Két kör helyzetkapcsolatai a matematika hallgatói szótár tanulási segítőiben
Két körnek nem lehet közös pontja, pontosan egy pontban érintse meg, vagy pontosan két pontban metszik egymást.
A lehetséges metszetszerkezeteket analitikusan úgy kapjuk meg, hogy megvizsgáljuk a megfelelő kör alakú egyenleteket a közös megoldásokhoz.
Az ún Díszítés, amelyben az összes lehetséges helyzetviszony bekövetkezik, két kör lehetséges helyzetviszonyait kell megvitatni.
A k 1 és k 4 köröknek nincs közös pontja. Ezenkívül különleges helyzetben vannak egymás iránt - ugyanaz a központjuk. Ebben a helyzetben két kört koncentrikusnak is nevezünk .
A k 2 és k 3 köröknek pontosan egy közös pontja van. Ezt a közös pontot nevezik a k 2 és k 3 körök érintkezési pontjának is. Ebben az esetben az O eredet az érintkezési pont.
Általában két k és k 'kör B érintkezési pontja mindig a A két központot összekötő egyenes vonalak M és M 'a két körből, mert ha nem lenne ott, akkor egy B' ≠ B második pontot kapnánk, ha B-t tükröznénk M M '¯ -nél, amely szintén mindkét körön fekszik. Ez ellentmondana a B kapcsolattartó pont egyediségének.
A k 1 és k 2 körök pontosan két pontban metszenek (n metszéspontok).
Mivel egy háromszög kerülete egyértelműen meghatározott, két különböző körben nem lehet több, mint két közös pont. Ez a következő általános állítást is eredményezi.
- Mondat: Ha két k és k 'kör keresztezi a két A és B pontot, akkor az A és B egyenes egyenes merőleges a két M 1 és M 2 kör középpontot összekötő egyenesre .
Bizonyíték:
A fenti szempontok szerint az A pont nem feküdhet a két középpontot összekötő egyenesen. Ha az egyik most tükrözi az M 1 M 2 ¯ pont A pontját, akkor az A képpont nyilvánvalóan a k és a k körön is fekszik, tehát A '= B-t kell alkalmazni.
Most két kör helyzeti viszonyát akarjuk analitikusan határozza meg. Ugyanez vonatkozik a körökre, mint az egyenesekre és síkokra:
A geometriai objektumok metszeteit úgy kapjuk meg, hogy közös megoldásokat keresünk a megfelelő objektumokat leíró egyenletekre.
Az ehhez szükséges számítások a kerület számára sem különösebben bonyolultak. Ha azonban általában ismeretlen együtthatókkal dolgoznánk, az áttekintés nagyon gyorsan elveszne. Ezért elegendőnek kell lennie egy tipikus példának, amelyben minden szükséges lépést megtárgyalnak.
- Példa: A cél megvizsgálni, hogy az M 1 (0; 3) középponttal és az r 1 = 1 L E sugárral, valamint az M 2 középpontú (3; 0) és az r 2 = 7 L E sugarú kör hogyan fekszik egymással.
A lehetséges közös pontok koordinátáinak (x S; y S) meg kell felelniük mindkét kör egyenleteinek, ezért alkalmazniuk kell:
(I) x S 2 + (y S - 3) 2 = 1 (I I) (x S - 3) 2 + y S 2 = 7
Most először oldjuk meg a zárójeleket:
(I ') x S 2 + y S 2 - 6 y S + 9 = 1 (I I') x S 2 - 6 x S + 9 + y S 2 = 7
Ha kivonja a második egyenletet az elsőből, akkor minden négyzet tag kihagyásra kerül:
6 x S - 6 y S = - 6 b z w. y S = x S + 1 (∗)
Tesszük ezt az egyenletet (I) -be, kiszámoljuk a zárójeleket és végül megkapjuk:
x S 2 - 2 x S + 3 2 = 0 (∗ ∗)
Ezen a ponton azonban a két vizsgált kör általános helyzetviszonya is ebben a példában dől el. Megfontolásaink egy kvadratikus egyenlethez vezettek x S-ben, amelynek nem lehet pontosan, egy vagy két különböző megoldása.
Ennek megfelelően az (I) és (II) egyenlet által leírt körökben nincs pontosan egy, vagy éppen két közös pont. A megoldási halmaz - beleértve a két kör helyzetbeli viszonyát is - a D diszkriminánstól függ, amelyre ebben az esetben D = 1 - 3 2 0 vonatkozik. A (∗ ∗) egyenletnek tehát nincs valós megoldása, következésképpen az általunk tekintett két körnek nincs közös pontja.
Ha megoldások születtek volna, a közös pontok y-koordinátáit könnyen meghatározhatnánk a (∗) egyenlettel.
Mivel a másodfokú egyenletnek nem lehet kettőnél több megoldása, két különböző körben kettőnél több pont nem lehet közös. Ez ismét megerősíti a fentiekben kifejtett (kép-geometriai) szempontjainkat.
Megjegyzés: Ha a köröket vektoregyenletek írják le, akkor az eljárás analóg lehet, vagy a megfelelő koordinátaegyenletet a vektoregyenletből alakítják ki.