A kompakt gyenge bíborosok meghatározásáról
Olvastam Jech Set című könyvének elméletében a nagy bíborosokról szóló fejezetet. A mérhető bíborosok megbeszélése után rátér a gyengén kompakt bíborosokra, amelyekről a könyv jóval korábban szó esett. Visszatértem a gyenge bíborosokról szóló fejezethez, és elkezdtem újradefiniálni.
Végül erre a pontra jutott:
Denumim $ [k] ^ n = \ $. Ha a $ \ lambda $ kardinális, akkor a $ \ kappa \ to (\ lambda) ^ 2 $ -ot fogjuk hívni, amikor a $ 2 $ minden $ [\ kappa] ^ 2 $ partíciójára $ H \ subseteq \ kappa $ van. a kardinalitás $ \ lambda $, és amelyre a $ [H] ^ 2 $ szigorúan az egyik oldalon áll.
És azt mondjuk, hogy a $ \ kappa $ gyengén kompakt, ha kielégíti a $ \ kappa \ to (\ kappa) ^ 2 $ tulajdonságot.
A probléma az, hogy kissé eltévedtem ezekben a meghatározásokban, és nem is vagyok biztos a $ \ kappa \ to (\ lambda) ^ 2 $ jelölésben.
A kérdéseim, ha igen, tud-e valaki segíteni bizonyos definíciók megértésében, és a kompakt gyenge bíborosoknak létezik egy megfelelő definíciója, amely segíthet jobban megérteni tulajdonságaikat.?
2 válasz
Sokféleképpen gondolkodhatunk ezeken a meghatározásokon. Itt van egy módszer, amellyel megérthetjük például, hogy mit jelent a $ [\ kappa] ^ 2 $, és mit jelent egy homogén részhalmaz, amit intuitívnak találok.
Tegyük fel, hogy van egy teljesen irányítatlan grafikonod, sok $ \ kappa $ csomópontdal. Ez azt jelenti, hogy van $ \ kappa $, és mindegyik párjukat összekötjük egy vonallal. Most tegyük fel, hogy két színünk van: piros és kék, és hogy a két csomópont közötti vonal minden egyes része piros vagy kék színű. Ezeknek a $ \ kappa $ csomópontoknak egy részhalmazát homogénnek nevezzük, ha az egyes csomópontok közötti vonalak azonos színűek (ugyanaz, mintha azt mondanánk, hogy van egy komplett részgráfja, amelynek vonalai egyszínűek).
Most azt mondjuk, hogy a $ \ kappa \ to (\ lambda) ^ 2 $ igaz, ha függetlenül attól, hogy ezeket a vonalakat két színnel festik-e, akkor a $ \ lambda $ kardinalitás homogén halmazát találjuk. Vagyis minden olyan módon, ahol a vonalak színe $ \ lambda $ sok csomópontot találunk, hogy a köztük lévő vonalaknak ugyanaz a színe.
Más szavakkal, minden $ f függvényhez: [\ kappa] ^ 2 \ - 2 $ (ezt úgy gondolhatjuk, mint olyan függvényt, amely a $ \ kappa $ minden két elemét elküldi a két szín egyikére) ($ h $), amelynek kardinalitása $ \ lambda $, így minden $ x, y, z, w \ H $ -ra megvan a $ f (\) = f (\) $.
Ennek a függvénynek az általánosításához, ha az egyes $ f függvényekhez: [\ kappa] ^ n \ to \ mu $ (ismét láthatja ezt a függvényt mint olyan funkciót, amely a $ \ kappa $ minden $ n $ elemét elküldi a $ \ mu $, vagy hogy a $ n $ $ kardinalitás $ \ kappa $ részhalmazait $ \ mu $ partíciókra osztja), találhatunk egy $ H $ halmazt, hogy $ \ left | H \ jobbra = \ lambda $ és minden $ x_1, \ ldots, x_n, y_1, \ ldots, y_n \ H $ értékben $ f (\) = f (\
A nyíl jelölése, annak ellenére, hogy először furcsának tűnik, azért használatos, mert a tulajdonság igaz marad, ha a nyíl bal oldalán lévő bíborost nagyobb bíborossal helyettesítjük, vagy ha a nyíl jobb oldalán található bármely bíborost kisebb bíborossal helyettesítjük (ha a nyíl bal oldalán lévő index nem szerepel, akkor feltételezzük, hogy ez 2). Nyilvánvalónak kell lennie, hogy a jelölésnek csak akkor van jelentése, ha a $ \ lambda hozzáadta 2010. szeptember 7-én 2: 48-kor Jonathan szerzőt.