Binomiális képletek a 3, 4, 5 erejéig

Ebben a cikkben a nagyobb teljesítményű binomiális képletekkel foglalkozunk. Példákat is kiszámítanak. Ez a cikk a matematikai részünk része.

Amikor a binomiális képletekről beszélünk, a legtöbben a három „normális” binomiális képletre gondolnak a 2-es kitevővel. Ha ezeket keresi, megtalálja őket a Binomiális képletek cikkben. Itt más kitevőket nézünk meg. A binomiális képletekről van szó 3, 4, 5 stb. Erejéig.

Magyarázat videóként:
Ez a témakör videóként is elérhető. Ebben tipikus feladatokat, példákat és levezetéseket mutatnak be. Egy gombbal át lehet váltani teljes képernyős módba. A videó közvetlenül elérhető a Binomial Formulas: Higher Powers Video részben is. Ha lejátszási problémái vannak, a Videoproblémák cikk segít.

Binomiális képletek a 3 erejéig

Kezdjük a binomiális képletekkel, amikor a kitevő 3. Először ott van a teljes matematikai kontextus. Ezután a levezetéshez megyünk, majd példákat nézünk.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Először az egészet írjuk le részletesen. Ezután szorozzuk (a + b) · (a + b) és kapunk egy 2 + 2ab + b 2-t. Mint azt már a "normál" binomiális képletekből tudjuk. És akkor ezt az eredményt megszorozzuk (a + b) -vel. Az egyes lépések a következők:

(a + b) 3 = (a + b) (a + b) (a + b)
(a + b) 3 = (a + b) (a 2 + ab + ba + b 2)
(a + b) 3 = (a + b) (a 2 + 2ab + b 2)
(a + b) 3 = a a 2 + a 2ab + a b 2 + b a 2 + b 2ab + b b 2
(a + b) 3 = a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3

(3 + 5) 3 = ?
(3 + 5) 3 = 3 3 + 3 3 5 2 + 3 3 2 5 + 5 3
(3 + 5) 3 = 512

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Binomiális képletek a 4 és 5 erejéig

Most nézzük meg a binomiális képletek 4. és 5. hatványának szorzatait.

(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
(a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5

(a - b) 4 = a 4 - 4a 3 b + 6a 2 b 2 -4ab 3 + b 4
(a - b) 5 = a 5 - 5a 4 b + 10a 3 b 2 -10a 2 b 3 + 5ab 4 -b 5

Példák levezetésre:

A levezetésekhez a 3 teljesítményének eredményeit használtam a 4 teljesítményének kiszámításához. És akkor ezt az eredményt ismét felhasználjuk az 5 teljesítményének kiszámításához. Ily módon magasabb potenciákat és különbségeket is levezethetünk.

(a + b) 4 = (a + b) (a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3)
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

(a + b) 5 = (a + b) (a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4)
(a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5

(2 + 3) 4 = 2 4 + 4 2 3 3 + 6 2 2 3 2 + 4 2 3 3 + 3 4
(2 + 3) 4 = 625