Forgatás rögzített tengely körül - online tanfolyamok

További tanulási videók és számos anyag vár rád:
Komplett csomag mérnökhallgatók számára

A videó betöltődik .

Ha a videó rövid idő után nem jelenik meg:

Videó megtekintési útmutató

• Videó: Forgás rögzített tengely körül
• Szögsebesség
• Szöggyorsulás
• sebesség
• gyorsulás
• Összegzés
• Példa: Forgás rögzített tengely körül

Ebben a szakaszban először egy merev test forgását rögzített tengely körül vesszük figyelembe. A következő klip illusztrációként szolgál. A fúrógép fúrófeje itt fordul:

Videó: Forgás rögzített tengely körül

A videó betöltődik .

Ha a videó rövid idő után nem jelenik meg:

Videó megtekintési útmutató

Ha egy merev test egy rögzített tengely körül forog, mint a fenti kapcson [a fúró enyhe egyensúlyhiányát elhanyagoljuk], a test bármely $ P $ pontja kör alakú úton halad.

Ha a merev test egy rögzített forgástengely körül forog, akkor a merev test minden pontja kör alakú úton mozog. Valamennyi test körútja merőleges a forgástengelyre. A $ r $ vezetősugár a $ P $ pont és a forgástengelyen lévő $ 0 $ pont közötti kapcsolatot jelöli. Az összes testpont vezetési sugarai ugyanabban az időben lefedik ugyanazt a $ \ varphi $ forgásszöget. Ez azt jelenti, hogy a szögsebesség $ \ omega = \ frac $ (a szög levezetése az idő függvényében) és a szöggyorsulás $ \ alpha = \ frac = \ frac $ (a szögsebesség levezetése az időhöz képest) a test minden pontján megegyezik. Ezért elegendő figyelembe venni a merev test egy pontját, és meghatározni ennek az egy pontnak a szögsebességeit és szöggyorsulásait, amelyek azután a teljes merev testet képviselik. A tömegpont kinematikájának egyenletei tehát felhasználhatók a körmozgás speciális eseteire (lásd: Különleges eset: körmozgás).

Szögsebesség

A $ r $ pozícióját a $ t $ időpontban a rögzített referenciavonal és a $ r $ közötti szög adja meg. A szögváltozást a $ d \ varphi $ adja meg. Mivel a forgás rögzített tengely körül van, a szögváltozás iránya mindig a rögzített tengely mentén van. A szög változását a $ t $ időpont után szögsebességnek is nevezik:

módszer

Szöggyorsulás

A szögsebesség időbeli változását $ \ alpha $ szöggyorsulásnak nevezzük:

módszer

A $ \ alpha $ iránya attól függ, hogy nő-e vagy csökken a szögsebesség. A növekvő szögsebességgel a $ \ alpha $ iránya egybeesik a $ \ omega $ (pozitív szöggyorsulás) irányával, csökkenő szögsebesség mellett a $ \ alpha $ iránya ellentétes a $ \ omega $ (negatív szöggyorsulás) irányával.

Ha a $ dt $ -t a fenti két egyenletből eltávolítjuk a $ d \ varphi $ hozzáadásával, akkor differenciális kapcsolatot kapunk a szöggyorsulás és a szögsebesség között:

$ \ Omega = \ frac $ beszúrása:

Szorzás $ d \ varphi $ -val:

módszer

$ \ alpha \; d \ varphi = \ omega \; d \ omega $

sebesség

Ha megadjuk a szögsebességet és a szöggyorsulást (amelyek minden pontnál megegyeznek), akkor meghatározható az egyes pontok sebessége és gyorsulása. Ezek már nem ugyanazok, mert a forgástengelytől távolabb eső pontok nagyobb sebességgel és így gyorsulással rendelkeznek, mint azok, amelyek közelebb vannak a forgástengelyhez.

A $ P $ pont sebességvektora a következőkből származik:

módszer

Sebesség vektor

Skaláris komponens:

A teljes sebességet skalárként a következőképpen lehet meghatározni:

módszer

Jól látható, hogy az egyes pontok sebessége különböző a $ r $ miatt. A forgástengelyhez közelebb eső pontok sebessége alacsonyabb.

gyorsulás

módszer

Gyorsulás vektor

Skaláris komponensek:

Sugaras gyorsulás $ a_r = - r \ omega ^ 2 $ (merőleges a körútra)

Körkörös gyorsulás $ a_ = r \ dot = r \; \ alpha $ (a körút érintője)

A teljes gyorsulás skalárként így kiszámítható:

módszer

Ha a $ \ omega $ szögsebesség állandó, ennek deriváltja nulla értéket ad. A kerületi gyorsulás ekkor nulla. Ez azt jelenti, hogy csak a mozgás iránya változik, a sebesség állandó marad.

módszer

$ a = a_r $ Gyorsulás állandó szögsebesség mellett

Összegzés

• A test minden olyan pontja, amely egy rögzített forgástengely körül forog, kör alakú utakat ír le.
• Ha a szögsebesség és a szöggyorsulás ismert, a test egyes pontjainak sebessége és gyorsulása meghatározható. Fontos: A szöggyorsulás és a szögsebesség minden pontnál megegyezik, ha egy rögzített forgástengely körül forog. A sebesség és a gyorsulás azonban nem, mert a forgástengelytől távolabb eső pontok nagyobb sebességgel rendelkeznek, mint a forgástengelyhez közeli pontok.

Példa: Forgás rögzített tengely körül

példa

A fenti ábrán a motorhoz csatlakoztatott $ S $ lemez állandó szöggyorsítással elfordul nyugalmi helyzetéből $ \ alpha_S = 2 rad/s ^ 2 $. Az öv miatt az alsó kerék $ R $ elfordul. Határozza meg a sebesség és a gyorsulás mértékét a $ R $ kerék $ P $ pontján, miután a $ R $ kerék egyszer elfordult. A kihúzhatatlan hevedernek nem szabad megcsúsznia, hanem szilárdan ragaszkodnia kell. Az alábbiak érvényesek:

$ r_S = 0,25 m $, $ r_R = 0,55 m $.

A $ R $ kerék állítólag egyszer elfordult. Egy forradalomnak 360 ° $ vagy $ 2 \ pi \; rad $. Ez azt jelenti, hogy a $ R $ kerék a következő szöget zárja be:

$ \ varphi_R = 360 ° $. bwz. radiánban: $ \ varphi_R = 2 \ pi \; rad $

Az öv nem illik és nem csúszik. Ez azt jelenti, hogy az öv $ S $ tárcsájáról mindig ugyanolyan hosszúság van letekerve, mint a $ R $ kerékről. Az öv hossza az ív hosszának képletével határozható meg, mivel mind a kerék, mind a tárcsa kört képvisel, és az öv mindkettő köré van tekerve. Az ív hosszát a következők határozzák meg:

Értesítés

$ L = r \ cdot \ varphi $ (radiánban)

A szabály az, hogy a szíjtárcsáról és a kerékről letekerhető öv hossza mindig azonos:

$ L = r_R \ cdot \ varphi_R = r_S \ cdot \ varphi_S $ (radiánban)

Mindkét egyenlet megoldható a $ \ varphi_S $ és a beillesztett értékek esetében:

A fenti két szög megegyezik, csak egyszer radiánban és egyszer fokokban. Ez azt jelenti, hogy ha a $ R $ kerék egyszer forog (= 360 °), akkor az $ S $ lemez 2,2-szer forog (= 792 °/360 ° = 2,2).

Ezután meghatározzuk a $ S $ lemez szöggyorsulását. A gyorsulás állandó $ \ alpha_S = \ dot_S = const $ is (lásd a feladatot), és általában a következő határozza meg:

Az időtől azonban nincs függőség, ezért a következő összefüggést használjuk (lásd a fenti szöveget):

$ \ alpha \; d \ varphi = \ omega \; d \ omega $

Mivel a $ \ alpha_S $ szöggyorsulás állandó, az integráció után a következők érvényesek:

$ \ alpha_S (\ varphi_S - \ varphi_) = \ frac \ omega_S ^ 2 - \ frac \ omega_ $

A nyugalmi helyzetből történő elforgatás azt jelenti, hogy $ \ omega_0 = 0 $ és $ \ varphi_0 = 0 $:

$ \ alpha_S \ cdot \ varphi_S = \ frac \ omega_S ^ 2 $

Oldja meg a következőt: $ \ omega_S $:

Az értékek beszúrása:

módszer

A $ S $ lemez összes pontja ugyanazzal a szögsebességgel forog, mint $ \ omega_S = 7,44 \ frac $. Most azonban meg kell határozni a $ P $ pont sebességét a $ R $ keréken. Itt a szögsebesség természetesen más, mert a kerék sokkal nagyobb. Van azonban összefüggés a $ S $ lemez és a $ R $ kerék mozgása között. Az öv minden pontjának azonos sebessége van $ v $ és ugyanaz a tangenciális gyorsulás $ a_ $. A $ S $ tárcsa vagy a $ R $ kerék nem minden pontja azonos sebességgel (vagy gyorsulással), csak az öv pontjai (vagyis az összes külső pont). Ezek a pontok tartalmazzák a $ P $ pontot is, amely a külső szélen helyezkedik el, és ezért ugyanazzal a sebességgel és ugyanolyan érintőleges gyorsulással rendelkezik, mint az öv összes többi pontja. A sebességet általában a következők segítségével lehet meghatározni:

$ v = \ omega \ cdot r $

Mivel a $ S $ lemez külső szélének és az $ R $ keréknek minden pontja azonos sebességgel rendelkezik, a következő érvényes (a sugarak a széléig nyúlnak):

Értesítés

$ v = \ omega_S \ cdot r_S = \ omega_R \ cdot r_R $

A $ P $ pont sebességét általában a $ R $ kerék segítségével határozzák meg, amelyen a pont található:

$ v_P = \ omega_R \ cdot r_R $

A sebességet azonban itt is meghatározhatjuk, ha meghatározzuk a $ S $ lemez külső pontjainak sebességét, mivel ez megegyezik a $ R $ kerék külső pontjaival (és a $ P $ kívül van):

módszer

$ v_P = \ omega_S \ szorzat r_S = 7,44 \ frac \ szor 0,25m = 1,86 \ frac $

A $ P $ pont gyorsulása a két komponensből adódik:

$ a_r = - r_R \; \ omega_R ^ 2 $

Amint fentebb említettük, a $ a_ $ tangenciális gyorsulás az öv minden pontján megegyezik. A teljes gyorsulás a két komponensből származik:

$ a_r = - r_R \ cdot \ omega_R ^ 2 $

Mivel a tangenciális gyorsulás minden külső pontnál megegyezik, a $ S $ lemezről is meghatározható:

$ a_ = r_S \; \ alpha_S = 0.25m \ cdot 2 \ frac = 0.5 \ frac $

A $ a_r $ gyorsulás normál összetevője minden ponton más és más, ezért:

$ a_r = -r_R \ cdot \ omega_R ^ 2 $

A $ \ omega_R $ szögsebesség még mindig hiányzik. Ez a sebesség viszonyából határozható meg:

Értesítés

$ v = \ omega_S \ cdot r_S = \ omega_R \ cdot r_R $

Oldja meg a következőt: $ \ omega_R $:

A gyorsulás normál összetevője:

$ a_r = -r_R \ cdot \ omega_R ^ 2 = -0,55m \ cdot (3,38 \ frac) ^ 2 = -6,28 \ frac $

A teljes gyorsulás ezt eredményezi:

---