Hullámok, kényszerített rendszer és tiszta módok
Jó reggelt mindenki
Egy munka részeként megoldom a $ \ partial_u-c ^ 2 \ partial_u $ homogén hullámegyenletet egy korlátozott tartományban $] 0.1 [$ a következő határfeltételekkel:
-forrás kifejezés $ u (0, t) = A \ sin (\ omega_s t) $
-Homogén dirichlet a jobb oldalon $ u (1, t) = 0 $
A kezdeti feltételeket $ u (x, 0) = \ részleges_t u (x, 0) = $ 0 értékre állítjuk. Az ötlet az, hogy megnézzük, mi adja ezen a tartományon a gerjesztés folyamatos megjelenését a forrás kifejezéssel.
Főleg két kérdésem van ezzel kapcsolatban.
- Szerinted a CI-k jól vannak elhelyezve? Az a tény, hogy a $ t = 0 $ pillanatban a megoldás 0-t ér, és nyilvánvalóan nulla időbeli deriváltja van.
- Különböző felbontásokban (Melde akkordtípusa kényszerített rendszerrel a $ \ cos $ -ban és nem $ \ sin $, de ez nem a probléma) azt látom, hogy a megoldást állandó hullámként írják a $ \ omega_s $ kényszerített forrás lüktetésére:
$ u (x, t) = \ frac \ sin (k (1-x)) \ cos (\ omega_s t) $ a $ k = \ omega_s/c $ értékkel.
Egyetértek ezzel a számításokkal kapcsolatos állásfoglalással, és elképzelésem szerint teljesen természetes egy bevált étrend esetében. De azt hiszem, ehhez szükség van arra, hogy a húr mindig ennek az állóhullám-mozgásnak legyen kitéve, különben a problémámból adódó mozgásbeállítás folyamatosan generál fáziseltolódást a reflexió során. És hiszem, hogy az "ideális" bevett étrend akkor elérhetetlen.
És akkor a problémám a következő. Amikor megvalósítom (Matlab), egyáltalán nem találom ezt. Amit találok, az nem helyhez kötött megoldás, és ez nem átmeneti probléma. A kód konvergál és a megoldás még hosszú időn keresztül sem állandó hullám. Az érdekes pont az, hogy amikor az FFT-t nézem, a várakozásoknak megfelelően csúcsot érek el a $ \ omega_s $ -ban, de a $ \ omega_i = i \ pi c $ rendszer sajátmódjaiban is. És az FFT kód is konvergál a kellően hosszú mintával.
Vagy megközelítésem hamis, és az előző analitikai megoldás egyedi, vagy az általános megoldást írják, az általam tapasztaltak szerint, az előző képlet összegeként (ugyanezt találom a komponensre a $ \ omega_s $ -ban) és a hullámok álló helyzetben vannak amelyek a sajátmódusok (a Laplacianus sajátértékei a korlátozott tartományban) eredményeként adódnak, a Dirichlet homogén feltételeinek egyenletének megoldása 0 és 1 értékben, $ B \ cos (\ omega_i t) \ sin (kx) formában ) $. És még mindig meg kell találni a jó $ B $ -ot, esetleg a CI-kből, ezért az első kérdésem, mert az enyém $ B = 0 $ -ra utal (ezt nem is szeretném megtalálni).
Véleményem szerint a forrás folyamatosan generálja a rendszer gerjesztését, és minden pillanatban IC-t alkot az említett új pillanattól kezdődő problémára, és ezért a szabad rezsim jelenségét is biztosítja, amely pontosan feltárja az igenmódokat.
Mintha az erőltetett gerjesztés "előírná a ritmust", de a szomszédos tiszta módokat is izgatja.
Az a tény, hogy az edo vagy akár az edp megoldásában matematikailag a megoldást az adott egyenlet megoldásainak és a hozzá tartozó homogén egyenletnek az összegéből alkotják.
Ha most egy jobb oldali oldalt veszünk figyelembe: $ f $ az egyenlethez úgy, hogy $ f (0, t) = u (0, t) = A \ sin (\ omega_s t) $ és $ f (x, t) = 0 dollár különben, és nekem az a benyomásom van, hacsak nem tévedek, hogy az előző érvelés működik, ezért általános megközelítésem működik, és ami a numerikus eredmények irányába mutat. Igen után a $ f $ "hasznos" értéke csak a tartomány belsejét érinti, és ott nulla, tehát az egyenlet végül homogén. de, oké.
Mi a véleményed?
4-szer szerkesztette. Az utolsó korrekciót tavaly, Pourquoi Pas végezte el.
Szia,
Láthatja, hogy az egyenlet megoldása az Ön feltételeivel és ugyanazon PDE megoldásának összege, de ezúttal null Dirichlet feltétellel megadja a PDE megoldását az Ön feltételeivel, hirtelen, azt hiszem, a megoldásnak inkább így néz ki:
$ u (x, t) = \ frac \ sin (k (Lx)) \ sin (\ omega_s t + \ phi_n) + \ sum _ ^ *> \ right) \ left [A_n \ cos \ left (\ frac \ jobbra) + B_n \ bűn \ balra (\ frac \ jobbra) \ jobbra]> $
$ L $ -val a gép hossza és a $ \ phi_n $, $ A_n $ és $ B_n $ paraméterek a kezdeti feltételeknek megfelelõen kerülnek meghatározásra. Tekintettel arra, hogy t = 0-nál $ u (x, t) = 0 $ van, arra számíthatunk, hogy minden $ n $, $ \ phi_n = 0 $ esetében a $ A_n $ és $ B_n $ számításai nem túl nyilvánvalóak (de azt hiszem, hogy kivitelezhető), hajlamosak lennénk tenni valamit a $ \ frac $ derivált Fourier-sorozatával a $ t = 0 $ értéknél, de mivel $ \ cos \ balra maradt (\ frac \ right ) $ és nem $ \ cos \ left (\ frac \ right) $, finomságot kell találnia (ötlet, sajnálom).
Ami az értelmezést illeti, gyakran szubjektív, ez a dolog.
Köszönjük a választ. Egyetértek az Ön általános megfogalmazásával, de az a benyomásom, hogy a CI-k 0-ra növelik.
Ön szerint mindenesetre egy nem divergens átmeneti rezsim (amely nem robban fel amplitúdóban) tarthat-e a végtelenségig, mint amit fentebb feltételeztem? Vagy változatlanul végül a kényszerített üzemmód támogatásával (vagy inkább felé hajlásával) végződik?
Azt hiszem, a harmonikus gerjesztések csillapítás nélkül mindig megmaradnak. És ha ezek nem okozják a rendszer eltérését, amint az eredményeim látszólag azt sugallják, akkor nagyon érdekel, hogy kitaláljam, hogyan kell kiszámítani az amplitúdóikat, összehasonlítva a $ \ omega_s $ értékkel.