Exponenciális népességnövekedés
tanulási célok
Ha átdolgozta ezt az oldalt, akkor érdemes
- tudja, mi az exponenciális növekedés,
- elsajátítani az exponenciális növekedés matematikai alapelveit,
- ismeri a növekedési ráta, a születési arány és a halálozási arány kifejezéseket, és összefüggésbe hozhatja őket az exponenciális növekedéssel,
- szimulálja az exponenciális növekedést egy szokásos táblázat segítségével.
A baktériumok exponenciális növekedése
"A szervezettől és a tenyésztési körülményektől függően az egyes sejtek keletkezési ideje kb. 15 perc (termofil baktériumok), több óra (pl. Nitrifikáló baktériumok) vagy több nap lehet".
Forrás: Biológiai Spektrum Lexikon, "mikrobiális növekedés" kulcsszó
A faj baktériumai Escherichia coli optimális körülmények között 20 percenként tud osztani. Az egyén 20 perc múlva kettő, 40 perc után négy, egy óra után nyolc lesz, és így tovább. Vessünk egy pillantást a lakosság növekedésének grafikonjára Escherichia coli nál nél:
Az E. coli populáció növekedésének kiszámítása 20 generációra
Táblázat segítségével kiszámítottam és grafikusan megjelenítettem egy E. coli kolónia fejlődését húsz generáció (azaz jó hat óra) alatt. Bő hat óra elteltével már félmillió, 20 perccel később pedig körülbelül 1 millió sejt van.
Itt is látunk valami nagyon jellemzőt az exponenciális növekedésre: Kezdetben a növekedés teljesen ártalmatlannak tűnik, szinte nulla növekedésről lehetne beszélni - ami természetesen az itt használt skálának is köszönhető. Csak körülbelül 14 vagy 15 generáció után tapasztal jelentős növekedést, amely aztán egyre inkább növekszik.
Exponenciális növekedés a természetben
Az exponenciális növekedést nemcsak a baktériumoknál figyelték meg, az exponenciális növekedés fázisait számos magasabb rendű organizmusnál (növények, állatok, emberek) is megfigyelték. Az emberiség népességnövekedése még hiperexponenciális is, vagyis még erősebb is, mint az egyszerű exponenciális növekedés.
Az emberi növekedés
1804-ben egymilliárd ember élt a földön, 1927-ben ez a szám megduplázódott, kétmilliárdra. A duplázási időszak 123 év volt.
1974-ben már négymilliárd ember élt a földön, a megduplázódó időszak most már csak 47 év volt.
Jelenleg (2018. június 17-én) 7 480 144 000 ember él, jövőre (2019) valószínűleg 8 milliárdra nőtt a szám. A megduplázódó időszak most 44 év, ami a növekedés újabb felgyorsulása. De nyilvánvalóan az emberiség növekedése megközelíti az exponenciális növekedést, vagyis a növekedést állandó megduplázódó idővel. Ez megnyugtató (figyelem: szarkazmus!).
A legnagyobb a népesség növekedése a fejlődő országokban, míg a legtöbb iparosodott országban a népesség növekedése stagnál vagy akár negatív is.
A www.census.gov/popclock weboldalon szó szerint figyelheti az emberiség növekedését.
Az exponenciális növekedés matematikája
Az exponenciális növekedés matematikai ábrázolása meglehetősen egyszerű. Az állandó megduplázódási idő a lakosság w növekedési ütemétől függ. A növekedési ráta két komponensből áll: a g születési arány és az s halálozási arány. A következők érvényesek: w = g - s. Ha több egyed születik, mint néhányan meghalnak, akkor a növekedési ráta pozitív. Ha több egyén hal meg egy idő alatt, mint született, a növekedési ráta negatív, azaz kevesebb, mint 0. Ha a születési arány és a halálozási arány kiegyensúlyozott, a növekedési ráta értéke 0, amelyet a népesség stagnálásának vagy nulla növekedésnek neveznek. .
Az exponenciális növekedés táblázattal történő szimulálásához differenciálegyenletre van szükség. A differenciálegyenlet azt jelzi, hogy a populáció mennyire növekszik (vagy csökken) egy adott időszak alatt.
$ DN $ esetén a népesség növekedését kell érteni, $ dt $ -val pedig azt az időszakot, amelyben a növekedés megtörténik. A konstans $ k $ határozza meg, hogy a $ \ frac $ milyen erősen függ a jelenlegi populáció méretétől $ N $.
Az exponenciális növekedés szimulálása táblázat segítségével (Apple Numbers)
Táblázatos módszeres képzés I
A táblázat első oszlopába beírjuk a generációkat, azaz 1, 2, 3,. 30. Erre már egyszerű képlet használható. Például az A3 cella értékét az A2 cella értékéből számoljuk, 1-gyel növelve. Az A3 cellába a következő képletet írjuk be:
Ezután átmásoljuk ezt a képletet az A4, A5, az A3 alatti cellákba. A31.
A B2 cellába beírjuk a populáció kezdeti méretét, itt 100.
A D2 cellába beírjuk a differenciálegyenlet k állandójának értékét, például 0,04.
Ezután a következő képletet írjuk a B3 cellába:
Ezt a képletet ismét bemásoljuk a B3 alatti összes cellába. A számok valószínűleg sok tizedesjegygel jelennek meg, ami nem tűnik szépnek. Ezért a B oszlopot úgy formázzuk, hogy ne jelenjen meg több tizedesjegy. Ennek működése teljes mértékben a használt táblázattól függ.
Diagram készítése
Táblázat segítségével grafikusan is nagyon szépen megjelenítheti a számoszlopokat. Ehhez az egérrel jelölje meg a két A és B oszlopot, majd válassza ki a megfelelő megjelenítési formát. A 2. ábrán az "x/y diagram" megjelenítési típust választottuk. Ez a típusú reprezentáció egy helyes matematikai függvény grafikont hoz létre, amely az egyik oszlop (itt B) értékeit mutatja a másik oszlop értékeivel (itt A).
Az Excel-be konvertált számtáblát innen töltheti le. A szépségnek itt nem tulajdonítottak értéket, így ezt megteheti.
1. feladat
Meg akarjuk kutatni, hogy mekkora baktérium van az Escherichia coli fajból. A biológia spektrumlexikona konkrét számokat ad: "Az E. coli baktériumok egyenes rudak, 1,1–1,5 × 2,0–6,0 μm (élő). Ehhez a feladathoz átlagosan 4 μm hosszúságot és 1,3 μm átlagos szélességet feltételezünk. Egy ilyen baktérium magasságát 1,3 μm-re szeretnénk állítani.
A probléma megoldásához tudnia kell azt is, hogy mit jelent 1 μm. 1 μm vagy 1 mikrométer a milliméter ezredrésze és a méter milliomod része.
Feladat
Az Escherichia coli 20 percenként duplázik, ideális körülmények között. Tegyük fel, hogy e baktériumok egyike ideális körülmények között szabadon szaporodhat a falakon és egyéb akadályokon keresztül, milyen vastag lenne akkor a baktériumréteg, amely elborítaná a föld szárazföldjét? A Wikipedia szerint a föld területe körülbelül 149,4 millió km²
2. gyakorlat
A Süddeutscher Zeitung ("A nagy számok ereje") szerint Németországban 1218 embert fertőzött meg a koronavírus 2020. március 10-én. Március 24-én már 4872, április 7-én 19 488, április 21-én pedig 77 952 fertőzött volt.
Feladat
Elemezze ezeket a számokat, majd ítélje meg, hogy ez exponenciális növekedés-e.
Az exponenciális növekedés alternatívái a hiper-exponenciális növekedés és a hipo-exponenciális növekedés. Hiper-exponenciális növekedéssel ("hiper" = vége) a duplázási periódus folyamatosan rövidül, míg hipo-exponenciális növekedéssel ("hipo" = alatt) a duplázási periódusok egyre hosszabbak. Az exponenciális növekedés mellett a megduplázódó időszakok állandóak.
3. feladat
A valódi exponenciális növekedésre remek példa van egy biológiai könyvben: növekvő szamárdaru populáció Texasban. Itt vannak a számok táblázatként:
| év | N |
| 1940 | 18 |
| 1945 | 17-én |
| 1950 | 30-án |
| 1955 | 20 |
| 1960 | 31 |
| 1965 | 42 |
| 1970 | 55 |
| 1975 | 48 |
| 1980 | 75 |
| 1985 | 90 |
| 1990 | 145 |
| 1995 | 155 |
| 2000 | 174 |
Feladat
Elemezze ezeket a számokat, majd ítélje meg, hogy ez exponenciális növekedés-e.
Tananyag:
Külső linkek:
2012.11.03 .: Az oldal létrehozva
2018.02.05: az oldal módosítva
2018. március 24 .: Az oldal kissé módosítva.
2020.04.22 .: Feladatok hozzáadva az oldalhoz.