Trópusi interpoláció; EWSTranslate
Frank Sottile
2004. október 9, Station College, Texas.
Mindenki tudja, hogy két pont határozza meg az egyeneset, és sokan, akik tanulmányozták a geometriát, tudják, hogy a sík öt pontja határozza meg a kúpot. Általánosságban elmondható, hogy ha m véletlen pontja van a síkban, és egy racionális d fokú görbét akar átadni az egészen, akkor lehet, hogy nincs megoldás erre az interpolációs problémára (ha m túl nagy), vagy végtelen számú megoldás ha m túl kicsi) vagy véges számú megoldás (ha m igazságos). Úgy tűnik, hogy az "m just right" azt jelenti, hogy m = 3 d -1 (m = 2 vonalaknál és m = 5 kúpnál).
Nehezebb kérdés, hogy ha m = 3 d -1, hány racionális d fokú görbe interpolálja a pontokat? Nevezzük ezt a számot N d-nek, így N 1 = 1 és N 2 = 1, mert az előző bekezdés egyenese és kúpja egyedi. Régóta ismert, hogy N 3 = 12, és 1873-ban Zeuthen [Ze] kimutatta, hogy N 4 = 620. Itt voltak a problémák körülbelül tíz évvel ezelőttig, amikor Kontsevich és Manin [KM] asszociativitást alkalmazott a kvantum kohomológiában, hogy elegendő ismétlődést biztosítson ennek a számnak.
Az MSRI 2004. téli téli szemeszterének kutatási témái a valódi algebrai geometria topológiai aspektusairól szóltak: valódi alumbrikus geometriai geometria, trópusi geometria, valós síkgörbék és a valós algebrai geometria alkalmazásai. Mindezek összefonódnak ennek az interpolációs problémának a kibontakozó történetében, a geometria felsorolásának prototípusproblémájában, amely az adott előfordulási feltételek által meghatározott geometriai ábrák számlálásának művészete. Itt van egy másik probléma: hány vonal térben tér össze négy megadott sorral? Ennek megválaszolásához vegye figyelembe, hogy három vonal fekszik egy kétfejű hiperboloidon.
A három sor egyetlen döntésben van, a második döntés pedig azokból a sorokból áll, amelyek tiszteletben tartják a három megadott sort. Mivel a hiperboloidot másodfokú egyenlet határozza meg, a negyedik vonal két ponton fog találkozni. E két pont mindegyikén található egy vonal a második ítéletben, és ez a két vonal felel meg a négy megadott egyenesnek.
A geometriai felsorolás komplex számokon működik a legjobban, mert a valós számok száma meglehetősen finoman függ az előfordulási feltételeket adó számjegyek konfigurációjától. Például a negyedik vonal két valós pontban vagy két összetett konjugációs pontban találkozhat a hiperboloiddal, így két valós vonal van, vagy nincsenek találkozások, amelyek mind a négynek megfelelnek. A sok példa alapján arra számítottunk, hogy bármely felsorolási problémának megvan a valódi megoldása [So].
Egy másik probléma az a 12 racionális görbe, amelyek a sík 8 pontját interpolálják. A legtöbb matematikus ismeri az alábbi bal oldalon látható csomó (racionális) kockát. Van egy másik típusú valós racionális kocka, a jobb oldalon látható.
A második görbében a konjugátumok két összetett szegmense találkozik az izolált ponton. Ha elhagyjuk N (t) a t típusú valódi görbék számát, amelyek 8 pontot interpolálnak, akkor Kharlamov és Degtyarev [DK] megmutatta, hogy N (
) = 8. Itt található az elemi topológiai módszereik leírása.
Mivel legfeljebb 12 ilyen görbe van, N () + N () \ leq 12, tehát 8, 10 vagy 12 valós racionális köbmező van, amely a síkban 8 valós pontot interpolál, a görbék számától (0, 1 vagy 2) függően. kockák elszigetelt ponttal. Így 12 valódi racionális kocka interpolálja a lenti két kocka 9 kereszteződésének bármelyikét.
Welschinger [W], aki tavaly télen MSRI utóddoktor volt, ezt a példát elméletté fejlesztette. Általában a racionális C-sík görbe szingularitása elszigetelt csomópont vagy pont. A csomópontok számának paritása az s (C) jele, amely 1 vagy -1. 3 d-1 valós pontot kapott a tervben, Welschinger figyelembe vette a mennyiség abszolút értékét
a d fok összes valós racionális C görbéjének összege, amelyek interpolálják a pontokat. Rámutatott, hogy ez a súlyozott összeg nem függ a pontok megválasztásától. Írja W d-t erre a Welschinger-invariánsra. Például csak azt láttuk, hogy W 3 = 8.
Ez azért volt progresszió, mert W d (majdnem) az első valóban nem triviális invariáns a valós algebrai felsorolási geometriában. Vegye figyelembe, hogy W d a valós racionális görbék számának alsó határa 3 d -1 valós ponttal a síkban és W d \ leq N d .
Mikhalkin, aki a félév szervezője volt, feltette, hogy a Wd számítási kulcs trópusi algebrai geometriát használva [Mi]. Ez a trópusi félpótkocsi geometriája, ahol a valós számokkal végzett maximális és + műveletek helyettesítik a + és a szorzás szokásos műveleteit. A trópusi polinom a T (x, y) = max (i, j) alakú lineáris függvény < x i + y j + c i, j >,ha a számítás a szokásos számtani műveletekkel történik, és a maximumot egy véges részhalmaznak vesszük Z A T és c i, j kitevők közül 2 valós szám, a T együttható. A T trópusi polinom egy trópusi görbét határoz meg, amely azon pontok halmaza (x, y), ahol T (x, y) nem differenciált. Íme néhány trópusi görbe.
A trópusi görbe mértéke a végtelenbe hajló sugarak száma nyugat, déli vagy északkeleti három irány bármelyikében. A trópusi görbe racionális, ha lineáris merülés a fa darabjaiba. A csomópontok vegyértéke 4.
Mikhalkin megmutatta, hogy csak számos d-fokú trópusi racionális görbe létezik, amelyek interpolálják a 3 d-1 általános pontokat. Míg ezeknek a görbéknek a száma a pontok megválasztásától függ, Mikhalkin minden egyes trópusi görbéhez csatolta a pozitív multiplicitásokat, így a súlyozott összeg nem és valójában megegyezik Nd-vel. Ezeket a sokszorozódásokat és a trópusi görbék felsorolását a d oldalirányú hosszúságú háromszögben a rácsutak kombinatorikájára is csökkentette. .
Mikhalkin levelezést használt a térképi naplóval: ( C *) 2 -> R 2 (x, y) szerint definiálva -> (log | x |, log | y |) és a komplex szerkezet egy bizonyos része a ( C *) 2. Ezen nagy komplex határ alatt d fokú racionális görbék interpolálnak 3 d -1 pontot ( C *) 2 deformálódik „komplex trópusi görbéknél”, amelyek Log alatti képei a szokásos trópusi görbék, amelyek interpolálják a pontok képeit. A T trópusi görbe sokasága a T vetítő komplex trópusi görbék száma .
Mi van a valódi görbékkel? Ezt a levelezést követően Mikhalkin valódi sokaságot csatolt az egyes trópusi görbékhez, és megmutatta, hogy ha egy bizonyos számú 3 d -1 pontot interpoláló trópusi görbéknek az összes valós N multiplicitása van, akkor vannak 3 d -1 valós pontok, amelyeket N valós fokú görbe d. Ez a valódi sokaság megint rácsutak formájában fejeződik ki.
Mi a helyzet Welschinger inverterével? Hasonlóképpen, Mikhalkin jelzett súlyt adott minden trópusi görbéhez (a Welschinger-jel trópusi változata), és megmutatta, hogy a megfelelő súlyozott összeg megegyezik a Welschinger-féle változatlansággal. Az előbbiekhez hasonlóan ez az aláírt trópusi súly rácsutakban is kifejezhető.
Az MSRI-n tartott félév során Itenberg, Kharlamov és Shustin [IKS] Mikhalkin eredményeivel becsülték meg Welschinger változhatatlanságát. Megmutatták, hogy W d \ geq d!/3, és hasonlóképpen W d = log N d + O (d), log N d = 3 d log d + O (d). Így legalább logaritmikusan a legtöbb racionális d fokú görbe interpolálja a 3 d -1 valós pont a tervben valós.
Ennek az alsó határérték-jelenségnek két másik esete van, amelyek közül az első megelőzi Welschinger munkáját. Tegyük fel, hogy d egyenlő, és legyen W (s) valódi k (d - k +1) fokú polinom. Ezután Eremenko és Gabrielov [EG] kimutatták, hogy léteznek valódi f 1 (s),…, f k (s) polinomok, amelyek d fokosak és amelyek Wronski-meghatározója W (s). Valójában a polinomok k-pluszainak számának alsó határának bizonyultak, ekvivalenciaig. Hasonlóképpen, míg az MSRI-nél Soprunova és I [SS] ritka, poszthoz kapcsolódó polinomrendszereket vizsgáltak, megmutatva, hogy a valós megoldások száma korlátozott a poszta egyensúlyhiány jele alatt. A felsorolási problémák ilyen alacsony határértékei, amelyek valódi megoldások létezésével járnak, fontosak az alkalmazások számára.
Például ezt a történetet egy sör mellett mesélték el egy este az MSRI műhelyében a geometriai modellezésről és a valós algebrai geometriáról 2004 áprilisában. Az egyik résztvevő, Schicho rájött, hogy a kockákra vonatkozó W 3 = 8 eredmény megmagyarázta, hogy miért volt módszer a ami munkára készteti. Ez egy olyan algoritmus volt, amely egy görbe ívének hozzávetőleges paraméterezését számította ki, valódi köbös racionális interpolációval az ív 8 pontján. Maradt olyan feltételek keresése, amelyek garantálnák az ívhez közeli megoldás létét. Ezt csak Fiedler-Le Touzé, az MSRI posztdoktora oldotta meg, aki kockákat (nem feltétlenül racionális) tanulmányozva 8 pontot interpolált, hogy segítsen a bolygó valódi görbéinek 9 fokos osztályozásában.
Bibliográfia
Ezúton szeretnénk köszönetet mondani szerkesztőnknek, Silvio Levynek és az MSRI tagjainak, akiknek tevékenységét leírtuk.
A Nemzeti Tudományos Alapítvány támogatásával CAREER DMS-0134860 és DMS-9810361 (MSRI támogatás) és az Agyag Matematikai Intézet támogatása.