Bonyolult viselkedési struktúrájú dinamikus rendszerek Homoklinika
Együttműködés: S. Gonchenko (Alkalmazott Matematikai és Kibernetikai Intézet, Nyizsnyij Novgorod, Oroszország), L. Lerman (Matematikai Intézet, FU Berlin)
Finanszírozás: DFG kiemelt program "Ergodikus elmélet, elemzés és dinamikus rendszerek hatékony szimulációja"
A kutatómunka leírása:
A homoklinikus bifurkációk vizsgálata egyedülálló eszközt nyújt a nem lokális dinamikus jelenségek megértéséhez. A megkülönböztetett pályák bizonyos (általában véges) halmazának felépítésének ismerete (pl. Periodikus pályák, amelyekre homoklinikus pálya létezik, és homoklinikus hurokkal rendelkező egyensúlyi pontok) lehetővé teszi a komplex dinamikus viselkedés átfogó leírását.
A jelentéstételi időszakban a következő témákra vonatkozóan végeztek vizsgálatokat.
1. Kék-ég kettéágazás. 1995-ben D. Turaev és L. Silnikov a periodikus megoldások újfajta bifurkációját bizonyította ([1]): Az összes sima háromdimenziós folyó halmazában található az 1. kodiméret területe, amely bifurkációs pontokból (kék ég-bifurkáció) áll.
létezik és megvan az a tulajdonsága, hogy ennek a felületnek a megközelítésekor a kiváló periodikus megoldás periódusa és hossza végtelenül nagy lesz. Ezt az eredményt azzal a feltevéssel igazolták, hogy a folyók simaak. Most bebizonyosodott, hogy ehhez elegendő a C 2 simasága ([2]). Ez az eredmény különösen fontos a dinamikus rendszerek nem lokális invariáns elosztóvá (pl. Inerciális elosztóvá) való redukciója szempontjából, mivel ebben a folyamatban a rendszerek elveszítik eredeti simaságukat ([3, 4]).
Az [1] eredményei kibővíthetők annak megmutatásával, hogy az [5] -ben használt geometriai felépítés természetesen előfordul a gyors és lassú változókkal rendelkező dinamikus rendszerek osztályában, ami fontos az alkalmazások számára (a különböző típusú lassú elosztók).
2. Homoklinikus hurkok 2-es kodimensionája. Ismeretes, hogy általános körülmények között egy periodikus megoldás elágazik egy nyeregpont homoklinikus hurokjától. Ezeknek az általános feltételeknek a megsértése 2-es kodimension kétágúságához vezet. Megoldódott az a korábban nyitott probléma, hogy az ismert 2-es kodimension bifurkációs forgatókönyvek teljesek-e. Kimutatható volt, hogy az ismert bifurkációs forgatókönyvek mellett
nem adhat többet ([5]).
3. Saját lokalizációjú megoldások Hamilton rendszerekből. A közönséges differenciálegyenletek rendszereiben az ön lokalizált megoldások homoklinikus hurkokat képviselnek, a homoklinikus hurkok bifurkációi a Hamilton-rendszerekben nagyrészt nincsenek feltárva. Az N-impulzusok Hamilton rendszerekben való létezését illetően kimutatták, hogy a [6] általános feltételeinek megsértése, mint pl. A B. az orbitális flip bifurkációban fordul elő Hamilton-rendszerekben, végtelen számú N impulzus létezéséhez vezet. Ezeknek a megoldásoknak a teljes körű leírása a szimbolikus dinamika nyelvezetével történt, és ebben a kontextusban bemutatták a speciális nem homoklinikus megoldások (pl. Periodikus és heteroklinikus megoldások) szerepét. Kimutatták, hogy a szuperhomoklinikus megoldások (amelyek homoklinikus pályákat képviselnek a homoklinikus pályákhoz képest) megléte jelentősen növeli a dinamika bonyolultságát ([7]).
Egyedül zavart Hamilton rendszerek esetében az exponenciálisan kisebb elválasztó mátrix jelenségét vizsgálták. A kapott eredmények felhasználhatók impulzusoldatok leírására különféle fizikai rendszerekben (például sekély vízhullámokkal) ([8]).
4. Dinamika az új házak területén. A kaotikus rendszerek számítógépes szimulációi mindig megmutatják a homoklinikus kontaktusok előfordulását. H. a nyeregszerű periodikus megoldások invariáns sokaságai érintik egymást. Newhouse kimutatta, hogy a homoklinikus kontaktusú rendszerek sűrűek az összes dinamikus rendszer térének bizonyos területein. A [9] -ben részletesen bemutatjuk, hogy Newhouse-területeken a rendszerek dinamikájának teljes leírása elvileg lehetetlen.
A homoklinikus kontaktusok egyik fő tulajdonsága a topológiailag eltérő viselkedésű periodikus megoldások egyidejű előfordulása. Ez a jelenség a Hamilton-rendszerek Newhouse-i területein is bizonyított ([10, 11, 12]).
Projekt irodalom: