2 Lineáris egyenletrendszer - PDF ingyenes letöltés
Magasabb deriváltak Interpolációs feltételek d k Φ dx k (x j) = y (k) j, (j =. N; k =. C j) határozzuk meg a Hermite interpolációs polinomot + Π r r + = n (+ c j) -vel. j = 2 lineáris egyenletrendszer 2. Gauss-algoritmus 2. megjegyzés (Feladat) megadva: A R n n, b R n, n =. 7 összesen: Az Ax = b formálisan x = A b lineáris egyenletrendszer x megoldása, számszerűen alkalmatlan (számítási erőfeszítés az A értékelésére) Az x R n oldhatóság egyedülállóan határozható meg, ha A szabályos n = 2, n = 3 megoldás Cramer-szabály használatával 2.2. Megjegyzés (lineáris hálózati modellek) Bonyolult rendszerek modellezése (technológia, környezet) Alapvető építőelemek, bemeneti/kimeneti kapcsolatokkal és megőrzési mennyiségekkel összekapcsolva Példa az elektromos áramkörökre, a chip tervezésére Alapvető építőelem: Ellenállás Ohm törvénye U i = R i I i, (i =, 2. 6) 8
. Kirchhoff-szabály Minden csomópontban: A bejövő áramok összege megegyezik a kiáramló áramok összegével 2. Kirchhoff-szabály minden hálóban: A feszültségesések összege megegyezik a forrásfeszültségek összegével Eredmény Lineáris egyenletrendszer 2 3 4 [, 4, 3] [2, 3, 4] RR 4 R 6 [, 2, 4] R 2 R 5 R 6 [, 2, 3] R 3 R 4 R 5 RR 2 R 3 II 2 I 3 I 4 I 5 I 6 = UU Az egyik törli a redundáns egyenleteket 4 = 2 3 és [, 2, 3] = [, 4, 3] + [2, 3, 4] + [, 2, 4], majd Ax = b AR 6 6-tal, x = (I, I 2. I 6) R 6, b = (. U,) R 6. Jegyezze fel a nem nulla elemek arányát A kissé ritkán lakott mátrixokban. Az a ij nem nulla elemek helyzete A-ban az áramkör úgynevezett topológiájából adódik. Megjegyzés (lépcsőzetes egyenletrendszerek) Különleges eset Rx = z szabályos felső háromszög mátrixszal R = (r ij) R nn, azaz azaz r ii, r ij =, (i =. n; j =. i). r x + r 2 x 2 +. + r n x n = z r 22 x 2 +. + r 2n x n = z 2 Rx = z. =. r nn x n = z n 9
Példa x 7x 2 + x 3 = 7 2,5x 2 + 5 x 3 = 2,5 6,2 x 3 = 6,2 x 3 = 6,2 6,2 =, x 2 = 2,5 5 2,5 =, x = 7 + 7 () = x = (,). Visszafelé történő helyettesítés általában xn = znr nn, xi = zinj = i + r ij xjr ii, (i = n, n 2.) Az i = n: s algoritmusa: = zi a j = (i +) esetében: ns: = sr ij xjxi: = s/r ii Matlab-kód x = nulla (méret (z)); x (n) = z (n)/r (n, n); mert i = n -: -:, x (i) = (z (i) - r (i, i +: n) x (i +: n))/r (i, i); vége; analóg az Lx = z-vel, szabályos alsó háromszög mátrix L = (l ij) R n n, d. azaz l ii, l ij =, (i =. n; j = i +. n) előre szubsztitúció. 2.4. Megjegyzés (Gauss-algoritmus) Az Ax = b egyenletrendszer elképzelése egyenértékű, lépcsőzetes egyenletrendszerbe egy egyenletnek egy nulla számmal való szorzásával, az egyenlet többszörösének hozzáadásával egy másik egyenlethez és/vagy az egyenletek felcserélésével. 2
Példa x 7x 2 = 7 3x + 2x 2 + 6x 3 = 4 5x x 2 + 5x 3 = 6 k lépés: Adjuk hozzá a k egyenlet többszöröseit a k + egyenletekhez. n, így a nem nulla elemek a főátló alatt található k oszlopban eliminálódnak, angolul: Gauss elimináció k = x 7x 2 = 7 II = + 3.x 2 + 6x 3 = 6. III = 5 2,5x 2 + 5x 3 = 2,5 k = 2 x 7x 2 = 7x 2 + 6x 3 = 6. III = +25 II + III: 55x 3 = 55 hátsó helyettesítés x = (,). A probléma fő átlós eleme a (k) kk = a k-dik eliminációs lépésben Megoldás A k-dik egyenlet felcserélése a k + egyenletek egyikével. n olyan, hogy az a (k) kk forgóelem (mindig lehetséges, ha A szabályos). Stratégia Határozza meg a p-t a k-ik eliminációs lépésben < k, k +. n >oly módon, hogy a (k) pk = max < a(k): l = k, k +. n >és a k-edik és p-edik egyenlet felcserélése (oszlopok) Az elforgatás szintén előnyös a kerekítési hibák hatásának csökkentésében. példa k = 2, swap egyenletek II III x 7x 2 = 7 ĨI = III: 2,5x 2 + 5x 3 = 2,5 ĨII = II: .x 2 + 6x 3 = 6. x 7x 2 = 7 2.5x 2 + 5x 3 = 2.5 ĨII = + 25 ĨI + ĨII: 6.2x 3 = 6.2 2
K = algoritmus: n p: = k; s: = a kk i = k + esetén: n, ha a ik> s, akkor p: = i; s: = a ik a j = k esetében: n s: = a kj; a kj: = a pj; a pj: = s s: = b k; b k: = b p; b p: = s az i = k + esetén: n l ik: = a ik/a kk; b i: = b i l ik b k j = k + esetén: n a ij: = a ij l ik a kj 2. megjegyzés (LU bomlás) k-ik A eliminációs lépés (k) A (k +) k n k + A (k) = -val. L (k) =. A (k +) = mátrix jelölésben (elfordulás nélkül) k l k +, k. l n, k n k +, A (k +) = l k +, k. l n, k. nknk A (k) = (IL (k)) A (k), A (): = A, A (n) =: U (felső háromszög mátrix), (IL (n)) (IL ()) A = U 22.
2.6. Megjegyzés (Szimmetrikus együttható mátrixok, Cholesky-bontás) Fontos speciális eset: Ax = b A = A-val, különösen szimmetrikus, pozitívan meghatározott együttható A-mátrixok, azaz. H. A = A x Ax>, (x R n \ <>). Gauss-algoritmus forgás nélkül A = L U Legyen D: = diag u ii D U egy felső háromszög alakú mátrix, amelynek fő átlós elemei =. i n A = (L D D U) = (D U) DL Az LU bomlásának egyediségéből (!) következik D U = L, azaz A = LDL. Számítás n3 6 + O (n2) aritmetikai műveletekkel lehetséges. Pivotizálás: sorok és oszlopok egyidejű cseréje a szimmetria fenntartása érdekében. Egy szimmetrikus, pozitív határozott mutatja, hogy a Gauss-algoritmus mindig elfordítható anélkül, hogy elfordulna. Mert . i n A A = ˆLˆL koleszkális lebontása ˆL-vel: = L D/2, D/2 = diag i di a a 2 a n a 2 a 22 a 2n. a n a n2 a nn = ˆl ˆl2. ˆL22. ˆLn ˆln2 ˆlnn ˆl ˆl2 ˆln ˆl22 ˆln2. NnLnn algoritmus k = esetén: n (k)/2 általános esetben, de vegye figyelembe, hogy csak ˆL mentésre kerül, nem ˆL. Számítási erőfeszítés n3 6 + O (n2) aritmetikai műveletek, n négyzetgyök 24
2.2 Lineáris kiegyenlítés számítása Megjegyzés 2.7 (a legkisebb négyzetek módszere) megadva: össz.: AR mn, m> n, rang (A) = n, b R m megoldása x Ax Rn = b legkisebb négyzetek módszere (Gauss) Da i . Általában nincs klasszikus x R n megoldás, amelynek Ax = b értéke van. Az általánosított x R n megoldást úgy kell keresni, hogy Ax b 2 perc. () Itt v 2: = (m)/2 vv = vi 2 az euklideszi megoldást jelöli A v = (vi) mi = R m vektor normája, lásd a 3.2. Szakaszt. Tulajdonság: Y = (yi) R n, z = (zi) R mn, () y 2 2 = zi = n yi 2 + i = mni = A legkisebb négyzetek problémája () ekvivalens z 2 i = y 2 2 + z 2 2. Ax b 2 2 = m (n) 2 a ij xjbi min. I = j = a minimumhoz szükséges feltétel! = xk Ax b 2 2 = 2 m (na ij xjbi) a ik, (k =. n), i = j = m (n) a ik a ij xj = i = j = ma ik bi, (k =. n), i = Gauss-féle normálegyenletek A Ax = A b és a rang (A) = n AA szimmetrikus és pozitív az AA = (AA) R nn véges miatt: ξ R n \ <> ξ (AA) ξ = (ξ A) (Aξ) = (Aξ) (Aξ) = Aξ 2 2>, mert Aξ ξ és rang (A) = n miatt. A normál egyenletek megoldása Cholesky-bontással 25
Probléma A Gauss-egyenletek használatakor a numerikus megoldás gyakran nagyon érzékeny a kerekítési hibákra. Alternatív ortogonalizációs módszer, lásd a 2. megjegyzést. 2.8. Példa (lineáris regresszió) megadva: összesen: mérési adatok (xi, yi), (i =. M), mérési hibákkal egyenes y = ax + b, amely a lehető legjobb mérési értékeket hozzávetőlegesen: yia + bx i, (i =. m) megközelítés m (a + bx iyi) 2 perc i = mátrix jelölés A () a = y és y = (y b. ym) R m, A = xx 2 . xm Rm 2, n = 2 normálegyenlet AA mmj = xjmj = mx 2 jj = () a = A ybxj () a = bmyjj = mxjya, b R jj = Megjegyzés 2.9 (Ortogonális transzformációk) Ötlet Ortogonális transzformációkat találhatunk lineáris egyenletrendszerek és transzformálja a lineáris kiegyenlítési feladatokat egyszerűbb alakú egyenértékű feladatokká. 26-án
n = 2 forgás, reflexiók itt rotációs mátrixok (cos θ sin θ Q = sin θ cos θ) Irodalom a reflexiós mátrixokról: Stoer, Deuflhard/Hohmann általában Givens forgatásokat ad, itt a háztartási reflexiók adnak rotációkat. G kl = c s. S c. l k R m m l k, ahol c = cos θ, s = sin θ, c 2 + s 2 =. Határozzuk meg θ-t úgy, hogy (G kl A) kl =: a kl sa ll + ca kl! = és c 2 + s 2 =. a kl> a ll: τ: = a ll a kl, s: = a kl a ll: τ: = a kl a ll, c: = + τ 2, + τ 2, c: = s τ s: = c τ 2. megjegyzés (QR-bontás) adott: AR mn, mn, rang (A) = n A nulla elemektõl mentes a ij, (j) lépésenkénti eltávolítása