Boltzmann állandó - vegyésziskola
Boltzmann állandója
| Vezetéknév | Boltzmann állandója |
| Képlet szimbólum | $ k \, $ vagy $ k_ \ mathrm \, $ |
| érték | |
| SI | 1380 USD \; 6488 \; \ cdot 10 ^ \ mathrm/\ mathrm $ |
| Bizonytalanság (rel.) | $ 91 \ cdot 10 ^ $ |
| Gauss | $ 8617 \; 3324 \; (78) \ cdot 10 ^ \ mathrm/\ mathrm $ |
| Források és megjegyzések | |
| Forrás SI értéke: CODATA 2010, közvetlen link: NIST | |
A Boltzmann állandója ($ K \, $ vagy $ k_ \ mathrm képlet szimbólum \, $) egy természetes állandó, amely központi szerepet játszik a statisztikai mechanika alapegyenleteiben. Max Planck vezette be, és Ludwig Boltzmann osztrák fizikusról, a statisztikai mechanika egyik megalapítójáról nevezték el [1]. Nem keverhető össze a Stefan-Boltzmann konstanssal.
Ludwig Boltzmann elképzeléseit [2] meghatározva Max Planck [3] az entrópiához kapcsolódó alapvető viszonya:
$ S = k_ \ mathrm \, \ ln \ Omega \,. $
Az entrópia S. egy makrostátum arányos
- a megfelelő lehetséges mikroállapotok (vagy más szavakkal) Ω számának természetes logaritmusa
- "rendellenességének" mértéke.
Az entrópia növekedése egy új makrostátumra való áttérésnek felel meg, ahol nagyobb számú lehetséges mikrostátus található. Zárt (elszigetelt) rendszerben az entrópia mindig növekszik (a termodinamika második törvénye).
Az arányosság állandója $ k_ \ mathrm $ (néha egyszerűen k írott), az Boltzmann állandója, általános érvényű, és rendelkezik az energia/hőmérséklet dimenzióval.
A Boltzmann-állandó értéke: [4] [5]
$ R_ \ mathrm $ - univerzális gázállandó [kJ/(kmol K)]
Ideális gáztörvény
A Boltzmann állandója lehetővé teszi egy részecske átlagos hőenergiájának kiszámítását a hőmérsékletből, és például ideális gázok esetében a gáztörvényben fordul elő:
A Boltzmann-állandó az ideális gáztörvény egyik lehetséges arányossági állandója
A szimbólumok jelentése:
- o - Nyomás
- V - Hangerő
- - részecskék száma
- T - Abszolút hőmérséklet
Az egy mólra számított univerzális gázállandót a Boltzmann-állandóból számoljuk R. = A · k az Avogadro-állandókat használva A.
A gázegyenlet kapcsolatba hozható a normál hőmérsékleti viszonyokkal is T0 és a nyomás o0 a Loschmidt-állandóval L átfogalmazható
Három dimenzióban egy (klasszikus) pontrészecske átlagos kinetikus energiája érvényesül a hőegyensúlyban:
$ \ langle E_ \ rangle = \ frac k T $
Általánosságban elmondható, hogy a következő eredmények adódnak egy f szabadságfokú részecske energiájához, amelyek négyzetként szerepelnek a Hamilton-függvényben (ekvivalencia-tétel):
$ \ langle E_ \ rangle = \ frac k T $
Például egy pontrészecskének 3 fokos transzlációs szabadsága van, a diatóma molekulának 2 fokos a forgásszabadsága is (a 3. tengely - a szimmetriatengely - mentén történő forgatással nem tárolható energia, mert a tehetetlenségi nyomaték itt viszonylag kicsi). Egy ilyen szimmetria nélküli molekulának 3 fokos forgásszabadsága van, azaz összesen 6. Ezenkívül kellően magas hőmérsékleten a kötések rezgései is vannak. A víz rendkívül nagy hőkapacitással rendelkezik a rengeteg ilyen rezgésfok miatt.
A Boltzmann-állandó megadja egy részecske átlagos kinetikus energiáját hőegyensúlyban, értéke 1/2 k T/szabadságfok.
A Boltzmann-állandó szerepe a statisztikai fizikában
Általánosságban elmondható, hogy a Boltzmann-állandó a statisztikai mechanika bármely rendszerének valószínűségi sűrűségében fordul elő termikus egyensúlyban: Az ilyen rendszerek termikus valószínűségi sűrűsége a termodinamikai hőmérsékleten $ T $ $ e ^>/Z $, $ Z $ normalizálási állandóval, ahol $ E $ az energia az. A $ Z $ normalizálási állandót partíciós függvénynek is nevezzük. A $ e ^> $ kifejezést Boltzmann-faktornak is nevezik.
Kapcsolat az entrópiával
A statisztikai fizikában az entrópia S. a zárt rendszer termikus egyensúlyban meghatározható a statisztikai súly természetes logaritmusaként Ω, amely egy bizonyos megvalósulási lehetőség, tehát egy mikroállapot valószínűségének mértéke, mivel:
$ S = k_ \ mathrm \, \ ln \ Omega \, $
Ez az egyenlet összeköti a mikroszkopikus állapotokat a Boltzmann-konstanson keresztül Ω zárt rendszerének az entrópia makroszkopikus méretéhez viszonyítva S. és ez a statisztikai fizika központi alapját jelenti.Ez az egyenlet kissé módosított nómenklatúrában Ludwig Boltzmann síremlékébe vésődik a bécsi központi temetőben.
A $ \ Delta S $ entrópiaváltást a klasszikus termodinamika a következőképpen határozza meg:
A mikroszkopikus partíciós függvény vonatkozásában az entrópia dimenzió nélküli mennyiségként is meghatározható:
Az entrópia ebben a „természetes” formájában megfelel az entrópia információelméleti meghatározásának, és az információelmélet központi mércéjét képviseli. kB.T a Boltzmann-állandóval képviseli azt az energiát az entrópiának S.′ Nitet emelni.
Példa szilárdtestfizikából
A félvezetőkben a p-n csomóponton keresztüli feszültség függ, amely a $ \ phi_T $ vagy $ U_T $ hőmérsékleti feszültség segítségével írható le:
$ \ varphi_T = U_T = \ frac $
$ T $ az abszolút hőmérséklet Kelvinben, $ k $ a Boltzmann-állandó és $ e $ az elemi töltés. Szobahőmérsékleten (T = 300 K) a hőmérsékleti feszültség értéke körülbelül 25 mV vagy 1/40 V. Lásd még a diódát.