Amikor a matematika nem a számolásról szól
Egy hozzászólásom egy hozzászólásomra azt válaszolta, hogy "a matematika nem mindig a számlálást jelenti".
Azon gondolkodtam, hogy ha van egység (centiméter/milligramm/fényév stb.), Akkor ez valamilyen.
Kivételt képez az az eset, ha valamit maga a matematika/arthimetec a 2 + 2 = 4 fogalmaként ír le. Ezt egységek nélkül definiálják, de csak önmagáról nyilatkoznak.
Tehát a kérdésem a következő: Amikor a matematika nem arról szól, hogy számolj valamit?
SZERKESZTÉS ×: Az egyértelműség kedvéért diszkrét adatokkal rendelkezünk, például egy szobában lévő emberek számával, vagy folyamatos adatokkal, például a legközelebbi curry-házhoz mérföldek számával (mérés, ideális esetben nagyon kicsi ebben az esetben ).
Ezzel a kérdéssel az a szándékom, hogy mindkettő "számoljon" - a diszkrét adatok bizakodók, a folyamatos adatok pedig - mondhatnám - még mindig "számítanak" abban, hogy Ön számos mérföldet (stb.) Tesz meg.
Tehát nem a diszkrét és a folyamatos adatok közötti különbségről beszélek. Kérdezem még, hogy/ha a matematika nem utal valamire a (vagy a) "valós" világban. Visszagondolva azt gondolom, hogy "amikor nincsenek egységek?"
E = mC ^ 2 egységekkel vagy egységtípusokkal rendelkezik:
E = energia = watt/kalória/bármi
C = fénysebesség (mph stb.)
Tehát ahhoz, hogy ezt valószínűleg nehéz matematikával el lehessen érni, volt egyszer egy pont, amikor a képletnek nem volt valamilyen egysége.?
7 válasz
A számokkal nem járó matematika legjobb példája a filozófia. A propozíciós logika a matematika. Hogy van ez bizonyos értelemben "valóban" a számokkal kapcsolatban?
De a modern matematika főleg olyan dolgokból áll, amelyek nem numerikusak, hanem szabályok halmazából állnak.
Szélsőséges esetként vegye figyelembe a topológiát. A topológia legegyszerűbb leírható formája a gráfelmélet. Ez a tudományág nagyrészt azoknak a dolgoknak a bonyolult összefüggéseivel foglalkozik, amelyek viszonylag egyszerű leírásokkal bírnak és még ma is leírhatók. A grafikon szokásos ábrázolása tetszőlegesen mozgatható pontok és vonalak, amelyek összekapcsolják néhányukat egymással.
Egy korai alaperedmény meghatározza azokat a feltételeket, amelyeket fel kell tennünk egy diagramra, hogy megrajzoljuk őket a síkban. A geometria elvont módon vesz részt, de mérések nélkül. Tehát ez egy nagyon tiszta példa. Az egyetlen szám vagy mérés, amely a probléma megállapításához releváns, a "kettő", és csak akkor, mint egy repülőgép dimenziója.
Természetesen a grafikonoknak vannak csomópontjai, és meg lehet őket számlálni. A leírások gyakran számokat tartalmaznak, és a legalapvetőbbek olyan dolgokra utalnak, mint "három pont balra húzása, kettő jobbra húzása és az egyik oldalon lévő egyes pontok összekapcsolása az összes többi ponttal". De még itt is a számtant csak a nyelv részeként használják, nem főszereplőként. Általánosságban az elméleti grafikus számítások ritkán numerikusak - a csomópontokat és éleket ábrázoló szimbólumok manipulálására vonatkoznak. (Ily módon egyfajta propozíciós logika ez, a "szimbolikus és kombinatorikus logika" általános mezőjének mindkét oldala).
Fontos eredmények például, hogy találhatunk-e kompakt leírású gráf példányait egy másik hálózatban, kompakt, nem kapcsolódó leírással. Az alkalmazások olyan dolgokra utalnak, mint a számítógépes hálózat vagy a telefonvonal karbantartása. A termékek nem számok, hanem olyan műveletsorozatok, mint egy számítógépes program.
A számokat általában csak egy probléma megoldása után adjuk meg, hogy összehasonlítsuk a különböző megoldások hatékonyságát.
Matek szakként sok fájdalmat okozott nekem, amikor a családom azt hitte, hogy csak megtanulom, hogyan kell jobban teljesíteni. jó .
Általánosságban elmondható, hogy a tiszta matematikának (azaz az alkalmazott matematika kizárásának) három fő ága van (bár valószínűleg egyszerűsítés):
- Algebra - hogyan használhatjuk az elemkészletek műveleteit két elem egyesítéséhez egy másik elembe (potenciálisan eltérő, potenciálisan nem)
- Geometria - a pontok és a belőle folyó dolgok közötti távolságra utal
- Alapok - logika és halmazelmélet, amelyek a matematika többi részének alapjául szolgálnak.
Természetesen a számlálást minden területen példákra használják, de magában a matematikában általában elvontabb körülmények között működik. Vagyis gyakran nem számokkal, számtannal vagy közvetlen számlálással dolgozunk, inkább olyan dolgokat veszünk figyelembe, amelyek ugyanazokat a szabályokat és motívumokat követik a dolgokról abban az absztrakt keretben.
Vegyük például a függvénykészletet bizonyos technikai korlátozásokkal (például mérhető, integrálható vagy differenciált. A "jól viselkedő" funkciók bármely halmaza). Meghatározhat velük műveleteket, hogy különböző módon kombinálja őket (algebra). Megadhat egy értéket, amely távolságot állít be a halmaz elemeire (geometria). De a „számolás” gondolata ebben a készletben nagyon természetellenes.
A geometria a legegyszerűbb szám nélküli matematika. Csak tollat, vonalzót (adó nélkül, egyenes vonalak készítéséhez használjon) és iránytűt használjon.
Szerintem a legjobb módszer összehasonlítani a matematikát egy természetes nyelvvel, és ezzel egyenértékű kérdés: "Mikor nem a helyesírás a nyelv?".
A számlálás helyesírás, mert az algebra arról szól, hogy a mondatokat bizonyítékként tegyük az esszékbe.
Ott megtalálja a választ.
Nagyon bonyolult módszerek vannak a „számolásra”, amikor a végtelenségekről, a kombinatorikáról és így tovább, de a matematika által megoldott kérdések többsége az alapvető szabályok véges halmaza körül forog, amelyek többségében nem járnak „mértékkel”, de inkább összefoglaló, mégis (remélhetőleg) az intuitív koncepció. Ezeket axiómáknak nevezzük. Azt mondaná, hogy a "két vonal soha nem találkozik" egyfajta "mérték"? Ez azonban matematikai állítás, és az ilyen vonalakat párhuzamosnak (vagy más összefüggésben ortogonálisnak) definiáljuk.
Azt akarja mondani, hogy annak bizonyítása, vagy ennek feltételei a derékszögű geometriában/algebrában valamiféle számlálásnak számítanak? A válasz valószínűleg nem.
Az Ön által megadott összes példa csak a fizikában és a való világban alkalmazott matematika, a matematika csak a való világgal foglalkozik, és többnyire nem törődik az egységekkel.
Például az az elképzelés, hogy végtelen sok példa van az elsődleges felhasználásokra (egyedi számok), logikára és azok tulajdonságaira, hogy új tényt adjon az ezekre az axiómákra épített tudásbázisra.
Tehát a kérdés megválaszolásához a matematikából nagyon kevesen foglalkoznak a "számolással".
Bármely kiszámítható algoritmus modellezhető számlálásként. Ez sok matek.
A számlálás általános gondolatát matematikailag formalizálták sorszámnak nevezett halmazok felhasználásával. A legtöbb (ha nem az összes) matematikai objektum halmazként modellezhető, és tudjuk, hogy minden jól rendezett halmaz izomorf (egyenértékű) egy rendszámhoz. (Itt a jól rendezett azt jelenti, hogy "legalább egy elem van" - vagyis van hely, ahol elkezdhetjük a számolást.) Tehát, ha el akarja veszíteni a számolást, akkor olyan készlettel kell megküzdenie, amely nem jól rendezett.
Eddig kizártuk a számított és jól rendezett halmazként modellezhető matematikát.
Kétségtelen más korlátozások, de most minden eszembe jut.
Ha olyan iskolához tartozik, amely ragaszkodik ahhoz, hogy az egész matematika számítógépes legyen, akkor azt hiszem, mindent kizárt.
SZERKESZTÉS Számos olyan megjegyzés érkezett más válaszokhoz, amelyek némi zavart mutatnak a számlálás jellegével kapcsolatban. Az egyik zavart egy jól ismert matematikai sejtés érinti, amelyet Continuum hipotézisnek hívnak.
Mint azt az eredeti válaszomban (fentebb) említettem, Cantor a számozás fogalmát a sorszámok meghatározásával formalizálta. A Continuum hipotézis azt kérdezi, hogy mi a kontinuum kardinalitása. Az összes számszerűséget a sorszámok bizonyos típusaként határozzák meg. A kontinuum kardinalitását a jól rendezett [0,1] halmaz (= 0 és 1 közötti valós számok halmaza) kardinalitása adja. Tehát a kontinuumhipotézis abszolút a számlálásról szól. Kíváncsi, hány megrendelést kell megszámolnom a kontinuum kardinalitásának megszámlálásához.
Egy másik zavartnak tűnik az a megállapítás, hogy egy modell nem mond semmit a modell természetéről. Nyilvánvaló, hogy bármi, ami számlálásként modellezhető, matematikailag izomorf (egyenértékű) a számlálással. Nem lehet megérteni.