Lássuk egymást 4D-ben - a negyedik dimenzió matematikailag bizonyított
Anyag: Alexandru Lamba
A többdimenziós testek tanulmányozásának problémája nem új keletű. Annak ellenére, hogy a konkrét világnak, amelyben élünk, csak három mérhető anyagi dimenziója van, maga a világegyetem háromdimenziós, olyan fogalmakat fejlesztettek ki, mint a "multiverzum" vagy az "n-dimenziós terek", mind a művészet világában, mind az egzakt tudományokban. mondhatta, és a miszticizmusban is.
A művészeti világban messze az SF-t érdekli leginkább a többdimenziósság, bár az idők folyamán nem ez volt az egyik kedvenc témája, hanem csak hasznos koncepció. Így a SF-ben a kozmoszon való utazás legkényelmesebb módja továbbra is a "féreglyuk", amely egy rövidítés a háromdimenziós tér "hajtásán" keresztül a többdimenziós multiverzumban, de ez csak átviteli mód, műtermék, nem probléma. hogy tanulmányozza magát.
Multispace geometria
Bár érdekes és csak ebből a perspektívából nézve, a szóban forgó történet még egyszer el akarja lepni, amikor felteszi a kérdést: "de tovább, mi lesz ez?". Pontosan erre a kérdésre szeretnék a következőkre koncentrálni, a lehető legpraktikusabb és "vizuálisabb" módon. Ugyanis, függetlenül attól, hogy irodalomról, fizikáról vagy geometriáról van szó, amelyeket nem tudunk vizualizálni, nagyon nehéz lesz teljesen megértenünk. És annak ellenére, hogy a tudomány világa régóta elfogadja azt a tényt, hogy az észlelés önmagában nem határozhatja meg a valóságot.
A szem egy másodperc töredéke alatt oldódik meg, ha ismerős formában kínálják fel, ami az elmének talán órákat vesz igénybe, hogy csak egyenletekből vagy húrokból elemezzen. A függvény grafikonjának fogalma bizonyítja, nemcsak a matematikában, hanem a közgazdaságtanban vagy a társadalomtudományban is használják. Ilyen esetben, ha visszatérünk a geometriára, nem hinném, hogy csoda, hogy a grafikus ábrázolás a megértés alapja.
Természetesen az egyszerű kép pontatlan és elégtelen, de szükséges a matematika ezen ágának bármely problémájának megoldásához. Pontosan ezekről a grafikus ábrázolásokról fogunk beszélni a következőkben, és megpróbáljuk - ahogy Edwin Abbott Abbott a XIX. Századtól kezdve sürget minket - megjeleníteni azt, ami túl van a háromdimenziós térünkön. Ugyanezt fogjuk tenni, mint az angol tanár irodalmi megközelítésében (más néven matematikai fikció), kezdve a kétdimenziós evolúciótól a háromdimenziósig.
A hipertér megjelenítése
Először rögzítjük a koordináta-rendszereket referenciaként, a derékszögű tengelyek háromdimenziós rendszerének papírra rajzolásával kezdve. Mint ismeretes, egy tervnek (például egy papírlapnak) csak két dimenziója van. Ez azonban soha nem akadályozott meg bennünket abban, hogy megrajzoljuk és felismerjük a háromdimenziós testeket, igaz? Hogyan csináljuk ezt pontosan? Nos, nagyon egyszerű: becsapni a szemet, elhitetni velük, hogy bizonyos szögek igazak, pedig nem. Ugyanígy megpróbáljuk becsapni őket négydimenziós testek meglátására.
Az alábbiakban azt látjuk, hogy egy bizonyos szögben (z tengely) lévő tengely hozzáadásával az x-y koordinátasík rendszeréhez hamis háromdimenziós rendszert kapunk (mindhárom tengellyel merőlegesen), de amelyet a szem probléma nélkül elfogad. Maga az emberi látás lapos, a retina felszínen helyezkedik el, és a mélységet nem közvetlenül, hanem háromszögelés és… "tapasztalat" útján érzékelik.
A szem lapos képeket lát, amelyeket a valóság előzetes ismeretei alapján átterjeszt az űrbe. Nos, ez a tökéletlen látásmechanizmus segíthet nekünk a valóson túl is erőltetni. Mivel a szem meggyőződhet arról, hogy a z tengely eltér a síktól, meggyőződhet arról is, hogy négy egyenes merőleges, ill. Pontosabban, a fentiek szerint haladva egy xyz térbeli koordinátarendszer térmodelljéből indulunk ki, mindhárom merőleges tengellyel, és a negyediket hozzáadjuk egy bizonyos szögből, majd a szemet kényszerítve hogy a négy tengely bármelyikét egymásra merőlegesen lássuk.
(Annak érdekében, hogy könnyen feloldható megoldást kínálhasson, könnyen elérhető mágneses golyókat és rudakat választhat.) Így négy dimenzióból álló meghatározott geometriai entitást kapunk, amelyet a továbbiakban hívunk. hipertér.
Meg tudja-e győzni, ha bármelyik tengely merőleges? Tökéletes, jó úton járunk! Rá is kényszeríthetjük a szemet, hogy a papírra is rajzolt tengelyrendszert érvényesnek fogadja el, két tengelyt valóban merőlegesen rajzolva egymásra, és a többi szöget egyenesnek jelölve:
Tehát, amint hozzáadunk egy z tengelyt az xy síkhoz, megkapjuk az xyz teret, amelynek három síkja merőleges: xy, xz és yz, és egy újabb q tengelyt adunk az xyz térhez, így megkapjuk a négydimenziós xyzq hipertéret, amelynek négy területe "merőleges" ezek: xyz, xyq, xzq és yzq, illetve hat merőleges sík: xy, xz, xq, yz, yq és zq. Megnézheti őket? Vannak mindegyik, vizuálisan, háromdimenziós terek, illetve tervek?
Annak biztosítása érdekében, hogy ne felejtsünk el egyetlen elemet sem, használhatjuk a kombinatorikus számítást: négy ortogonális tengely számával és annak tudatában, hogy kettőre van szükségünk egy síkra és hármasra egy térhez, számuk meghatározásának problémája megegyezik a megoldással Cn k: ahol n = a rendelkezésre álló tengelyek száma és k = a szükséges tengelyek száma (C4 2 = 6, a hipertér tervei esetében, illetve C4 3 = 4, a hipertér terei esetében). Pontosan ugyanaz a számítás az alapja a háromdimenziós térben a síkok számának meghatározásához, de mivel ilyen gyakori probléma, megoldása önmagában tűnik.
Most, hogy definiáltuk a hipertéret, töltsük be azt, mert ide akartunk menni: megtekinteni négydimenziós hipitestek. Ebben a cikkben elégedettek leszünk a legegyszerűbbek, nevezetesen a megjelenítésével a téglalap alakú hiperparallelipipus (testvér a hiperkocka egyenlőtlen oldalaival, vagy tesseract) és a téglalap alakú hipertetraéder. A téglalap alakú párhuzamos, illetve a téglalap alakú tetraéder alapján építjük fel őket, ugyanúgy, ahogy az utóbbiakat a téglalap, illetve a derékszögű háromszög alapján készítettük el.
Téglalap alakú hiperpalalipipikus
Kezdjük az építkezéssel hiperparalelipipedului, egy egyszerű téglalapból indulva az x-y síkban. Intuitív módon láthatja, hogy a téglalap z-tengely mentén történő "meghúzásával" vagy "megszorzásával" hogyan lehet a téglalap alakú párhuzamos. Ugyanezt az eljárást alkalmazva a 4D térben a párhuzamosat "húzzuk" a q tengely mentén, és a téglalap alakú hiperparalleliped a következőképpen jelenik meg:
Az egyértelműbb ábrázolás érdekében 3D-s modell készíthető az alábbiak szerint, két egyforma párhuzamosról, amelyek párhuzamos oldalainak összekapcsolt sarkai a q tengely mentén húzódnak, az egyik hamisan merőleges a többire:
Miután elkészült a modell, megkérem Önt, hogy azonosítsa és "vizualizálja" az összes téglalap alakú párhuzamos oldalirányú lábat, amelyek elhatárolják ezt a hiperparallelipidet! Látni fogja, hogy ha egyszer meggyőzi a szemét, hogy fogadjon el néhány hamis derékszöget, a háromdimenziós testek, amelyek "felöltöztetik" ezt a 4D testet, ugyanolyan normálisnak tűnnek, mint azok a paralelogramma alakú téglalapok, amelyek egy téglalap alakú párhuzamosat tartalmaznak. papír.
És mivel a tudományos megközelítés nem teljes néhány egyenlet nélkül, javaslom, hogy elemezze e testek fő jellemző méreteit, megtartva a téglalap és a téglalap alakú párhuzamos oldalú analógiát. Melyek ezek? Nos, a téglalap (lapos ábra) - a terület és a kerület, valamint a párhuzamos (háromdimenziós test) esetében - a térfogat és az oldalsó terület.
Észrevesszük, hogy mindkét geometriai entitást a térükre jellemző méret jellemzi, amelyet a rendelkezésre álló dimenziók maximális száma határoz meg. Először a téglalap területe (2D) és a párhuzamos oldalú térfogata (3D) - mennyiségek, amelyek meghatározzák, hogy az entitások mennyi helyet foglalnak el. Ezután az adott tér számára alkalmatlan méret, amelyet az adott területtel egy egységgel kisebb dimenziók határoznak meg, egy méret, amely az adott testet geometrikusan "bezáró" entitást ábrázolja: a téglalap esetében a kerület (1D), illetve az oldalirányú terület (2D) ) a párhuzamos oldalúak esetében.
A hiperparallelipipált kiterjesztve a hipervolum (4D) és a oldalirányú térfogat (3D), amelyet a végtagokon lévő párhuzamos oldalúak térfogatának összege képvisel. Mert ha egy téglalapot szegmensek zárnak le, és a párhuzamos oldalirányú négyszöget téglalapok zárják le, akkor egy hiperparallelipipált oldalirányú párhuzamosak zárnak be, igaz? Pontosan az a 8, amelyet valamivel korábban azonosított.
Kezdőként soroljuk fel az ismert geometriai képleteket.
Intuitív módon, követve a 2D és 3D képleteket, szabályt keresve és kiterjesztve a 4D-re, kísértésbe esünk azt hinni:
Ezek az előző két eset ellenőrzött képletei. A hiperparallelipipus oldalirányú térfogatához nincs szükség demonstrációra, a végtagokban lévő párhuzamos oldalúak egyszerű nyomon követése, amelyeknek a térfogatának számítási képletei ismeretesek, elegendőek ahhoz, hogy megfigyeljék, hogy az intuíció helyes volt.
A hipertérfogathoz az integrálszámítási módszer használható a képlet bemutatására. A terület egyszerű integrállal történő kiszámításával, illetve a térfogat kettős integrállal történő kiszámításával analóg módon a hipervérfogatot háromszoros integrállal kell meghatározni, az alábbiak szerint. Bár térfogatban a hármas integrál matematikában általában a "sűrűséget" képviselik, egy negyedik fizikai dimenzió még jobban jellemzi.
Annak a ténynek köszönhetően, hogy ezeket az entitásokat úgy választottuk meg, hogy csak párhuzamos oldalakat tartalmazzanak, az integrálszámítás nagyon egyszerűvé válik, az összes integrálandó függvény valójában állandó:
A téglalap alakú hipertetraéder
Most, hogy ezzel a nagyon egyszerű esettel felmelegítettük az elménket, nézzük meg a második testet, mégpedig a téglalap alakú hipertetraéder. Az előző esethez hasonlóan a derékszögű háromszögből kiindulva figyeljük meg annak keletkezését.
Most ahelyett, hogy a háromszöget az xy síkban "megrajzolnánk" vagy "megszorozzuk" a z tengely mentén, a z tengelyen egy pontot veszünk, a háromszög síkjától bizonyos távolságra, és összekapcsoljuk az összes sarokkal. így kapjuk meg a téglalap alakú tetraédert. Mintha a háromszöget "szaporítanánk", folyamatosan "zsugorítanánk" a végpontig. Ugyanígy, figyelembe véve ezúttal a q tengelyen az x-y-z téren kívül eső pontot, és összekapcsolva azt a korábban kapott négyszögletes tetraéder négy pontjával, előállítjuk a téglalap alakú hipertetraédert.
És ebben az esetben a jobb áttekinthetőség érdekében elkészíthet egy 3D-s modellt, az alábbiak szerint, kezdve egy téglalap alakú tetraédertől, és az éleket az egyes sarkaiból a q tengely egy pontjáig húzva, a hamis merőlegesre az összes többivel. az xyz térből három: meg tudja-e azonosítani a megjelent négy tetraédert és behatárolhatja a 4D testet? Meggyőződésem, hogy igen.
A releváns geometriai képletek ebben az esetben a következők lennének:
Ismét olyan képletek, amelyek igazak 2D-ben és 3D-ben.
Az oldalsó térfogatot ismét viszonylag könnyű igazolni, követve a képet és azonosítva a négyszögletes tetraéder négy kötetét, amelynek képleteit ismerjük, plusz az alap tetraéder térfogatát, De Gua kiterjesztett tételével számolva. A háromszoros térfogatú integrációval történő demonstrálás a hipertetraéderes hiperverzió esetében a következő (itt a dolgok kissé bonyolultak, mert az integrációs függvények bár lineárisak, de már nem állandóak, de valamennyien csökkennek egy bizonyos meredekség mellett):
A még jobb megjelenítés érdekében, hasonlóan ahhoz a folyamathoz, amelynek során egy háromdimenziós testet vetítenek a három síkba, ezáltal elérve a "tiszta" ábrázolást, és négydimenziós testeket lehet megtervezni a négy 3D térben, az alábbiak szerint. így a "nézet" a hipertér négy alkotóterében a vizsgált hipertesten:
Hogyan hívhatlak meg más négydimenziós testek modellezésére, rajzolására és elemzésére. És ha kíváncsi arra, miért lenne érdekes, ha az absztrakt testek vizuális ábrázolása a dimenziónál több, mint a konkrét világ lenne, tegyük fel, hogy ezt nem mondhatjuk, mert nem tudhatjuk, hogy mikor és hogyan hívnak minket bonyolultabb világok, hogy felfedezzük őket.