Christian Goldbach, aki szerette a prímszámokat - a tudomány spektrumát

A havi matematikai naptár: Christian Goldbach (1690–1764): Az az ember, aki szerette a prímszámokat

A számelmélet egyik leghíresebb, eddig be nem bizonyított sejtése:

A tétel bizonyítására tett minden kísérlet eddig kudarcot vallott. Még az egymillió dolláros díj is alig tett előrelépést. Chen Jingrun (1933-1996), Hua Luogeng (1910-1985) hallgatója, a 20. század legfontosabb kínai matematikusa 1966-ban elért Goldbach sejtéseinek eddigi "legjobb közelítését". Chen Jingrun be tudta bizonyítani, hogy minden kellően nagy páros szám megjelenhet egy prímszám és egy másik, legfeljebb két prímtényezővel rendelkező szám összegeként.

Az első páros számok közé tartoznak azok, amelyeknek csak egy Goldbach-bomlása van (4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 12 = 5 + 7).

Nagyobb páros számoknál egyre növekszik a lehetőségek száma, de mindig van olyan szám, amelynek csak néhány bomlása van, például 98 = 19 + 79 = 31 + 67 = 37 + 61.

Christian Goldbach, egy protestáns lelkész fia, Königsbergben (Kelet-Poroszország) nőtt fel, ahol középiskolába és egyetemre járt. Tanulmányai során főként a joggal és az orvostudománnyal foglalkozik. Hosszú tanulmányi utak 1710 és 1724 között Európa számos városába vitték, ahol számos fontos matematikussal találkozott: Lipcsében meglátogatta Gottfried Leibniz-t, Londonban eszmecserét folytatott Abraham de Moivre-vel, Oxfordban pedig Nicolaus Bernoulli-val (I) és Velence unokatestvére, II. Nicolaus, aki kapcsolatba lépett öccsével, Dániellel (Jákob és Johann Bernoulli összes unokaöccse).

1724-ben Königsbergbe visszatérve megismerkedett két átutazó tudóssal, Georg Bernhard Bilfinger német filozófussal és Jakob Hermann svájci matematikussal, akik épp Szentpétervár felé tartottak, hogy ott a berlini minta alapján tudományos akadémiát építsenek. A következő évben Goldbach az új akadémia elnökéhez fordult hivatalért, eredetileg elutasították, de 1725 végén kinevezték matematika és történelem tanszékre.

Hallgatói korában Goldbach alig foglalkozott matematikával; Leibniz-szel való találkozása óta azonban megnőtt az érdeklődése a matematikai tantárgyak iránt, mint például az Acta eruditorum végtelen sorozatokról szóló cikke.

Az akadémia alapító ünnepségétől Goldbach átvette a titkári tisztséget, és ezt a koordinációs tevékenységet addig folytatta, amíg 1727-ben az ifjú II. Péter cár (Nagy Péter unokája) tanárává nevezték ki. I. Katalin cárné elrendelte, hogy tizenkét éves unokája kövesse a cár trónját. Az ország tényleges hatalmáért folyó harcban Menshikov és Dolgorukov tábornokok között Moszkva ideiglenesen ismét Oroszország fővárosává válik, így Goldbachnak az udvarral együtt kell mozognia. Amikor öt évvel később a fiatal cár meghalt, Goldbach eredetileg Moszkvában maradt, amíg Anna Ivanovna, az új cárna 1732-ben visszaköltöztette az udvart Szentpétervárra. Anna Ivanovna 1740-ben bekövetkezett halála után az alig néhány hetes fiát ideiglenesen cárnak kiáltották ki, míg Erzsébet, Nagy Péter lánya, meg nem ragadta a hatalmat. Christian Goldbach - mint a bíróságon kevesek egyike - mindezeket a kormányváltásokat károk nélkül túlélte.

Goldbachnak egyre kevesebb ideje van matematikával foglalkozni; 1729-ben, majd ismét 1732-ben cikket közölt a végtelen sorozatokról. Az akadémia vezetésével összefüggésben az adminisztratív feladatok terhe évről évre növekszik, míg végül megkéri, hogy csökkentse feladatait.

Goldbachot 1740-ben még teljesen felmentették az akadémián betöltött feladatai alól; mert az új carina az ékesszóló kozmopolitust a külügyminisztérium fontos posztjává léptette elő, ami a következő években nagy gazdagsághoz és földhöz juttatta. A matematika továbbra is a kedvenc időtöltése, Leonhard Eulerben pedig nagyon hozzáértő tudósítója van.

Leonhard Euler és Christian Goldbach 1727-ben személyesen találkoztak, amikor Euler Szentpéterváron kezdett tanítani. A két tudós élénk levelezése Goldbach moszkvai idején kezdődött, és több mint 35 évig tartott. Az 1740/41-es belpolitikai turbulencia arra késztette Eulert, hogy fogadjon hívást Berlinbe, ahol átvette a Porosz Tudományos Akadémia matematikai osztályának igazgatói posztját.

Mindenekelőtt a számelmélet problémáiról beszélnek ketten. Goldbach nemcsak a fenti feltételezéssel foglalkozik. Kutatása révén számos javaslatot ad Eulernek, aki számos problémát képes megoldani:

Páratlan természetes számok ábrázolhatósága: Goldbach gyanítja, hogy minden páratlan természetes szám (17-nél nagyobb) 2 · n 2 + p alakban ábrázolható, ahol p egy prímszám (19 = 2 · 1 2 + 17 = 2 · 2 2 + 11; 21 = 2 1 2 + 19 = 2 2 2 + 13 = 2 3 2 + 3; 23 = 2 3 2 + 5; 25 = 2 1 2 + 23 = 2 2 2 + 17 = 2 3 2 + 7; 27 = 2 2 2 + 19; 29 = 2 3 2 + 11; ...). Euler 999-ig vizsgálja a páratlan számokat; Goldbach még a 2499-es számig is ellenőrizte a feltételezést; Moritz Stern két ellenpéldát talált 1856-ban (5777 és 5993); az ember nem tudja, hogy vannak-e más ellenpéldák.

A Fermat-számok tulajdonságai (az Fn = \ (2 ^ \) + 1 alakú természetes számok, amelyek Fermat feltételezése szerint mindig prímszámok); Euler 1732-ben megtudta, hogy F5 = 4 294 967 297 nem prím, mert a szám osztható 641-gyel. Ma feltételezzük, hogy csak az F0 – F4 számok számítanak prímszámnak.

A Mersenne-számok (természetes számok Mn = 2 n - 1 formában) és a tökéletes számok (természetes számok, amelyeknek a valós osztók összege megegyezik a számmal) tulajdonságai: Már Euklidesz megmutatta, hogy a forma minden természetes száma 2 n -1 · (2 n - 1) akkor tökéletes, ha 2 n - 1 prímszám; Euler bebizonyítja, hogy a tétel fordítottja is igaz.

Prímszámokat generáló polinomok: 1772-ben Euler megtalálta az n 2 + n + 41 polinomot, amelyben a természetes számok beillesztésekor n = 0, 1, 2, 3, ..., 39 az összes prímszámot eredményezi.

A természetes számok reprezentálhatósága négyzetszámok, kockaszámok, általában k-edik hatvány összegeként, a szükséges összegek legkisebb g (k) számának meghatározása, ahol: g (2) = 4 (az úgynevezett Lagrangi-négyes négyzet tétel); g (3) = 9; g (4) = 17; g (5) = 37 (Chen Jingrun bizonyította 1964-ben). Az általánosítást Waring-problémának hívják (Edward Waring után, 1736-1798).