Termékszabály MatheGuru
A termékszabály (más néven Leibnitz-szabály) gyakran az első összetettebb szabály, amelyet megtanítanak levezetéskor. Két vagy több termékből álló funkciókra vonatkozik.
Például, ha le akarod vezetni az f (x) függvényt, amely az u (x) és a v (x) függvényekből áll, akkor először származtatnád u (x) -et, szoroznád ezt a kifejezést v (x) -vel, majd v (x) és ezt szorozd u (x) -vel. A két újonnan létrehozott termék összeadódik:
Levezetés és bizonyítás
Magyarázat
- Az f (x) függvény a két u (x) és v (x) függvény szorzata.
- A származékot differenciális hányadosként írjuk át
- A kifejezést hozzáadjuk a határértékhez, és azonnal újból kivonjuk. Ez nem változtatja meg a kifejezés értékét, de ez a lépés szükséges a bizonyítás elvégzéséhez.
- Faktoring
- A tisztántartás érdekében egy határértéket két határértékre írtak át a határértékkészletek felhasználásával.
- Ismét a határértékkészletek segítségével az előtényezőket önálló határértékként írjuk fel.
- A határértékek most vannak meghatározva. Az így kapott kifejezés megfelel a termék szabályának.
3 vagy több termékkel
Ha olyan kifejezést kell integrálnia, amely három vagy több termékből áll, akkor a termékszabályt is a következőképpen kell alkalmazni.
Mint látható, a szabály minden tényezőre érvényes. Ez tetszőleges számú termékre vonatkozik. A termékként levezetendő 4 függvény esetében az egyes függvények levezetését meg kell szorozni a fennmaradó, változatlan függvényekkel. Ezt minden egyes funkció esetében meg kell tenni. A kapott termékeket ezután hozzáadjuk.
A tetszőleges számú termékre (k) vonatkozó általános szabály így néz ki a matematikai jelölésben: