Gravitációs számítás, képletek, gravitációs példák, gravitációs gyorsulás, gravitációs gyorsulás,
A gravitációnak vagy gravitációnak nevezett jelenség okait és megjelenését ezen a ponton nem tárgyaljuk tovább. Ez egyszerűen a gravitációs erő kiszámításának kérdése, amely egy hatalmas testre hat, amely egy gömb alakú égitest felszínén vagy felett helyezkedik el. Az alábbi szempontok nem vonatkoznak azokra a testekre, amelyek mélyen a felszín alatt helyezkednek el (például egy nagyon mély aknában), mivel a kőzet fölötte és alatt lévő gravitációs erői ellentétes irányban hatnak. (Valóságos mélységű földi aknák esetében azonban jó közelítésként használható a felszínen lévő gravitáció miatti gyorsulás.)
2. Alapok
Két m_1 és m_2 tömegű test vonzza egymást az F_G erővel a gravitáció miatt, feltéve, hogy további erő (pl. Elektrosztatikus erő) nem hat közöttük. Ez kiszámítható az m_1 és m_2 tömegekből, a súlypontjuk és az univerzális G gravitációs állandó közötti x távolságból:
F_G = m_1 * m_2 * G/x ^ 2 (1)
G = 6,670 * 10 ^ -11 N * m ^ 2/kg ^ 2 (vagy m ^ 3/kg/s ^ 2)
A K test esetében, amely a HK égitest felszínén van, x egyenlő az égitest r_HK sugarával:
F_G = m_K * m_HK * G/r_HK ^ 2 (1a)
Ha a testet (pl. Egy kavics) megfosztják támasztól (leesik), akkor a gravitáció gyorsulással ("gravitációs gyorsulás") gyorsítja a_G:
a_G = m_K * m_HK * G/r_HK ^ 2/m_K
a_G = m_HK * G/r_HK ^ 2 (2),
ahol r_HK-t x = r_HK + h_K-val kell helyettesíteni, ha a szóban forgó test h_K magasságban van az égitest felülete felett.
A (2) egyenlet szerint az a_G nem függ az m_K test tömegétől. Valamennyi test tehát azonos sebességgel (gyorsítva) esik, feltéve, hogy a különböző légellenállás nem fékezi őket különböző mértékben.
3. Példák: föld és hold
3.1 A gravitáció gyorsulása (a gravitáció miatti gyorsulás) a felszínen
A földre vonatkozik:
m_Er = (5,997 + - 0,004) * 10 ^ 24 kg
r_Er = (6,3713 + - 0,0004) * 10 ^ 6 m
(Átlagos érték)
Ettől a felületén a gravitációs gyorsulás ("gravitációs gyorsulás") növelhető
a_G, Er = g = m_Er * G/r_Er ^ 2 = 9,82 m/s ^ 2
Valójában a mért gravitációs gyorsulás a föld forgása miatt eltér. A centrifugális erő miatt a föld kissé ellaposodik a pólusokon, így az r_Er itt valamivel kisebb, az egyenlítőnél pedig valamivel nagyobb. Ezenkívül a pólusoktól indulva az Egyenlítő felé növekvő centrifugális erő ellensúlyozza a gravitációs húzást.
a_G, Er, Pole = (9,851 + - 0,010) m/s ^ 2
a_G, Er, közepes = (9,807 + - 0,009) m/s ^ 2
a_G, Er, Egyenlítő = (9,750 + - 0,010) m/s ^ 2
A Holdra a következő értékek vonatkoznak:
m_Mo = (7,354 + - 0,066) * 10 ^ 22 kg
r_Mo = (1,738 + - 0,001) * 10 ^ 6 m
a_G, Mo, közepes = (1,620 + - 0,015) m/s ^ 2
(Átlagos érték)
3.2 Gravitációs gyorsulás nagy magasságban és műholdaknál: A pálya sebességének kiszámítása a pályán
A műholdak és az űrállomások általában "csak" néhány 100 km-es magasságban keringenek a Föld körül. Mekkora az a_G gravitációs gyorsulás pl. H_K = 250 km magasságban?
A föld középpontjától való távolság 250 km vagy 250 000 m-rel több, mint a föld felszínén:
x = r_Er + h_K = 6 371 300 m + 250 000 m = 6 621 300 m
a_G = m_Er * G/x ^ 2 = 9,10 m/s ^ 2
250 km tengerszint feletti magasságban a gravitáció miatti gyorsulás még mindig csaknem a 93% -a a gravitáció miatti gyorsulásnak a föld felszínén. Tehát korántsem az a helyzet, hogy már nincs "gravitáció" fent ". Valójában téves az az elképzelés, miszerint egy test valamikor elhagyná a föld gravitációs terét, vagy kimozdulna a föld gravitációs mezőjéből, mert a gravitációs mező a távolság növekedésével gyengül, de elvileg végtelenül messzire nyúlik.
Akkor miért nem esik le egyszerűen egy műhold?
A műholdak olyan pályán vannak, ahol a centrifugális erő és a gravitáció egyensúlyban vannak, így a műhold nem dobódik az űrbe és nem esik le. A legegyszerűbb esetben a műholdas pálya kör alakú, és az F_Z centrifugális erő kiszámítható az r_Ba pálya sugárából, az m_Sat műhold tömegéből és a v_Sat műhold sebességéből:
F_Z = m_Sat * v_Sat ^ 2/r_Ba (4),
míg a műholdra ható F_G gravitációs erő az (1) és (1a) pontokból következik:
F_G = m_Sat * m_Er * G/r_Ba ^ 2
F_Z = F_G-ből
(Erőmérleg!) Következik:
m_Sat * v_Sat ^ 2/r_Ba = m_Sat * m_Er * G/r_Ba ^ 2
Rövidítve azt kapja:
v_Sat ^ 2 = m_Er * G/r_Ba
v_Sat = gyökér (m_Er * G/rBa)
r_Ba = r_Er + h_Ba
vagyis a v_Sat esetében 250 km magasságban következik:
v_Sat = gyökér (m_Er * G/(6 371 300 + 250 000) m)
v_Sat = 7761 m/s = 7,761 km/s
3.3 A műhold pályára juttatásához szükséges energia
A 250 km magasságú, megközelítőleg kör alakú pályán lévő műhold egyetlen másodperc alatt körülbelül 8 km-rel halad tovább, jelentős sebességgel. Ahhoz, hogy egy műhold ilyen körpályára kerüljön, 250 km-rel felfelé kell mozgatni a gravitációs erővel szemben, és ugyanakkor fel kell gyorsulnia a pálya sebességére. 1 tonnás műhold esetében ez azt jelenti, hogy a következő mennyiségű energiát kell táplálni hozzá:
Növekszik 250 km-rel:
kb. 2,4 * 10 ^ 9 J = 650 kWh
Gyorsuljon fel 7,76 km/s sebességre:
kb. 3,0 * 10 ^ 10 J = 8370 kWh
Összességében:
kb. 3,2 * 10 ^ 10 J = 9020 kWh
Összehasonlításképpen: 9000 kWh az az elektromos energiamennyiség, amelyet két négytagú család átlagosan egy év alatt fogyaszt, vagy az az energiamennyiség, amely felszabadul, ha körülbelül 1 tonna benzint, dízelt vagy fűtőolajat égetnek el.
Valójában sokkal több energiát kell felhasználni. Nem csak felszerelheti a műholdat villanymotorral és tápkábellel, majd útjára küldi, hanem egy rakétával kell "lőnie". Ez azt jelenti: A rakétát és az üzemanyagot is fel kell emelni és fel kell gyorsítani mindaddig, amíg a rakéta alkatrészét (rakéta fokozat) vagy a kérdéses üzemanyag alkatrészt le nem dobják vagy el nem használják. Ez rendkívül megnöveli az energiafelhasználást, és ez az oka annak, hogy a műholdas indításhoz 1 t üzemanyag helyett néhány 100 t hajtóanyagra és oxigénre van szükség (1 t a petróleumra vonatkozik, nem pedig a hidrogénre) (plusz csaknem 2 t oxigén az égéshez). akarat.
3.4 Elliptikus pályák és menekülési sebesség
A legtöbb műholdas pálya nem éppen kör alakú, de a műholdakat kissé nagyobb sebességre gyorsították, mint amire a körpályához szükség lett volna. Ennek eredményeként eltávolodnak a földtől (a centrifugális erő dominál), így a magasság növekedéséhez szükséges energia a mozgási energiájuk rovására megy, ezáltal kissé lassabbá válnak, és a centrifugális erő csökken. Ennek eredményeként egy bizonyos ponton a gravitáció visszanyeri az elsőbbséget, és a műhold ismét elveszíti a magasságot, újból felgyorsul az eredeti sebességére, és a játék elölről kezdődik. Ily módon egy elliptikus pálya jön létre. A menekülési sebesség az a határsebesség, amelytől a föld (vagy más égitest) már nem képes olyan mértékben fékezni a műholdat, hogy a gravitáció ismét meghaladja a centrifugális erőt. A szóban forgó műhold akkor már nem műhold lenne, hanem valódi űrhajó, amely elhagyja a bolygót, például egy másik égitest felé veszi az irányt.
A menekülési sebesség kiszámításához a következő megközelítést alkalmazzuk: Az űrszonda RF kinetikus energiájának E_kin, RF, amelyet az m_RF tömeg és a v_RF, fl menekülési sebesség ad meg, meg kell egyeznie az űrhajó potenciális energiáinak Dif_E_pot, RF különbségével a végtelen távolság és az aktuális hely között:
1/2 * m_RF * v_RF ^ 2 = integrál [r.unendl.] (M_RF * m_HK * G/r_HK ^ 2 * dr_HK)
Az integrál megoldása után következik:
1/2 * m_RF * v_RF ^ 2 = m_RF * m_HK * G/r_HK
v_RF = gyökér (2 * m_HK) * G/r_HK
Nem számít, hogy az űrhajó merőlegesen mozog-e az égitesttől menekülési sebességgel vagy spirális úton. Ha az űrhajó hajtás nélkül tovább repül, akkor az égitesttől való távolság növekedésével a sebessége csökken, amennyiben sebessége mindig megegyezik az aktuális távolságra érvényes menekülési sebességgel.
A föld számára a menekülési sebesség a felszínen (pusztán elméletileg, mert ott egy testet lelassít a légsúrlódás) 11189 m/s, 300 km magasságban 10934 m/s. A gyakorlatban azonban egy űrszonda kissé nagyobb sebességre gyorsul, hogy elég gyorsan elmozduljon a földtől a célpont felé.
3.5 Hold-műholdak és holdraszállás
A hold lényegesen alacsonyabb gravitációja miatt a holdi műholdak jóval alacsonyabb pályasebességgel jutnak ki, mint a földi műholdak. Az Apollo anyahajók például körülbelül 15 km magasságban körbejárták a holdat. Körkörös pályát feltételezve ez 1673 m/s sebességet eredményez. Egy ilyen pályára való eljutás sokkal kevesebb energiát igényel, mint a föld körüli pálya, így a viszonylag kicsi reset modul segítségével vissza lehetett térni az anyahajóra. De még itt is a felszállási tömeg majdnem felét az üzemanyag tette ki.
Ha van kedve, maga számíthatja ki a Mars megfelelő adatait az m_Ma = (6,418 + - 0,024) * 10 ^ 23 kg és r_Ma = (3,38 + - 0,02) * 10 ^ 6 m alapján.
3.6 Semleges pont a föld és a hold között
A "semleges pont" a föld és a hold között az a pont, amely a földtől a holdig egyenesen halad, ahol a hold és a föld gravitációs ereje csak kiegyensúlyozza egymást, így egy test, amely egyrészt nem lenne, se nem a másik égitesthez vonzaná. Ennek a pontnak a kiszámítása az o.A-val történik. Az egyenletek (majdnem) szellő.
Mivel a hold egyfajta műhold is (bár meglehetősen nagy), a föld körüli pályán is mozog, mégpedig egy kissé elliptikus alakban. Mivel a holdpálya nem pontos körút, a hold és a föld közötti távolság bizonyos tartományban ingadozik, mégpedig körülbelül 363 000 és 406 000 km között. A további számításhoz 384 403 km átlagos távolságot választunk.
És most a számítás: A föld és a hold közötti "semleges ponton" mindkét égitest gravitációja miatt a gyorsulás megegyezik:
A (2) egyenlettel, ha x_Er, NP és x_Mo, NP a föld vagy a hold és a "semleges pont" távolsága:
m_Er * G/x_Er, NP ^ 2 = m_Mo * G/x_Mo, NP ^ 2
Az egyenlet rövidítése és transzformálása:
x_Er, NP ^ 2/x_Mo, NP ^ 2 = m_Er/m_Mo
x_Er, NP/x_Mo, NP = gyökér (m_Er/m_Mo)
Az m_Er és m_Mo értékekkel megkapja:
x_Er, NP/x_Mo, NP = 9.017
A "semleges pont" jó 9-szer távolabb van a földtől, mint a Holdtól.
Az egész km-ben történő kifejezéséhez feltételezzük, hogy a hold-föld átlagos távolsága 384 403 km:
x_Er, NP = 384 403 km * 9.017/(9.017 + 1) = 346.028 km
x_Mo, NP = 384 403 km * 1 000/(9 017 + 1) = 38 375 km
x_Er, NP + x_Mo, NP = 384 403 km
4. A gravitációs gyorsulás kiszámítása a felületi gravitációból
Az égitest HK tömege nem ismert. de a gravitációs gyorsulása az a_G, HK, Oberfl felszínen, akkor az a_G (h) gravitációs gyorsulás h magasságban a következőképpen számítható:
a_G (h) = a_G, HK, Oberfl * r_HK ^ 2/(r_HK + h) ^ 2)
5. Források (számok és adatok)
Weast: Handbook of Chemistry and Physics, 64. kiadás, CRC Press, 1983-84