Véletlen változók, valószínűségeloszlások • Maths-Brinkmann
A legutóbbi, a Combinatorics cikkben rendezett és rendezetlen mintákkal foglalkoztunk pótlás nélkül és pótlás nélkül. Ebben a bejegyzésben ezt megtudjuk Ismerje a véletlen változók képleteit, a valószínűségi eloszlásokat, a várható értéket. Tehát z. Denevér Szerencsejáték-kimutatások a várható nyereségről vagy veszteségről csináld. Sok példával.
Két kockát (egy kék és egy zöld) 400-szor dobnak össze.
Az egyes eredmények gyakoriságát egy táblázat tartalmazza.
Az (1 | 1)… (6 | 6) számpárok mindegyikéhez hozzárendelhető számuk összege.
A szemösszegek relatív gyakoriságát össze kell hasonlítani előfordulásuk valószínűségével.
Ezt a tényt egy táblázatban és oszlopdiagramon kell megjeleníteni.
A szem egyes összegeinek relatív gyakorisága általában nem tér el nagyon a számított valószínűségektől. Ennek előfeltétele természetesen a megfelelő számú próbálkozás.
A véletlenszerű változó meghatározása:
Egy véletlen változó értéktáblázata két kocka dobásához, amelyek számát hozzáadjuk.
Ha két kocka dobásakor minden eredményhez hozzárendelik az összesített összeget, akkor létrejön az X véletlenszerű változó.
Ha valaki véletlenszerű változók minden értékéhez hozzárendeli a valószínűségét, akkor valószínűségi eloszlás (valószínűségi függvény) jön létre. A véletlen változó valószínűségi eloszlását vagy eloszlását táblázat és hisztogram ábrázolhatja.
A valószínűségeloszlás meghatározása
Funkcionális illusztráció, például két kocka dobása, amelyek összessége képződik.
A valószínűség segítségével az ember z-t szeretne. B. tegyen nyilatkozatokat a szerencsejátékok várható nyereségéről vagy veszteségéről. Felmerül a kérdés: mekkora profit várható játékonként, ha gyakrabban játszanak?
Példa:
Ennek szemléltetésére nézzük meg újra a két kocka összegét.
Szerencsejátékká lehet alakítani a következő szabály megalkotásával:
Szabály:
Az egy dobásban elért összeget euróban fizetik ki.
A játék üzemeltetőjének természetesen el kell gondolkodnia azon, hogy mekkora legyen a tét játékonként, hogy ne szenvedjen veszteséget.
Ehhez tudnia kell, hogy mekkora összeget kell fizetnie játékonként átlagosan sok játékért. Legalább a tétnek olyan magasnak kell lennie.
A leíró statisztikákban szereplő frekvenciaeloszlás átlagához hasonlóan úgy is lehet értéket alkotni, hogy a kifizetési összegeket megszorozzuk valószínűségükkel.
Ezt az értéket hívjuk várható értéknek .
Példánkban a 7 érték azt jelenti, hogy nagyszámú játék esetén átlagosan játékonként 7 eurót kell kifizetni.
A játék üzemeltetője ezért legalább 7 euró tétet kell kérnie meccsenként, hogy ne szenvedjen veszteséget.
A kifizetési összegek vagy kifizetések megegyeznek a véletlenszerű változókkal
X a következő értékekkel: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Most nézzük meg a játékot játékos szempontjából, akinek meccsenként 7 eurót kell fizetnie.
Számára a profit kiszámítása a következőképpen történik:
Nyereség = kifizetés - tét.
A nyereség most egy véletlen változónak felel meg, amelyet Y-nek hívunk, vagyis
Y értékekkel: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
Ez azt jelenti, hogy a nyereség várható értéke most meghatározható.
A győzelem várható értéke 0. Ez azt jelenti, hogy hosszú távon a játékos nem nyer semmit. De ő sem veszít semmit. Az esélyek egyenletesek.
Képlet: X várható értéke
Jegyzet:
E (X)
- > 0, így nevezik a játékot a játékos számára kedvezőnek.
- = 0, így nevezik a játékot fairnek .
- a játékos számára kedvezőtlen (tisztességtelen).
Megjegyzések a várható értékhez:
A várható érték az X várható középértéke véletlenszerű kísérletek sorozatában.
Míg az átlagérték - egy mennyiség a leíró statisztikából - a múltra vonatkozik, vagyis azokra az értékekre, amelyek a mintában ténylegesen előfordultak, a várható érték egy olyan mennyiséget ír le, amely a jövőre vonatkozik, vagyis egy olyan mennyiségre, amellyel hosszú távon várható.
Az átlaghoz hasonlóan a várt érték is sok esetben nem tartozik azon értékek közé, amelyeket az X véletlen változó feltételezhet.
Példa és gyakorlatok
A tilalom ellenére érdekes szerencsejátékokra kerül sor egy szakkollégium iskolaudvarán.
Játékszabályok:
A tét játékonként 2 €.
A játékos először az 1, 2, 3, ..., 6 számok egyikét helyezi el.
Ezután háromszor dob egy kockát.
Ha a megkeresett szám csökken
- nem, a tét elvész.
- egyszer visszakapja részesedését.
- kétszer megkapja a tét dupláját.
- háromszor kapja meg a tét háromszorosát.
Valószínűleg a legfontosabb kérdés, amely ebben a játékban felmerül, a győzelem lehetőségének kérdése. Ezt minden hallgató tudni akarja, mind azok, akik játszanak, mind azok, akiknek van bankjuk. Erre a kérdésre a valószínűségelmélet segítségével lehet választ adni.
Az X véletlen változó a nettó nyereség, amely a játékosnak fizetendő összeg, levonva a 2 € tétet.
A nyereség vagy veszteség valószínűségének kiszámításához a háromszintű fadiagramot és az útszabályt használják.
A következõk érvényesek: G = nyereség, V = veszteség.
A profitkilátások kiszámításához meg kell szorozni a véletlen változók értékeit a hozzájuk tartozó valószínűségekkel, és összeadni az eredményeket:
A számított -1 szám azt mondja, hogy hosszú távon, azaz a játék sokszoros ismétlésével játékonként 1 euró veszteség várható a játékos számára.
A bank természetesen beszedi ezt az összeget.
Emiatt a játékot igazságtalannak is nevezik, mivel a nyereség és a veszteség hosszú távon nincs kiegyensúlyozva.
A nyereség és a veszteség kiegyenlítené az átlagot 0-val. Ez akkor korrekt játék lenne. Ezt például a nyereség növelésével lehet elérni.
1. Feladat:
A fent bemutatott kockajáték várható értéke E (X) = -1 volt.
Tehát a játék igazságtalan.
Mekkora tétnek kell lennie ahhoz, hogy egy játékot igazságosnak lehessen nevezni?
A kifizetett összegek változatlanok maradnak:
Ha a megkeresett szám csökken
- nem, a kifizetés 0 €.
- egyszer a kifizetés 2 €.
- kétszer, a kifizetés 4 €.
- háromszor, a kifizetés 6 euró.
2. gyakorlat:
Minden jegy nyer !
A ballagási ünnepségen az 50 résztvevő mindegyikének jegyet kell vásárolnia.
Az 1. díj értéke 100 €, a második 25 €, a harmadik pedig 10 €.
Aki nem kapja meg a nyereményeket, 1 euró vigaszdíjat kap.
Mennyibe kerülhet egy jegy, hogy a bevételek és a ráfordítások megfeleljenek?
Minden tétel 5 euróért kerül eladásra.
A bevétel a Friedensdorfba kerül. Mekkora a bevétel?
Az alábbi megoldás
3. gyakorlat:
Az urnában vörös, fekete és zöld golyó található.
A labda behúzása nélkül kerül kihúzásra, amíg meg nem jelenik egy zöld golyó.
Ha a zöld golyó a
- Az első lépés kihúzása esetén a kifizetés 2 €.
- 2. Rajzolt mozdulattal a kifizetés 1 €.
- A 3. lépés sorsolásra kerül, a kifizetés 0 €.
Mekkora tét kell, hogy legyen egy korrekt játék?
Az alábbi megoldás
megoldások
1. Feladat:
A fent bemutatott kockajáték várható értéke E (X) = -1 volt.
Tehát a játék igazságtalan.
Mekkora tétnek kell lennie ahhoz, hogy egy játékot igazságosnak lehessen nevezni?
A kifizetett összegek változatlanok maradnak:
Ha a megkeresett szám csökken
- nem, a kifizetés 0 €.
- egyszer a kifizetés 2 €.
- kétszer, a kifizetés 4 €. háromszor, a kifizetés 6 euró.
Megoldás:
A játék akkor igazságos, ha hosszú távon pontosan annyit játszanak le, amennyit bevisznek.
Ehhez kiszámoljuk a kifizetések várható értékét.
E (X) = 1 azt jelenti, hogy meccsenként átlagosan 1 € kerül kifizetésre hosszú távon.
1 €/játék tét esetén a játék tisztességes.
2. gyakorlat: Minden jegy nyer!
A ballagási ünnepségen az 50 résztvevő mindegyikének jegyet kell vásárolnia.
Az 1. díj értéke 100 €, a második 25 €, a harmadik pedig 10 €.
Aki nem kapja meg a nyereményeket, 1 euró vigaszdíjat kap.
Mennyibe kerülhet egy jegy, hogy a bevételek és a ráfordítások megfeleljenek?
Minden tétel 5 euróért kerül eladásra.
A bevétel a Friedensdorfba kerül. Mekkora a bevétel?
Megoldás: A várható érték kiszámítása:
E (X) = 3,64 azt jelenti, hogy minden tételnek 3,65 euróba kell kerülnie a költségek fedezésére.
5 eurós jegyár és 50 eladott jegy esetén 50 (5 - 3,64) = 68 € nyereség érhető el
Ez az összeg a Friedensdorfba kerül.
3. gyakorlat:
Az urna vörös, fekete és zöld gömböt tartalmaz.
A labda behúzása nélkül kerül kihúzásra, amíg meg nem jelenik egy zöld golyó.
Ha a zöld golyó a
Az első lépés kihúzása esetén a kifizetés 2 €.
2. Rajzolt mozdulattal a kifizetés 1 €.
A 3. lépés sorsolásra kerül, a kifizetés 0 €.
Mekkora tétnek kell lennie ahhoz, hogy tisztességes játék legyen?
Megoldás: A háromszintű fadiagram és az ösvényszabály segítségével kiszámíthatja a zöld gömb kihúzásának valószínűségét.
A kifizetés várható értéke E (X) = 1.
Ha tisztességes játékról van szó, akkor a tétnek is 1 eurónak kell lennie.