Csillapított harmonikus oszcillációk - fizika
Az előző szakaszokban a csillapítatlan harmonikus rezgéseket néztük meg. A csillapítás nélküli rezgésnél nem jelentkeznek súrlódási erők (pl. Légellenállás). Az oszcilláció tehát folytatódhat anélkül, hogy a súrlódás miatt lelassulna.
Csillapított rezgések
Csillapítás nélküli rezgések csak akkor lehetségesek, ha nincsenek súrlódási erők. A valódi rezgéseket viszont a bekövetkező súrlódás lelassítja, és egy bizonyos ponton leáll (hacsak nem szolgáltatnak rendszeresen energiát). Ilyen rezgéseket hívnak csillapított rezgések kijelölt.
Értesítés
Az energia súrlódás útján kerül a környezetbe. Egy ilyen rendszer saját maga elé hagyása végső soron leálláshoz vezet.
Rugós inga esetén a rezgési energia nagy része hőenergiává alakul, amikor a rugó deformálódik. De itt szerepet játszhat a légellenállás is (az ingán függő súly méretétől függően).
A mozgás egyenlete
A súrlódás miatti csillapítás az úgynevezett $ \ delta $ csillapítási állandóval írható le. Ez azt jelzi, hogy a rezgés mennyire csillapodik.
Csillapított rezgés esetén a $ A $ amplitúdó az idő múlásával már nem állandó, hanem a súrlódás miatt változik. Ha van súrlódási erő, amely a $ v $ sebességtől függ (pl. Légellenállás), akkor a $ A (t) $ amplitúdó exponenciálisan csökken a kezdeti értékhez képest:
módszer
$ A (t) = A \ cdot e ^ $ Amplitúdó függvény
A fenti grafikonon harmonikus csillapított lengés látható. A rezgés a $ A $ amplitúdónál kezdődik. A $ A $ amplitúdó exponenciálisan csökken az $ A (t) = A \ cdot e ^ $ amplitúdó függvénnyel a súrlódás miatt.
A mozgásegyenleteket (lásd: Harmonikus oszcillációk: Mozgásegyenlet) a $ A $ amplitúdó változásának megfelelően kell átalakítani:
módszer
$ s (t) = A \ cdot e ^ \ cdot \ sin (\ omega_d \ cdot t) $ Hajlás (idő és hely törvénye)
A mozgás kezdete nem nyugalmi helyzetben:
$ s (t) = A \ cdot e ^ \ cdot \ sin (\ omega_d \ cdot t + \ varphi_0) $
A mozgás kezdete a megfordulási pontnál (fáziseltolás $ \ varphi_0 = \ frac $):
$ s (t) = A \ cdot e ^ \ cdot \ cos (\ omega_d \ cdot t) $
$ s (t) = A \ cdot e ^ \ cdot \ sin (\ omega_d \ cdot t + \ frac) $
A $ s (t) $ függvény levezetésekor természetesen az amplitúdófüggvényt is le kell vezetni. Az elhajlás egyszeri deriváltja a $ v (t) $ sebességet, a kétszeres derivált pedig a $ a (t) $ gyorsulást eredményezi.
Az alábbiak az egyes ingák $ \ omega_d $ csillapított természetes frekvenciájára vonatkoznak:
módszer
Ez mindhárom ingánál azt jelenti:
módszer
Tavaszi inga: $ \ omega_d = \ sqrt - \ delta ^ 2> $
Menetes inga (matematikai inga): $ \ omega_d = \ sqrt - \ delta ^ 2> $
Fizikai inga: $ \ omega_d = \ sqrt< \frac - \delta^2> $
Ennek megfelelően a $ T $ rezgés időtartamát és a $ f $ oszcillációs frekvenciát is módosítani kell:
módszer
Fő hatás: Két szomszédos amplitúdó $ q $ arányát a következő adja:
módszer
A logaritmikus csökkentés A $ \ Lambda $ eredményei:
módszer
$ \ Lambda = \ ln (q) = \ delta \ cdot T_d $ Logaritmikus csökkentés
Az alábbi ábra a mozgás és az amplitúdó függvények egyenletét mutatja a mozgás különböző kezdőpontjaira:
Teljes energia
Csillapított rezgésekkel az összes energia idővel csökken. Tehát a terméknek kell lennie
módszer
a teljes energiában figyelembe kell venni.
A menet-inga a következő:
Alkalmazási példa: csillapított rezgés
példa
A csillapított oszcilláció a maximális amplitúdóval kezdődik, és 15 másodperc után csak a kezdeti amplitúdójának 2% -a van. Mekkora az oszcilláció bomlási együtthatója?
Itt használhatjuk az amplitúdó függvényt:
$ T = 15s $ után csak a kezdeti $ A $ amplitúdó 2% -át adják meg:
Ezt követően megoldhatjuk ezt az egyenletet a $ \ delta $ számára:
$ ln (0.02) = - \ delta \ cdot 15s $
A bomlási együttható 0,261 s ^ $.
Alkalmazási példa: logaritmikus csökkentés
példa
Meg kell határozni egy matematikai inga (= menet-inga) logaritmikus decrementjét. A maximális amplitúdó 1,5 perc után $ \ frac $ -ra csökkent. Az inga hossza $ l = 1,8 m $. Számítsa ki a $ \ triangle \ omega $ közötti különbséget is a csillapított és csillapítatlan inga természetes frekvenciái között.
A $ \ Lambda $ logaritmikus csökkentését a következőképpen határozzuk meg:
$ \ Lambda = \ ln (q) = \ delta \ cdot T_d $
A $ A amplitúdó (t = 1,5 perc) $ a kezdeti amplitúdó $ \ frac $:
Most először meghatározhatjuk a $ \ delta $ bomlási együtthatót az amplitúdó függvényből:
$ ln (\ frac) = - \ delta \ cdot 90s $
Ezután meg kell határoznunk a $ T_d $ oszcillációs periódust:
Ez egy szál inga, amelynek természetes frekvenciája $ \ omega_d = \ sqrt - \ delta ^ 2> $:
Az értékek beszúrása:
A logaritmikus csökkentés az alábbiak szerint alakul:
$ \ Lambda = 0,02 s ^ \ cdot 2,692 s = 0,054 $
A következő lépés a csillapítatlan és csillapított rezgés természetes frekvenciái közötti különbségek meghatározása:
$ \ triangle \ omega = \ omega - \ omega_d $
$ \ triangle \ omega = 0.0000857 = 8.57 \ cdot 10 ^ $
Alkalmazási példa: amplitúdó
példa
A csillapított oszcilláció második amplitúdója 1,5 mm-rel kisebb, mint a 25 mm-es első amplitúdó. Mekkora a 8. amplitúdó?
Két szomszédos amplitúdó aránya az alábbiak szerint határozható meg:
A gyakorlatban megadtuk az első amplitúdót $ A_1 = 25mm $ -val, a második amplitúdót pedig $ A_2 = 25mm - 1,5mm = 23,5mm $ -val. Ezután megtalálhatjuk a $ q $ arányt:
Most meg akarjuk határozni a 8. amplitúdó méretét. Ehhez úgy alakíthatjuk a képletet, hogy:
Egyéb érdekes tartalom a témában
A funkciók ábrázolása az átviteli blokkban
Lehet, hogy az online tanfolyamunkon szereplő átviteli blokkban szereplő funkciók (vezérlő struktúrák bemutató változatai) bemutatása szintén az Ön számára szól Irányítástechnika Érdekes.
Kényszerített rezgések
Lehet, hogy az online tanfolyamunk kényszerű rezgései (rezgések) témája is az Ön számára fizika Érdekes.
Rezgések
Talán az online tanfolyamunk rezgései is az Ön számára szólnak fizika Érdekes.