Számítsa ki a nullákat

Hogyan tudod Számítsa ki a nullákat? Pontosan ezt fogjuk megvizsgálni a következő szakaszokban. A következő tartalmat kínáljuk:

  • Először van Magyarázatok, mik a nullák és milyen lehetőségek vannak a nullák kiszámítására.
  • Fog Példák előre kiszámítva, hogy bemutassák a különböző módszereket, például az ABC-képletet, a PQ-képletet és a polinomiális osztást.
  • feladatok és Feladatok lehetővé teszi a nullák számításának gyakorlását.
  • A Videó Számítsuk ki a nullázást is.
  • A Kérdés és válasz terület megválaszolja a nullák megtalálásával kapcsolatos tipikus kérdéseket.

Először nagyon röviden elmagyarázom, hogy melyek a nullák. Aztán arról van szó, hogy milyen típusú függvények vagy egyenletek vannak, és melyik módszerrel lehet kiszámolni ezek nulláit. Megismerheti többek között a PQ képletet, az éjféli képletet és a polinom osztást is. Ha problémái vannak a tartalommal, akkor hiányozhat néhány fontos előzetes tudás: Ebben az esetben kérjük, foglalkozzon az egyenletek megoldásának és a függvények rajzolásának témakörével.

Magyarázat: Számítsa ki a nullákat

Mielőtt a nullákat számolnánk, először meg kell válaszolnunk a következő kérdést: Mik azok a nullák? Nos, a matematikai leírás a következő: Az x0 számot f nullának nevezzük, ha f (x0) = 0. Bonyolultnak hangzik, nem? Vegyünk hát egy világosabb utat. Függvényeket vagy egyenleteket ábrázolhat egy koordináta-rendszerben. Ez kék színnel látható a következő ábrán. Ha követi annak menetét, láthatja, hogy van egy pont, ahol az x tengelyen fut át. Itt van a nulla (pirossal rajzolva). És - nézze meg újra a grafikát - pontosan itt van y = 0.

először kell

1. ábra: Lineáris egyenlet (függvény)

Egy függvénynek vagy egyenletnek természetesen egynél több nulla is lehet. Ez látható a következő grafikonon, ahol egy másodfokú egyenletet/függvényt látunk, amelynek két nullája van (pirossal körözve).

2. ábra: Másodfokú egyenlet/függvény

Nullázás: példák és képletek

Hogyan lehet kiszámítani a nullákat? Ehhez nézzünk meg itt számos példát és a megfelelő képleteket. A terv így néz ki:

Hogyan lehet kiszámítani a nullákat:

  1. Tudja meg, milyen típusú egyenletünk vagy függvényünk van.
  2. Keresse meg a megfelelő képletet vagy megoldási módszert.
  3. Használja ezt a képletet vagy módszert a nullák kiszámításához.

Nem segít: most meg kell vizsgálnunk, hogy milyen típusú egyenletek vagy függvények léteznek. Hogy aztán eldönthessük, melyik megoldási módszert alkalmazhatjuk.

Nullpont a lineáris függvényhez:

Kezdje lineáris egyenletekkel vagy lineáris függvényekkel. Ezek formája:

Példák lineáris egyenletekre:

1. lineáris egyenlet:

Hol van az y = x - 2 egyenlet nulla? Megoldás: Tudjuk, hogy y = 0 értéket kell beállítanunk a nulla megtalálásához.

Tehát nulla van az x = 2 értéknél. Ezt a pontot pedig az jellemzi, hogy y = 0 itt. Tehát a nulla pontja P (2; 0).

2. lineáris egyenlet példa:

Hol van a nulla az y = 4x - 4 egyenletben? Megoldás: Itt is beállítjuk az y = 0 értéket, majd kiszámoljuk az x értéket.

A nulla pont x = 1-nél van. Tudjuk, hogy y = 0 itt is. Ezért a nulla pontja P (1; 0).

Nulla másodfokú egyenlet/függvény:

Elérkeztünk a másodfokú függvények vagy a másodfokú egyenletek nulláinak kiszámításához. A másodfokú egyenletek formája:

Példák másodfokú egyenletekre:

:

Most már tudjuk, mi a másodfokú egyenlet. Csak hogy oldja meg ezt? Ennek két általános módszere van. Egyrészt létezik a PQ képlet. Másrészt létezik az ABC képlet, amelyet néha éjféli képletnek is neveznek. A PQ képlettel vagy az ABC képlettel másodfokú függvények oldhatók meg (viszonylag egyszerűen). Annak érdekében, hogy lássa, hogyan működik ez, mindkét változattal 3x 2 + 9x + 5 = - 1 gyakorlatot hajtok végre.

1. másodfokú egyenlet (PQ képlettel):

Mielőtt használhatnánk a PQ formulát, természetesen először tudnia kell, hogy néz ki a PQ formula. Ahhoz, hogy ezt használni lehessen, először meg kell győződnünk arról, hogy x 2 előtt van 1, és az egyenletet a = 0 formába hozzuk. Ezután elolvashatja p és q, és egyszerűen beillesztheti őket. Először a megoldásegyenlet, majd a példa.

Meg akartuk oldani a 3x 2 + 9x + 5 = - 1 példát a nullák kiszámításához:

  • Tudjuk, hogy szükségünk van az egyenletre a = 0 formában, ezért először távolítsuk el a -1-et a jobb oldalon.
  • Szükségünk van 1-re is az x 2 előtt, azaz 1x 2-re és nem 3x 2-re, mint itt. Tehát elosztjuk 3-mal.
  • Ezután egyszerűen leolvashatjuk p és q értékeket, és beilleszthetjük őket az utolsó grafika megoldási képletébe.
  • Kiszámoljuk a számokat a gyökér előtt és a gyök alatt.
  • A gyökér előtt van egy plusz (+) és egy mínusz (-). Kiszámítjuk x1-et a plusszal, és x2-t mínuszmal.
  • Ez két megoldást ad nekünk. Ez a két nulla.

Szüksége van további példákra és magyarázatokra a PQ képlethez? Ezután nézze meg cikkünk PQ képletét.

2. másodfokú egyenlet példa (ABC képlettel):

Az egyenletet - amelyet éppen a PQ képlettel oldottunk meg - most az éjféli képlettel kell megoldani. Először úgy alakítjuk át az egyenletet, hogy = 0 legyen. Felolvassuk az a, b és c értékeket, és beillesztjük az ABC képlet (éjféli képlet) oldategyenletébe.

Amint láthatja: a PQ képlet és az ABC képlet ugyanazokat az eredményeket adja.

Köbfüggvények/3. fokozat, 4. fokozat vagy magasabb funkció:

A lineáris függvényeknek x-je volt, másodfokú függvényekkel a legnagyobb teljesítményt x 2-nél érték el. És mit tegyek most, amikor x 3, x 4 vagy még magasabb? Akkor szükségünk van a polinomiális osztásra. Mivel a polinomiális osztással meg tudjuk oldani a 3., a 4. vagy még magasabb fokú függvényeket.

A polinomiális tagolás két szóból áll: polinom és osztás. Már ismeri az általános iskolai felosztásokat, például 6 osztva 2-vel osztás. Vagy a számlálóval és a nevezővel ellátott tört egy osztást képvisel. Hiányzik-e még egy polinom: A polinom a hatványok többszörösének összege a változó természetes számú kitevőivel, amelyet a legtöbb esetben x jelöl.

Példák polinomokra:

  • 2x 2 + 5x + 8
  • 9x 3 + x 2 + 5x -3
  • 18x 5 + 30x 4 + 3x

A polinomfelosztással két polinomot osztunk el egymással. A nullák számítási eljárása így néz ki:

  • Szükségünk van egy függvényre vagy egyenletre, amelynek nulláit ki akarjuk számítani.
  • Szükségünk van ennek a függvénynek az első nullára
  • A polinomfelosztás ezzel az első nullával végezhető el.

1. példa Polinomiális osztás:

Nézzünk meg egy példát a polinomfelosztásra. Legyen x 3 - 6x 2 - x + 6 = 0. Hol vannak a nullák? Megoldás: Ha kitaláljuk, kapunk egy első nullát x = 1-nél. Ezért x 3 - 6x 2 - x + 6-ot osztunk x-1-vel. . Tehát meg kell oldanunk a következő problémát:

Először ezt a feladatot írjuk le:

Most el kell kezdenünk a számolást. Ez úgy működik, hogy először el kell végeznünk egy osztást. Először kiszámoljuk az x 3 értéket: x. Egy x rövidül, azaz x 3: x = x 2 .

Ezután meg kell szoroznunk. Kiszámítjuk x 2 · (x - 1) = x 3 - x 2. Az eredményt x 3 - 6x 2 alá írjuk .

Most vonjuk ki a következőképpen, és kapjuk meg a -5x 2 értéket .

Most lefelé húzzuk az -x-et:

Most kezdődik a játék elölről. Más szavakkal, most újra el kell végeznünk egy osztást: -5x 2: x = -5x

Most megint szaporodunk a másik irányba: (-5x) · (x-1) = -5x 2 + 5x

És ismét kivonjuk (lásd a piros négyzetet a következő képen):

+ 6-ot húzunk le:

És most újra megosztjuk: (-6x): x = -6

És még egyszer utoljára megszorozzuk: (-6) · (x-1) = -6x + 6

Ha kivonjuk, akkor látjuk, hogy az eredmény 0. Fentről (pultról) pedig már nincs mit lehúzni.

Ezzel készen vagyunk: A polinomfelosztás (x 3 -6x 2 - x + 6) eredményt ad: (x-1) = x 2 -5x -6. De most szeretnénk megkapni a nullákat (vagy ezt már elfelejtetted egy ilyen hosszú számítás után?). Még maradt x 2 -5x -6. Ezt nullára állítottuk (= 0). És akkor alkalmazhatjuk rá a PQ képletet. Aki ezt még nem tudja: A PQ képletet fentebb ismertetjük.

Ha a PQ képletet használjuk, akkor nullákat kapunk x1 = 6 és x2 = -1 értékeken. Előtte polinomiális osztást végeztünk. Ezzel a legelején azt mondtuk, hogy x = 1-nél még mindig van nulla. Tehát van egy harmadik nulla x3 = 1-nél.

Nullázó feladatok/gyakorlatok

Számítsa ki a nulla videót

PQ képlet videó

A következő videóban láthatja a PQ képlet működését. Először röviden elmagyarázzák, hogy mi a másodfokú egyenlet/függvény és melyik megoldási képletet alkalmazzák. A megfelelő példákat kiszámoljuk.

Nullák kiszámítása: kérdések és válaszok

Ebben a részben megvizsgáljuk a nullák kiszámításával kapcsolatos tipikus kérdéseket. Megfelelő válaszokkal.

K: A másodfokú függvényekhez használjam a PQ képletet vagy az ABC képletet?

V: Mindkettő működik. Magam is könnyebben találom a PQ formulát, de ez ízlés kérdése. Ha x 1 előtt 1 van, akkor a PQ képlet általában a könnyebb változat. Ha további információkra van szüksége mindkét típusról, akkor tanulmányozhatja a cikk PQ képletét vagy az ABC képletét is (a cikket rövidesen írják, majd ide is linkelik).

K: Hogyan találom meg a szinusz és a koszinusz függvények nulláit?

V: Külön téma a nullák keresése a szinuszos vagy koszinuszos függvényekben. Ezzel foglalkozunk a Zeroing Sine/Cosine cikkben.

K: Hogyan gyakorolhatom jól ezt a témát?