik a megoldás, amikor megváltoztatjuk a termék költségét? Példa: Megoldás, ha az egységenkénti tejköltség 1,2 30-ra csökken. Tej 25 20 15 10 5 0 B-vitamin 4x + 2y = 50 Célfüggvény: Költségek Megengedett tartomány 0 5 10 15 20 25 Gyümölcs-A-vitamin: 2x + 4y = 40
Lineáris programozás, érzékenység Hogyan változik a megoldás, ha megváltoztatjuk a vitaminok szükségességét? Példa: Megoldás, ha az A-vitamin minimális követelménye 60 egységre emelkedik. A költségek ekkor 49 pénzegységet jelentenek 30 25 20 B-vitamin 4x + 2y = 50 tej 15 megengedett tartomány 10 célfüggvény: 5 A-vitamin költség: 0 2x + 4y = 40 0 5 10 15 20 25 30 35 gyümölcs
Lineáris programozás, kettősség A probléma figyelembevétele a gyümölcs- és tejértékesítés szempontjából: Az ügyfél valóban vitaminokat akar, és fizet a vitaminokért. Milyen áron kérhetek egységnyi vitamint, hogy ne legyek drágább, mint a gyümölcs jelenlegi ára és a tej?
Lineáris programozás, kettősség Ez a kérdés a következő problémához vezet: max z = 40x + 2x + 4 y 3 4x + 2 y 2,5 x 0, y 0 50y Ezt a feladatot kettős feladatnak hívják
Lineáris programozási kettősség A megoldás az A-vitamin egységenkénti 1/3, a B-vitamin egységenkénti 7/12 árát adja. Az oldat értéke ismét 42,5. Tehát egyensúly van a vevő költsége és az eladó jövedelme között.
Lineáris programozás, kettősség Grafikus ábrázolás 2 A B-vitamin ára 1,5 1 0,5 0 Megengedett tartomány A tej ára 4x + 2y = 2,5 Célfüggvény: Hozam 0 0,5 1 1,5 2 A-vitamin ára Gyümölcs ára: 2x + 4y = 3
Egész lineáris programozás Használható-e a módszer akkor is, ha minden értéknek egész számnak kell lennie? Nem! Példa: keresse meg a megoldást a max z = 11x 10x y 40 x + y 20 x 0, y 0 y egész számokban
Egész szám lineáris programozás Optimális megoldás: x = 5, y = 10 45 értékkel. A lineáris program megoldása: x = 5,45, y = 14. 54, 45.45 érték Következő egész megoldás: x = 5, y = 15, érték 40 30 25 y 20 15 10 5 10x-y = 40 Megengedett tartomány Célfüggvény: Előny x + y = 20 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 x