Ellipszoid módszerek - matematikai lexikon
Matematikai lexikon: Ellipszoid módszerek
Az ellipszoid módszerek a lineáris (és konvex) optimalizálási problémák megoldására szolgáló módszerek. Az alapgondolat a következő: Először is, az optimalizálási problémát döntési problémaként fogalmazzuk meg, hogy egy \ 'polPed \ =P \ \ end vég nem üres-e. Ez a lineáris optimalizálás kettősségi tételének alkalmazásával történik.
Egy elsődleges probléma \ begin ^ \ cdot v \ to \ min \, \, \, E \ cdot v \ ge f, \, \, v \ ge 0 \ end és a kapcsolódó kettős probléma \ begin ^ \ cdot y \ to \ max \, \, \, ^ \ cdot y \ le c, \, \, y \ ge 0 \ end of the system \ begin-E \ cdot v \ le -f, -v \ le 0, \\ ^ \ cdot y \ le c, -y \ le 0, \\ ^ \ cdot v - ^ \ cdot y \ le 0 \ end együttvéve. Ezzel megkapjuk a rendszert, amely meghatározza a P x ≤ b értéket (ahol x: = (v, y), valamint A és b megfelelő definíciója).
A probléma megvalósíthatóságának megadásának az egyenértékűsége az eredeti optimalizálási feladattal abból következik, hogy a c T * x - b T * y kettősségi rés csak szélső pontokban tűnik el, de egyébként pozitív.
A tényleges eljárás egy speciális ellipszoid E0 = (z0, B0) felépítésével kezdődik. Az E (z, B) részhalmazokat des-nek nevezzük ℝ n egy (speciális) ellipszoid, amelynek középpontja z ∈ ℝ n, ha \ begin \ >> ^ | ^ \ cdot formában van A ^ \ cdot (x-z) \ le 1 \> \ end írható. Itt B egy pozitívan meghatározott (n, n) mátrix. Az első E0 ellipszoidot úgy választjuk meg, hogy P ≠ ∅ esetén P oldási pontot tartalmazzon (lásd alább).
Az új ellipszoid építése
A folyamat addig folytatódik, amíg meg nem találja a z ∈ P középpontot, vagy garantálni tudja, hogy P = ∅. Ez utóbbi az Ei ellipszoidok térfogatának és a P ∩ E0 minimális térfogatának becslésével történik.
Az ellipszoid módszer nagy történelmi jelentőséggel bír, mert ez volt az első polinomiális idő módszer a lineáris programozáshoz a Turing-modellben. Ennek során olyan problémákat vizsgálunk, amelyek csak racionális bemeneti adatokból állnak. Korlátozás nélkül feltételezhetjük, hogy a kezdeti rendszer csak egész adatokból áll (amelyek akkor érhetők el, ha a rendszert megszorozzuk az összes racionális adat közös fő nevezőjével).
Most az A ⋅ x ≤ b helyett vegyük figyelembe a szigorú egyenlőtlenségek rendszerét \ beginA \ cdot x \ lt b + ^ \ cdot e, \ end ahol e = (1, ..., 1) T és L a kezdeti probléma bitméretét jelöli. Az új rendszert pontosan meg lehet oldani, ha az a régi volt. Ez a kapcsolat a két rendszer között lényegében a bemeneti adatok egész jellegén és bizonyos megoldások bittméretének lehetséges (felfelé) becslésén alapul, a Cramer-szabály használatával. Egyrészt a kimeneti adatokból megfelelő E0 kezdő ellipszoid (P ≠ ≠ ⇒ E0 ∩ P ≠ ∅) található; másrészt megadhat egy alsó határt az E0 metszéspontjának V térfogatának a \ (\ mathop
\ határértékei ^ \) A ⋅ x - L · e. Az eljárást most a \ (\ mathop
\ limit ^ \), és addig ismétli, amíg \ begin \ text (_) \ le ^ \ cdot \ text (_) \ lt V \ end (ami a λ m × n miatt megadja az aritmetikai műveletek számát Az ismert ellipszoid módszerek felfelé korlátozottak, ezért az ellipszoid módszerek nem polinomok az algebrai számítási modellekben (Traub és Wozniakowski (1982) eredménye).