Differenciál egyenletek
A differenciálegyenlet leírja az állapotváltozó változását, például az idő függvényében. Az állapotváltozó változását a levezetés írja le. A differenciálegyenleteknek több formája van. Néhányukat röviden le kell írni. Az alábbi DGL egy példa egy kifejezetten elsőrendű DGL-re. Az explicit azt jelenti, hogy a derivált izolálható és önállóan áll az egyenlet egyik oldalán. Az 1. rend kifejezés azt jelenti, hogy csak az első derivált megy be az egyenletbe.
A következő egyenlet egy másodrendű DGL.
A következő differenciálegyenlet az elsőrendű explicit, lineáris egyenlete. A lineáris azt jelenti, hogy az X (t) állapotváltozó lineáris.
A következő egyenlet már nem lineáris.
A differenciálegyenletek megoldása integrációval történik, ha ez megvalósítható. A megoldási folyamatok gyakran a kezdeti egyenletek kiterjedt átalakítását igénylik. A legtöbb szimulációs programban a DGL-eket numerikus közelítési módszerekkel (Euler-Cauchy vagy Runge-Kutta) oldják meg. Ezek a hozzávetőleges megoldások időnként nagyobb pontatlanságokhoz, vagy akár teljesen téves eredményekhez vezetnek.
A növekedésről akkor beszélhetünk, ha mindenki számára elérhető. A növekedés egyik legegyszerűbb formája az exponenciális növekedés. Itt feltételezzük, hogy a változás arányos a jelenlévő tömeggel (vagy számmal). Például, ha megnézünk egy baktérium populációt, akkor feltételezhetjük, hogy két folyamat határozza meg a növekedést: a baktériumok szaporodnak és elpusztulnak. A növekedés attól függ, hogy korábban hány baktérium volt jelen, csakúgy, mint a csökkenés. Most bevezethetjük a halálozási és születési arányt (osztási arány stb.), És az r növekedési ütemben kombinálhatjuk a két folyamatot.
Ennek az egyenletnek a megoldásához meg kell jegyezni, hogy a természetes logaritmus deriváltját (ln (x)) az adja, és a láncszabályt is alkalmazni kell. Először X (t) -t viszünk az egyenlet bal oldalára.
Az egyenlet bal oldalán ln (X (t) deriváltja található.
(Akinek problémája van a megértéssel, az megkülönböztetéssel újraszámíthatja.)
Mostantól mindkét oldalt integrálhatjuk a t-n keresztül, 0-tól s-ig választjuk az integrációs tartományt.
Delogarithmize az egyenlet bármelyik oldala arra vezet
Ezzel meghatároztuk az exponenciális növekedési egyenlet megoldását. Az X (0) kifejezés az állapotváltozó kezdőértéke. Ha egy népesség növekedését nézzük, akkor ez a népesség kiinduló nagysága. Ha r nagyobb, mint nulla, akkor a népesség exponenciálisan növekszik. Ha viszont r kisebb, mint nulla, akkor exponenciális bomlás következik be; a lakosság kihal.
Az exponenciális növekedéssel szemben a logisztikai növekedés figyelembe veszi azt a tényt, hogy a növekedés nem folytatható a végtelenségig. Inkább egy ponton elérik azt a K kapacitáshatárt, amelyet nem lehet túllépni. Ha a tápoldatban lévő baktériumok szaporodását nézzük, akkor a tápanyagok csak bizonyos számú baktériumhoz elegendőek. Ha ezt a küszöböt elérik, a népesség nem nő tovább. A természetben ezért gyakran megfigyelhető a növekedési görbe S alakú folyása. Az ilyen irányt tükröző differenciálegyenlet a logisztikai növekedési egyenlet:
Az r növekedési paraméter és a K kapacitáshatár kombinálható egy új paraméter létrehozására. Az egyenletnek ezt a formáját is gyakran megtalálják.
Ha figyelembe vesszük a logisztikai növekedési egyenletet, akkor a következő észrevehető: Amíg X (t) még mindig kicsi, elhanyagolhatja a szorzatot, mert csak kisebb (mert:!). Ezért az egyenlet kezdetben úgy viselkedik, mint az exponenciális növekedési egyenlet, és csak később simul el. A logisztikai növekedési egyenlet megoldható. Elvileg úgy jársz, mint korábban. Vigye az X (t) betűvel ellátott összes kifejezést az egyenlet bal oldalára.
Nem lehet azonnal integrálni, mert X (t) fordul elő a nevezőben szereplő termékben. Azt akarja elérni, hogy a terméket feloldják és helyettesítsék egy hasonló kifejezéssel. Ehhez a jól ismert részleges frakció bomlást alkalmazzák. Ezt a következőképpen tesszük:
Vannak A és B konstansok, így:
Most az egyenlet jobb oldalán lévő törtrészeket hozzuk egy közös nevezőbe.
azonosnak kell lennie. A nevezők megegyeznek, ezért be kell állítania a számlálót. Most együttható-összehasonlítást végeznek. Ez nem jelent mást, mint X (t) hatványainak összehasonlítását az egyenlet mindkét oldalán, valamint az A és B paraméterek beállítását úgy, hogy az bármilyen hatékonyságot illeszkedik.
Először az állandókkal kezdjük:
A bal oldalon AK, a jobb oldalon 1. Az egyik egyenlőséget követel: AK = 1 és így. Ez azt jelenti, hogy az A paraméter már be van állítva.
Ezután megy az X (t).
Az egyenlet bal oldalán X (t) előtt áll az A + B változó. A jobb oldalon nincs kifejezés X (t) -vel; így az érték 0. Ennek eredményeként: - A + B = 0 és A = B Ezzel meghatározta az A és B két kifejezést, és beillesztheti őket a (*) egyenletbe. Az eredmény a következő kifejezés:
Most integrálhatja:
Ez az egyenlet tovább alakítható az értékelés megkönnyítése érdekében. A megszüntetett kifejezés először a számlálóban és a nevezőben jelenik meg. (A jegyzet így is írható:)
Továbbra is bosszantó, hogy a tört a számlálóban és a nevezőben is előfordul.
Az s növekedésével közelít a nullához. A rendszer a K kapacitáshatár felé halad. .
Eddig csak egyetlen elszigetelt mennyiséget vettek figyelembe. A valóságban a folyamatok nem történhetnek elszigetelten, hanem más változók befolyásolják őket. A fogalom számos meghatározást tartalmaz rendszer. Lényegében egy rendszer tartalmazza az elemeket és azok viselkedését, valamint az egymással való kölcsönhatásokat. Különbséget tesznek a következők között:
Rendszertípusok
- izolált
Azt mondják, hogy egy rendszer akkor elszigetelt, ha nincs bemenete és kimenete. Ez azt jelenti, hogy nem cserél energiát vagy anyagot a környezettel. Az izolált rendszereket idealizálják a közgazdaságtanban, a fizikában és a kémia területén (termodinamika). - elkészült
A rendszer csak energiát cserél, nem anyagot, a környezettel. - nyisd ki
A rendszer anyagot (és energiát) cserél a környezettel. Az élőlényeket nyílt rendszernek tekinthetjük. A nyitott rendszerek összefüggésében még mindig vannak különbségek - alkalmazkodó
A rendszert nem rombolja le az anyag (és az energia) cseréje. - helyhez kötött
A rendszer tulajdonságai és így állapota nem függ az időtől. Ezzel szemben van még a tulajdonság: - dinamikus.
A rendszer mérete idővel változik.
Interakciók, pozitív és negatív visszacsatolás
Ha két (vagy több) mennyiség befolyásolja egymást, akkor kölcsönhatás lép fel. A kapcsolat hatása előnyös vagy káros lehet az egyes felek számára, és így pozitív vagy negatív is lehet.
A következőkben a hegyi mezei nyulak és hiúzok egy-egy populációját vesszük figyelembe. A következő követelményeket is feltételezzük:
- A hegyi mezei nyulak élelemkészlete korlátlan.
- Ezért, ha a hegyi mezei nyulat nem ette meg a hiúz, akkor b sebességgel nőnek. A növekedés arányos a mezei nyulak sűrűségével (vagy számával). A rendszer a következőkre vonatkozik:
Hegyi mezei nyúl hiúz nélkül:
A modell Lotkától (1910; 1925) származik, és a mezei nyúl és a hiúz közötti kapcsolat leírására használták egy kanadai területen. (Egy szőrmeipari céget nagyon érdekelt ez a téma, és adatokat szolgáltatott.) Ezek az egyenletek nem kifejezetten megoldhatók. Számszerű közelítéssel (Runge-Kutta vagy hasonló) ábrázolhatók. Vagy általában megvizsgálhatja a rendszer viselkedését a b, m, r paraméterektől és a populációk kiindulási értékeitől függően. A következő szakasz az alapvető eljárást ismerteti.
A rendszer egyensúlyi pontjai azok a differenciálegyenletek nullái, amelyekkel a rendszert leírták. Ez azt jelenti, hogy ezek azok a helyek, ahol nincs több látható változás. Minden változás továbbra is fut, de törlik egymást. Ha csak egyetlen népességet néznénk, akkor a dinamikus egyensúly az lenne, ahol a születések és a halálok teljesen kiegyensúlyozzák egymást. Bár az egyének még mindig haldoklanak és születnek, a teljes népesség szintjén nem észlelhető változás. Az ilyen típusú egyensúlyokat dinamikus egyensúlynak nevezzük. Első példaként nézzük meg a logisztikai növekedést
így vannak az egyensúlyi pontok is: és. Vagy másképp fogalmazva: ha nincs népesség, akkor nyilvánvalóan az sem nőhet. Ugyanez vonatkozik a kapacitáskorlátra is.
A ragadozó-zsákmányos rendszerre a következőknek kell vonatkozniuk a fenti szakaszból:
és ez egyúttal.
Kezdjük a hiúz első egyenletével.
Tehát vagy F (t) = 0, vagy (- m + rH (t)) = 0. A második kifejezés a szinonimája. Most azt is meg kell jegyeznünk, hogy a nyúlpopuláció második egyenletének is nullának kell lennie.
Egyenként vesszük az első egyenlet egyensúlyi pontjait, és illesszük be őket a másodikba. Az első pont a követelményhez vezet:
A második pont a következőket vezeti:
A globális stabilitás vizsgálata gyakran nehézkes. A lokális könnyebben megvizsgálható. Ehhez egy kis kitérést kell bevezetni.
A DGL egydimenziós esetével kezdjük.
A mérlegpontok mindegyike az. Keressük az f nulláit. Most azt szeretnénk tudni, hogy mikor helyileg stabil, azaz milyen körülmények között tér vissza X (t) enyhe lehajlás után. Ehhez egy Taylor-sorozat kiterjesztését hajtják végre az egyensúlyi pont körül. A Taylor-sorozat bizonyos mértékig numerikus közelítés is. Feltételezzük, hogy az egyensúlyi pont közelében lévő rendszert (vagy inkább a DGL-et) az f-től X-ig terjedő származékokkal lehet leírni.
Az egyik most elhanyagolja az összes magasabb rendű kifejezést, és lineáris közelítést végez. Elvileg nem állítunk mást, csak azt, hogy az f meredeksége az egyensúlyi ponton és az elhajlás mértéke közelíthető (ha f (x) -t ábrázoltunk X-szel szemben, akkor bizonyos értelemben egyeneset húzunk az egyensúlyi ponton átmenő lejtővel). Ez csak addig működik, amíg közel állsz hozzá, különben a másodfokú és a köbös kifejezések híznak, és már nem hanyagolhatod el őket. Ezért csak ezzel lehet megvizsgálni a helyi stabilitást. Tehát figyelembe vesszük:
és tudni akarjuk, hogy visszatérünk-e az egyensúlyi ponthoz. Először azért állítottunk be, mert ez világosabbá teszi az egyenleteket. Van Z '(t) = X' (t) és így
Így van egy lineáris első rendű egyenletünk és integrálódhatunk (lásd az exponenciális növekedésről szóló részt).
Ha exponenciális növekedés van, a rendszer nem tér vissza, és az egyensúlyi pont instabil. Ha exponenciális bomlás van, a rendszer a kezdeti zavar után visszatér az egyensúlyi ponthoz. A lényeg stabil. Érvényes, elsőre nem lehet többet mondani.
Az eljárást lineáris stabilitási vizsgálatnak is nevezik.
Az egydimenziós esethez hasonló valami elvégezhető a magasabb dimenziós esetben is. Ha két összekapcsolt állapotváltozója van (pl. Hiúzok () és mezei nyulak ()), akkor először meg kell határoznia a és a nullákat. Ez azt jelenti, hogy mindenkit keres, és. Kombinálhatja a két egyenletet, és felírhatja őket vektoregyenletként.
A nullák meghatározása után a Taylor sorozat bővítése ismét elvégezhető. Tehát ismét meghatározzuk az f első deriváltját X vonatkozásában. Különbség van az egydimenziós esethez képest: Az f függvény két funkcióból áll, és ezek a függvények pedig két mennyiségtől függenek. A teljes derivált (Df (X) jelöléssel) meghatározásához a függvényeket egymás után kell levezetni és a következő sorrendbe kell helyezni.
A Df (X) kifejezést ezért f (X) derivált mátrixának is nevezzük. Az egyenlet formálisan átírható a fentiek szerint:
Ez az egyenlet újra integrálható, de ehhez szélesebb körű bevezetésre van szükség. Pontosabban: A megoldás olyan, mint az egydimenziós esetben:
A nehézkessé váló kifejezés problémákat okoz. A rendszert most általában átalakítják, hogy megkönnyítsék a számítást. Ez a mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak felhasználásával történik. A téma bevezetése ekkor túl időigényes lenne, ezért itt csak az eredményeket adják meg. A következő:
Ha: és érvényes, akkor az egyensúlyi pont stabil, és a rendszer fut felé. Ez akár monoton, akár rezgésekkel történhet.
Vonatkozik:
és akkor az egyensúlyi pont stabil, és a rendszer kering. A kör amplitúdója vagy az oszcilláció az X (t) kezdeti körülményeitől függ.
Az eljárás szemléltetésére a ragadozó-zsákmány rendszer példaként látható.
Először is az egyik F (t) -ből származik. A H (t) -t állandóként kezeljük.
Ekkor H (t) származik (ebben az esetben az F (t) -t állandóként kezeljük).
Végül mindkettőt továbbra is végrehajtják.
Ez megadja nekünk a rendszermátrixot:
A két egyensúlyi pont egymás után illeszkedik a kifejezésbe.
1) .
Ez azt jelenti, hogy és. Mivel m és b egyaránt nagyobb, mint nulla, a nulla pont nem stabil.
2)
Hát van és. M-vel, b-vel; SPMgt; 0 azt tartja, hogy a második egyensúlyi pont stabil. A rendszer azonban nem éri el, hanem kering a pályákon, amelyek sugara a kezdeti feltételektől függ.
és: az egyensúlyi pont aszimptotikusan stabil.
és: egyensúlyi pont kerül körbe.
: Az egyensúlyi pont instabil