Növekedési és növekedési folyamatok

sp, 010. vers, 2019-04-19

Lineáris növekedés

A lineáris növekedés a változás sebessége állandó k: f '(t) = k

növekedési függvény

F '(t) miatt ≈ Tehát Δf/Δt = k következik: Δf = k? Δt, d. H. a Δf növekedés arányos a Δt időtartammal. k-t proporcionalitási állandónak is nevezzük, k egyértelműen leírja az egyenes meredekségét.

Jegyzet: A különbségeket Δf és Δt értjük:

  • Δt: = t₂ - t₁
  • Δf: = f₂ - f₁: = f (t₂) - f (t₁).

DGL: f '(t) = k> Megoldás: f (t) = k? t + C

példa: Havonta 5 eurót fizetek egy számlára: f (t) = 5? t + C t-vel hónapokban. A C állandót az f (0) = C feltétel alapján határozzuk meg (értelmezés?).

Exponenciális növekedés

A exponenciális növekedés arányos-e a változás mértéke az aktuális készlettel: f '(t) = k? f (t)

A az exponenciálisan növekvő f (t) méret szintén megváltoztatja a növekedési ütemet (Miért?), Ezért a jelenlegi f (t) készlet ugyanazon Δt időszakokban ugyanolyan b tényezővel növekszik: f2 = b? f1 > b = f2/f1, alkalmazás: Mennyiségi teszt!

DGL: f '(t) = k? f (t)> Megoldás: f (t) = a? e kt a = f (0) = kezdeti készlet és k: növekedési tényezővel.

példa: A tejet (a tejminőségi szabályozás szerint) két 1. és 2. minőségi osztályra osztják. Az 1. osztályú tej milliliterenként legfeljebb 100 000 csírát tartalmaz. Meleg környezetben (20 ° C és 30 ° C között) a csírák exponenciálisan szaporodnak.

Gyakorlatok ehhez a példához

  • (1) Az 1. minőségi osztályba tartozó tejet tekintjük: t = 5 óra elteltével kb. 700 000 csíra van/ml. Írja le a példát egy g (t) exponenciális függvénnyel (t órákban!)
  • (2) Magyarázza el, hogy a g (t) függvény mit ír le tényszerű összefüggésben!.
  • (3) Határozza meg az (1) pontban szereplő oldat változásának sebességét. Értelmezés tényszerű összefüggésben?
  • (4) A tej savanyúvá válik, ha kb. 1 000 000 csírát tartalmaz milliliterenként. Számolja ki, mikor savanyul meg a tej.
  • (5) Magyarázza el, hogyan lehet meghatározni a tD duplázási időt. Értelmezés tényszerű összefüggésben?

elmélyülés: Az exponenciális növekedési és csökkenési folyamatok tanulási útja
> 2.4. Gyakorlat A hűtés itt hasznos

Excursus: hányados teszt

Egyenlő Δt időintervallum esetén a függvényértékek hányadosának kell lennie f (t2)/f (t1) állandó lenni: f (t2) = b? f (t1)

Példa: t1 = 3, t3 = 5, f1 = 10, f3 = 4,9> 4,9/10 = 0,49 = b? b = b² - b = v 0,49 = 0,7> b = 0,7 = e k - k = ln (0,7) = -0,3567> f (t) = a? e -0,3567t a = f (0) értékkel

Megjegyzés: A példában f3 = b? b? f1 = b²? f1 (és f2 = b? f1)

Korlátozott növekedés

A korlátozott növekedés a változás mértéke arányos az f (t) és G korlát, tehát a lehetséges maradékig: f '(t) = k? (G - f (t))

A korlátozott növekedés az f (t) = G + b függvény segítségével? e -kt (b 0-val) leírható. Ebből következik: f (0) = G + b = Nyitó állomány

DGL: f '(t) = k? (G - f (t))

példa: A betegnek kábítószert adnak cseppenként. Feltételezzük, hogy a beteg

  • 4 mg/perc gyógyszer felszívódik
  • A vérben jelenleg jelenlévő gyógyszer 5% -a a vesén keresztül ürül.

Gyakorlatok ehhez a példához

  • (1) A vér maximális mennyisége a vérben nem haladhatja meg a 80 mg-ot, a kezdeti érték f (0) = 0. Ezzel az információval adjon meg egy növekedési függvényt f (t) (t percben).
  • (2) Magyarázza el, hogy a növekedési függvény mit ír le tényszerű összefüggésben.
  • (3) Magyarázza el, hogy mikor veszik figyelembe a 4 mg/perc gyógyszer bevitelt.
  • (4) Határozza meg azt a t időpontot, amikor a maximális érték 90% -át eléri.

Gyakorolni: A Cornelsen Q1-ben (Lk-kötet) van egy példa a 158/159. > Hasznos feladatok: 161/9. És 162/12.

Logisztikai növekedés

A logisztikai növekedés a változás mértéke arányos az f (t) készlettel és a fennmaradó G - f (t) készlettel:

f '(t) = k? f (t)? (G - f (t)) (k> 0-val).

Itt G ismét a felső határt jelenti.

A növekedési függvény: $$ f (t) = \ frac> $$

A növekedési függvényből leolvasható t = 0 (értelmezés?): $ F (0) = \ frac $

DGL: f '(t) = k? f (t)? (G - f (t))

példa: Ebben a példában egy őshonos törzset tekintünk az esőerdőben. 5000 őslakos él itt, elzárva a külvilágtól. Az egyik bennszülött nagyon fertőző (de ártalmatlan!) Influenzát kap. Négy héttel később 300 beteg van.

Gyakorlatok ehhez a példához

  • (1) Indokolja ebben a példában a logisztikai növekedés feltételezését.
  • (2) Keresse meg az f (t) (t hetekben) növekedési függvényt.
  • (3) Számolja ki azt a t időpontot, amikor az őslakosok fele megbetegedett! (> Értelmezés ténybeli kontextusban?)
  • (4) Határozza meg a betegek átlagos növekedését (hetente) az első 2 hónapban.

Gyakorolni: A Cornelsen Q1-ben (Lk-kötet) van egy példa a 163/164. Hasznos feladatokként: 165. o./Sz. 14 és 15.

Megjegyzés a jelöléshez: Az exponenciális függvény kitevője: k? G? T z-vé válik. B. Cornelsen-ben szintén a következőket írta: q? t q = k? G-vel (ahol Cornelsen q helyett k betűt használ!).

Mérgező növekedés

A mérgezett növekedés a populáció növekedése gátolt, ami a populáció kihalásához vezethet. Példa található a 2. tanfolyam munkájában (> perorális gyógyszeres kezelés).

Külsőleg mérgezett növekedés: Itt a méreg mennyisége arányosan nő a t idővel (> c? T), míg a növekedési faktor (k - c? t) idővel összességében csökken. A változás mértékére megkapjuk: f '(t) = (k - c? T)? f (t)

A növekedési függvény: f (t) = a? e kt - 0,5? c? t 2 a = f (0) = nyitómérleggel

példa: Míg a logisztikai növekedés azon a feltételezésen alapul, hogy a növekedésnek van egy felső G határa, egy influenzajárvány esetén valószínűbb, hogy az influenza hullám lassan alábbhagy. Ez a mérgezett növekedésről szól: A fertőzést (= növekedést) a k fertőzési sebességen keresztül rögzítjük, a "méregmennyiség" ebben a példában megfelel a c helyreállítási aránynak.

Gyakorlatok ehhez a példához

  • (1) Kezdetben 10 ember fertőzött, a fertőzési arány 0,25. Az f (t) függvény megszámolja a fertőzöttek számát 100-ban. Határozza meg az f (t) növekedési függvényt (t napokban), ha 5 nap után 24 fertőzött van.
  • (2) Vázlattal mutassa meg, hogy az (1) növekedési függvénye megfelelően leírja az influenza járványt.
  • (3) Határozza meg a fertőzöttek maximális számát.
  • (4) Határozza meg a fertőzöttek számának maximális növekedésének és a maximális csökkenés időzítésének időpontját.

Gyakorolni: Cornelsen Q1-ben (Lk kötet) a feladatok 152/5. És 179/4. További feladatok a mérgezett növekedésről: 183/12. És 13. o.

elmélyülés: Megmérgezett növekedés (Wikipédia-cikk)

Megjegyzés a növekedési függvényről: A növekedési függvény típusa természetesen függ a változás sebességétől (azaz a DGL-től!). A fent említett növekedési függvény mellett f (t) = a? e kt - 0,5? c? t 2 külsőleg mérgezett növekedés esetén a funkciók további két osztálya lehetséges:

  • f (t) = (a + b? t)? e –ct, azaz exponenciális függvények összege.
  • f (t) = a? (e –pt - e –qt), azaz különbség az exponenciális függvények között (> lásd a 2. kurzus munkáját!).

Töltse ki az üres

Lineáris növekedés esetén a változás sebessége állandó, azaz _______________________. Ezért a ____________________________ hányadosa mindig ugyanaz.

Az exponenciális növekedésnél a változás mértéke arányos a részvényekkel, vagyis ____________________. Ezért a __________________ aránya mindig ugyanaz.

Bal

Jochen Pellatz: Növekedés és hanyatlás: összefoglalót kínál a növekedési folyamatok témájáról.

Nagyon sok (!) Anyag található G. Roolfs honlapján:

  • Növekedés vagy növekedési folyamatok
  • Jó áttekintés a témáról Növekedési folyamatok.

> Munkalap a fenti feladatokkal.

A példák forrása:

  • Exponenciális növekedés: az EdM Hessen alapján, alap- és haladó tanfolyam (2011), 112/sz. 3
  • Korlátozott növekedés vagy logisztikai növekedés: LS elemzés alapján Lk (2001), 292/no. 6. vagy 296. o./Sz. 7.
  • Mérgezett növekedés: Matematika alapján az új utak elemzése II (2011), 268. o./Sz. 13. (lásd még: Új utak, 321. o.!)

megoldások

Töltse ki az üres

Lineáris növekedés esetén a változás sebessége állandó, azaz. ugyanabban az időszakban Δt egynek ugyanaz a Δf növekedése. Ezért a hányados ki van kapcsolva Δf és Δt Mindig ugyanaz.

Az exponenciális növekedésnél a változás mértéke arányos a készletével, azaz. ugyanabban az időszakban Δt, f (t) ugyanolyan tényezővel (vagy azonos százalékkal) növekszik. Ezért a hányados ki van kapcsolva (f2/f1) (vagy. f (t2)/f (t1) ) Mindig ugyanaz.

megoldások a növekedés funkciói