Megállapodás a középiskolai érettségi bizonyítvány (9. Osztály) oktatási színvonaláról (a
A matematikai oktatási standardok állandó konferenciájának állásfoglalásai a középiskolai bizonyítványhoz (9. évfolyam) (szerkesztési változtatásokatól függően) Oldalmegállapodás a középiskolai bizonyítvány oktatási normáiról (9. évfolyam) (az oktatási miniszterek konferenciájának 2004. október 15-i állásfoglalása) 3 matematikai oktatási szabvány a középiskolai bizonyítványhoz (9. évfolyam) ) (Az oktatási és kulturális miniszterek konferenciájának 2004. október 15-i állásfoglalása) 5
A Németországi Szövetségi Köztársaság oktatási és kulturális minisztereinek állandó konferenciájának titkársága IV. Hivatkozás A Postfach 22 40 53012 Bonn 2
Matematikai képzettségi szint a középiskolai érettségihez (9. évfolyam) Tartalomjegyzék Page 1 A matematika hozzájárulása az oktatáshoz 5 2 Matematika általános matematikai kompetenciái 7 3 Matematika tartalmi kompetenciáinak szabványai 9 3.1 Központi matematikai ötletek 9 3.2 Matematikai tartalommal kapcsolatos kompetenciák központi elképzelések szerint rendezve 9 4 Mintagyakorlatok 13 4.1 Az általános matematikai készségek követelményterületei 13 4.2 Kommentált mintagyakorlatok 16 4
Példák felhozása példázza a színvonal elérését azáltal, hogy bemutatja a matematikai munka sajátos minőségét, amelyet el kell érni a normák teljesítése érdekében. Ezért alkalmazkodásra és kreatív beszélgetésre is szánják őket a tanárok és a szakkollégiumok számára. 6.
2 Általános matematikai kompetenciák a matematika tantárgyból A középiskolai érettségi bizonyítvány 9. osztály után történő megszerzésével a tanulóknak a következő általános matematikai kompetenciákkal kell rendelkezniük, amelyek a matematikai munka minden szintjén relevánsak. Ezeket a kompetenciákat mindig egy csoportban sajátítják el vagy alkalmazzák. Feladatok megoldása matematikai érvelés matematikai modellezés kommunikáció matematikai tartalommal foglalkozó matematikai szimbolikus, formális és technikai elemekkel foglalkozó matematikai ábrázolások felhasználásával A következőkben a fent említett matematikai kompetenciákat konkrét megfogalmazással magyarázzuk. Ezeket a 4.1. Szakasz tovább differenciálja. (K 1) Matematikai érvelés Ez magában foglalja: a matematikára jellemző kérdések feltevése (van?, Hogyan változik? Ez mindig így van?), Ésszerű feltételezések kifejezése, matematikai érvek kidolgozása (például magyarázatok, okok, bizonyítékok) ), Írja le és indokolja a lehetséges megoldásokat. (K 2) Problémák matematikai megoldása Ez magában foglalja: adott és saját maga által megfogalmazott problémákon való munkát, 7
Megoldásvázlat az általános matematikai kompetenciák, azok követelményterületeinek és a központi ötletek feltüntetésével Megoldások és útmutatások Központi ötletkövetelmény terület I II III a) Térfogat: 17,5 m³ L 2 K 3 b) A 35 cm x 35 cm-es lapméret a lehető legnagyobb teraszt biztosítja 7,00 mx 4, 90 m. A 40 cm x 40 cm deszkaméret a költséghatékonyabb változat, kissé kisebb területtel (6,80 mx 4,80 m), ami körülbelül 110 megtakarítást jelent a másik deszka méretének megválasztásához képest. L 2 K 2 (2) Óriás hordó Feladat Mennyi folyadék fér bele durván ebbe a hordóba? Indokolja válaszát. A feladat és célkitűzéseinek leírása A tanulóknak ki kell szűrniük a matematikailag releváns szempontokat, például: Melyik geometriai test felel meg ennek a hordóalaknak? Milyen széles vagy milyen magas ez a hordó? A megoldás szempontjából döntő tényező a valósághoz közel álló megfelelő összehasonlító méretek és testmodellek megtalálása. Nincs egyirányú megoldás, de többféle módon lehet indokolt válaszokat kapni, amelyeknek tükröződniük kell az órán. 17-én
A feladat elvégzése során a tanulóknak be kell mutatniuk, hogy a mérés fő gondolatának (L 2) keretében mennyire elsajátították a matematikai modellezés általános matematikai kompetenciáját (K 3). A zsebszámológép jóváhagyott segédeszköz. Megoldásvázlat az általános matematikai kompetenciák, azok követelményterületeinek és az irányadó ötletek feltüntetésével Megoldások és utasítások Vezetési ötlet követelményterület I II III. B. Henger Határozza meg a henger átmérőjének és magasságának hozzávetőleges értékét úgy, hogy összehasonlít egy személyt a hordóval, és kiszámítja a térfogatot. Feltételezzük, hogy (átmérő kb. 3 m és magasság kb. 3 m) körülbelül 21 000 liter folyadék illeszkedik a hordóba. Írja le és magyarázza meg a megoldást L 2 K 3 (3) Eladó akció Feladat Minden berendezés 20% -kal csökkentve! 150,00 kedvezményes ár? Minden további 30% -kal csökken! Maximilian tanítványnak meg kell írnia az árcédulákat. Úgy gondolja: Zivatar, először 20% -kal, majd ismét 30% -kal csökkent. Most a rendszer csak a felébe kerül! Mit gondolsz? Indokolja nyilatkozatát. 18
a) Sarah 1,70 m magas, súlya 60 kg. Melyik tartományban van a testtömeg-indexe? Diétán gondolkodik. Apád nem szereti a diétát. Milyen tanácsot adna Sarah-nak? b) Sarah tájékoztatja magát az internetről. a testtömeg-indexet (BMI) a testtömeg (kg) és a testmagasság (m) négyzetének hányadosaként határozzuk meg. Sarah apja 1,78 m magas és 103 kg. Most szeretné kiszámítani az apa BMI-értékét. Különböző számítási módszereket választanak: Apai számítás: 2 103 103 BMI = Sarah számítása: BMI = 2 1,78 (1,78) 20 Ki számolja ki helyesen a testtömeg-indexet? Indokolja. c) Az apa ismét normális súlyra törekszik. Hány kilogrammot kell leadnia legalább? A feladat és céljának ismertetése A feladat elvégzéséhez egy rövid, szakaszos szöveget kell elemezni, leíró, táblázatos és grafikus elemekkel. A feladat az osztály helyzetének érzékeny mérlegelését igényli. Lehetőséget kínál a tudományágak közötti együttműködésre. A feladat elvégzése során a tanulóknak be kell mutatniuk, hogy matematikailag mennyire érvelnek különösen az általános matematikai készségekről (K 1), és matematikai reprezentációkat kell használniuk (K 4).
a funkcionális kontextus fő gondolatának részeként (L 4). A zsebszámológép jóváhagyott segédeszköz. Megoldásvázlat az általános matematikai kompetenciák, azok követelményterületeinek és az irányadó ötletek feltüntetésével Megoldások és utasítások Vezetési ötlet követelményterület I II III a) A terület felolvasása (20–25) A döntés indoklása a diagram értelmezésével L 4 K 4 b) A BMI-értékek kiszámítása és megfelelő kerekítés (apa: 3348,4; Sarah: 32,5) A döntés oka a táblázat vagy az ábra segítségével L 4 K 1 c) A tömeg kiszámítása (kb. 79 kg) A különbség kiszámítása (kb. 24 kg) alternatív megoldásként: határozd meg a súlyt az ábrával (78–80 kg), számold ki a különbséget (25–23 kg) L 4 K 4 (5) szerencsekerekek Feladat Az Erzsébet középiskola iskolai fesztivált szervez mind az 517 tanuló számára. A kilencedik évfolyam szerencsejátékokat kínál. a) A 9a osztály szerencsekerékkel rendelkezik, ahol minden fekete mezőnyben díjat nyernek. Anne egyszer megpörgeti a szerencsekereket. Mennyi a valószínűsége annak, hogy díjat nyer? 21.
b) A 9.b osztály ballonozással sorsolja ki a fődíjat. Részt vehet a sorsoláson, ha a két szerencsekereket egyszer megfordítja, és mindkettő 1-n marad. Mennyi a valószínűsége ennek? 6 5 1 4 2 3 1 4 2 3 A feladat és céljának leírása A feladat elvégzése során a tanulóknak be kell mutatniuk, hogy az adatok és a véletlen fő gondolatának keretein belül milyen mértékben oldják meg a problémákat matematikailag, különös tekintettel az általános matematikai kompetenciára (K 2) ( L 5) megszerezték. Megoldásvázlat az általános matematikai kompetenciák, azok követelményterületeinek és főbb elképzeléseinek megjelölésével a) b) Valószínűség: 3 1 1 Valószínűség: 24 Megoldások és tippek Fő ötletkövetelmény terület I II III L 5 K 2 L 5 K 2 22
(6) Kerttervezési feladat A kertkertésznek át kell terveznie egy területet e méretarány szerint. Ültetési terület 14 m szegélyezett kövezett terület a) Mekkora az ültetési terület? b) Meddig van a határ (szaggatott vonal)? A feladat és a célkitűzések leírása A feladat elvégzése során a tanulóknak be kell mutatniuk, hogy a mérés fő gondolatának részeként milyen mértékben sajátították el az általános matematikai kompetenciát a matematikai modellezésben (K 3). A feladat a következőkkel bővíthető: Mekkora a burkolat területe? A zsebszámológép jóváhagyott segédeszköz. Megoldásvázlat az általános matematikai kompetenciák, azok követelményterületeinek és a központi elképzelések feltüntetésével Megoldások és utasítások Központi ötletkövetelmény terület I II III a) Vegye ki az adatokat a tervből Üzem területe: kb. 96 m² L 2 K 3 b) A határ hossza: kb. 90 m L 2 K 3 23
(7) Kockafeladat a) Egy nyitott dobozt behajtunk. Melyik terület áll szemben a nyílással? A B C D E b) Melyik az adott kocka helyes hálója? A B C D c) A 3 cm élhosszúságú kocka öt oldala vörösre van festve, a hatodik felület festetlen marad. Ezután ezt a kockát pontosan 27 kockára osztjuk, 1 cm élhosszal. Határozza meg az eredő részkockák számát, amelyeknek pontosan egy (kettő, három, négy) területe van pirosra festve? A feladat és céljának ismertetése A feladat önálló részfeladatokból áll. Rájuk fektetve a tanulóknak be kell bizonyítaniuk, hogy az általános matematikai készségeket mennyire sajátították el, különös tekintettel a matematikai problémák megoldására (K 2) és a matematikai ábrázolások (K 4) használatára a tér és forma központi gondolatának keretein belül (L 3). A jóváhagyott eszközök kocka modellek. Megoldásvázlat az általános matematikai kompetenciák, azok követelményterületeinek és a központi elképzelések feltüntetésével Igényterület Megoldások és utasítások Központi ötlet I II III a) Terület A L 3 K 4 b) Hálózat C L 3 K 4 24
2 (x + 6) = x 30 2x + 12 = x 30 2x + 12 = xx + 12 = 0 x = 12 + 30 x 12 A feladat és céljának leírása A feladat elvégzése során a tanulóknak bizonyítaniuk kell, hogy milyen mértékben különösen a matematika szimbolikus, formális és technikai elemeivel (K 5) foglalkozó általános matematikai kompetenciára tettek szert a funkcionális kapcsolatok központi gondolatának keretein belül (L4) Megoldásvázlat az általános matematikai kompetenciák, azok követelményterületeinek és az irányadó ötletek feltüntetésével Megoldások és megjegyzések Irányító ötlet követelményterület I II III Az egyenlet mindkét oldalán nem adták meg a 30-as számot. L 4 K 5 (10) Mobiltelefon tarifa Feladat Katja mobiltelefont vásárol. Különböző tarifákat kínálnak Önnek: AIKON 3410 normál tarifa N: speciális tarifa S: havi alapár 10,95, percenkénti költségek 0,15, számlázás a másodikra havi alapár 0, percenkénti költségek 0,39, számlázás a másodikra a) Mennyire drága az S speciális tarifa szerinti hívás ami két perc és 30 másodpercig tart? b) Az alábbi grafikonok közül melyik mutatja az N normál sebességet? Kérjük, indokolja döntését. 26-án
A feladat és céljának leírása A feladat elvégzése során a tanulóknak be kell mutatniuk, hogy az általános matematikai készségeket milyen mértékben sajátították el, matematikai érveléssel (K 1) és matematikai modellezéssel (K 3) a mérés fő gondolatának részeként (L 2). A zsebszámológép jóváhagyott segédeszköz. Megoldásvázlat az általános matematikai kompetenciák, azok követelményterületeinek és az irányadó ötletek részleteinek Megoldások és utasítások Vezetési ötlet követelményterület I II III a) Eredmény: 9000 cm 3 vagy 9 l L 2 K 3 b) Nagy mennyiség vagy technikai feltételek szimulálása a kukoricapehely töltésekor L 2 K 1 c) Eredmény: 420 cm 2 L 2 K 3 30
A feladat és céljának ismertetése A feladat elvégzése során a hallgatóknak be kell mutatniuk, hogy a tér és a forma központi gondolata (L 3) keretében mennyire elsajátították az általános matematikai kompetenciát a matematikai modellezésben (K 3). Megoldásvázlat az általános matematikai kompetenciák részleteivel, azok követelményterületeivel és az irányadó ötletekkel Megoldások és megjegyzések Vezető ötletkövetelmény terület I II III a) A háromszög egyenlő és hegyesszögű. L 3 K 3 b) Például: D (7; -1) Két másik megoldás lehetséges. L 3 K 3 32