Olimpia - 8. évfolyam
1. - 34. olimpia - feladatok és megoldások 1.-34. Olimpia - 1
010834 gyakorlat: Kié a gyűrű? Ruth, Fritz, Ewald, Brigitte és Erika gyalogot játszanak. Ruth elhagyja a szobát; közben az egyik másik gyerek gyűrűt rejt magában. Ruth visszatér, hogy megtudja, kinek van a gyűrű. Most minden gyermek három kijelentést tesz. Ezen állítások közül kettő igaz, egy pedig hamis. Ezen állítások alapján Ruthnak találgatás nélkül meg kell találnia, hogy kinek van gyűrűje. Ewald: 1. Nincs nálam a gyűrű. 2. Fritznél van a gyűrű. 3. Sokszor játszottam már ezt a játékot. Fritz: 1. Nincs nálam a gyűrű. 2. Ewald téved, amikor azt hiszi, hogy nálam van a gyűrű. 3. Erikának van a gyűrűje. Most Ruth közbeszól és azt mondja: gondolkodnom kell, talán megtudom, kinek van a gyűrű. Néhány perc múlva Ruth megmondja, kinek van a gyűrű. Honnan tudta? 010835 gyakorlat: A P és Q pontokat 5 cm távolsággal adják meg. Készítsen két párhuzamot, amelyek közül az egyik P-n, a másik Q-n megy keresztül és amelyek a = 3 cm távolságra vannak egymástól. Indokolja az építkezést! Hány különböző lehetőség van a szinten? 1.-34. Olimpia - 5.
020814 gyakorlat: Adja hozzá a hiányzó számjegyeket a következő osztási problémához! Hogyan határozták meg a számjegyeket? (Ok!):? = 8 020815 gyakorlat: Igazolja a következő tételt: 0 Ha egy háromszög kerülete középpontja az egyik oldalán fekszik, akkor a háromszög derékszögű! 020816. Gyakorlat: Adott egy ABCD téglalap, amelynek oldalai mind az 1: 2 arányban vannak felosztva, mint az ábrán. A P, Q, R, S alpontokat hívjuk és folyamatosan összekapcsoljuk. D S R C a) Végezze el ezt a konstrukciót az AB = 10 cm és BC = 7 cm oldalú téglalapra! Q b) Milyen négyzet a P QRS négyzet? (Bizonyítás!) A P B c) Hogyan viszonyul a P QRS négyzet területe az ABCD téglalap területéhez? Az eredmény más, így felosztott téglalapokra is vonatkozik? (Ok!) 1.-34. Olimpia - 7
2. Matematikaolimpia 2. szint (Kreisolympiad) gyakorlatok 020821 gyakorlat: A következő mondatot kell bizonyítani: Ha az a b a + b tört nem rövidíthető, akkor a b nem mindig rövidíthető. 020822 gyakorlat: A tervek szerint a XXII. Az SZKP pártkongresszusán az 1980-as széntermelés állítólag 687 millió tonnával magasabb, mint 1960-ban. Az 1980-as széntermelés 234 százalék 1960-hoz képest. Számolja ki az 1960-ra tervezett széntermelést! Kerek a teljes millió t-ig! 020823 gyakorlat: Számítsa ki: m 2 n 2 mn + m2 + 2 mn + n 2. m + n 020824 gyakorlat: Melyik x felel meg a következő egyenletnek: (x 2 1) (x: 3 3 1) (3x = 2 4 1) (x: 6 2 2)? 3 020825 gyakorlat: A drótkötelek gyakran szálakból állnak, amelyek viszont egyedi acélhuzalokból állnak. A szálakat egy zsírozott kendermag köré tekerik, amely belülről megköti a kötelet. Az ábra egy ilyen drótkötél keresztmetszetét mutatja, amely 42 huzalból és egy (szürke színű) kendermagból áll. Minden vezeték átmérője 1 mm. Mekkora a kör átmérője a kötél keresztmetszete körül? Ok! 1.-34. Olimpia - 8
020835 gyakorlat: Bizonyítsa be a következő tételt: Ha a két átmérőt két kör metszéspontján keresztül rajzolja meg, akkor a többi végpontjuk egyenes vonalban fekszik a körök második metszéspontjával. 020836 gyakorlat: a) Három egyenes van g 1, g 2 és g 3, amelyek egyike sem merőleges a másikra. Az S pontban keresztezik egymást. A g 1-en van egy másik A. pont. Keresse meg az ABC háromszöget, amelyben a magasság az egyeneseken fekszik. b) Vizsgálja meg az összes olyan esetet, amikor 2 vonal merőleges egymásra, és az A pont ezen vonalak egyikén vagy a harmadikon fekszik! 1.-34. Olimpia - 11
a) Konstruálja a trapézot! b) Indokolja a konstrukciót! 1.-34. Olimpia - 15
f) téglalap (nem négyzet) g) ötszög h) nyolcszög? Mely lehetséges minták nem szerepelnek a listán? Készítsen vázlatot az egyes metszetalakokhoz, amelyből láthatja, hogyan kell elvégezni a lapos vágást, ha meg akarja őrizni a vonatkozó metszetalakot! 1.-34. Olimpia - 17.
4. matematikaolimpia 2. szint (körkörös olimpiák) gyakorlatok 040821 gyakorlat: Bármely AB AB trapézot egyenlő területű téglalapokká kell alakítani (konstrukció!). 040822 gyakorlat: Bármely háromjegyű számot felhasználva alakítsa ki a számot a fordított számjegysorozattal, és bizonyítsa be, hogy a két szám közötti különbség osztható 99-gyel! 040823 gyakorlat: Meg van adva a két szomszédos α és β szög az A csúccsal és a közös láb D pontjával (lásd az ábrát). Α β α D a) Szerkessze ebből az ábrából az ABC háromszöget úgy, hogy AD felező legyen! b) Milyen feltétel mellett válik egyenlővé az ABC háromszög? 040824 gyakorlat: Péter a nyári táborban van. Brause-t akar csoportjának megvásárolni palackonként 21 pfennig, és üres palackokat visz magával. A visszaváltott kaucióért (30 pfennig minden üres üvegért) szeretne minél több üveg szódát venni. Minden palack után további 30 kauciót kell letétbe helyezni. Kiderült, hogy 6 palackkal kevesebbet kapott, mint amennyit engedett. Pénzt is visszakap. Hány üres palackot vitt magával Péter? (Nem csak egy megoldás létezik.) 1.-34. Olimpia - 18
4. matematika olimpia 3. szint (kerületi olimpiák) gyakorlatok 040831 gyakorlat: Ha felcseréled egy kétjegyű n számjegyét, akkor egy olyan számot kapsz, amely 8 3 szám n. az n-szerese. 040832. Gyakorlat: Készítsen derékszögű háromszöget, ha meg van adva a beírt kör r sugara és a kathéta a hossza, és írja le az építkezést! Milyen feltételek mellett végezhető el az építkezés? 040833. Gyakorlat: A 31 4. osztályos tanuló közül 21 úszhat, 24 kerékpározhat és 19 korcsolyázhat. A versenyhez olyan hallgatókra van szükség, akik a) úszhatnak és kerékpározhatnak, b) úszhatnak és korcsolyázhatnak, c) kerékpározhatnak és korcsolyázhatnak, d) úszhatnak, kerékpározhatnak és korcsolyázhatnak. Hány tanuló van az osztályban legalább a), b), c) és d) pontokra, legfeljebb hány? 040834. Gyakorlat: Megadunk három p 1, p 2 és r hosszúságú szegmenst, p 1 c (2) a + b = c + d (3) a + d