Gauss-módszer (eliminációs módszer) - Matheretter
Olvasási idő: 15 perc
A Gauss módszerrel (rövidítve a "Gauss eliminációs módszerrel") bármilyen méretű lineáris egyenletrendszer megoldása meghatározható. A módszer az összeadási módszer speciális formája vagy többszörös végrehajtása.
Gauss-módszer az LGS megoldására
Most az alábbiakban szeretnénk megoldani az LGS-t:
\ (\ begin \ text & 3 x & + & 3 y & - & 1 z & = 5 \\ \ text & 4 x & + & 5 y & + & 1 z & = -1 \\ \ text & 2 x & - & 5 y & + & 7 z & = 9 \ end \)
Amint azt a Gauss-módszer teljes neve már sugallja, az addíciós módszer segítségével megpróbálunk több változót kiküszöbölni. Addig folytatjuk ezt, amíg meg nem kapjuk a step formát (más néven line step formát). A lépéses egyenletrendszer később így néz ki:
Tehát kiküszöböljük az x változót a második egyenletben, az x és y változókat pedig a harmadik egyenletben. Több egyenletet/változót tartalmazó egyenletrendszereknél emlékezhet arra, hogy az első egyenlet ugyanaz marad, de minden egyes következő egyenletnél egy további változó ki lesz küszöbölve (balról indulva), így csak egy változó van az utolsó sorban.
Fontos, hogy az illusztráció csak arról szóljon, hogy milyen alaknak van ilyen lépcsős alakja. Ugyanakkor a nem kihagyott változók előtti együtthatók és az egyenlőségjeltől jobbra eső értékek változhatnak, és nem feltétlenül egyeznek meg az eredeti LGS értékeivel, mint az ábrán.
Próbáljuk meg elkészíteni az LGS line-step űrlapunkat:
\ (\ begin \ text & 3 x & + & 3 y & - & 1 z & = 5 \\ \ text & 4 x & + & 5 y & + & 1 z & = -1 \\ \ text & 2 x & - & 5 y & + & 7 z & = 9 \ end \)
Mindenekelőtt meg akarjuk szüntetni az x-et a második egyenletben (a 4 x x kifejezés). Az összeadási módszert alkalmazzuk, és keressünk egy olyan értéket, amely 3-val megszorozva 4-et ad, így kivonhatjuk az első egyenletet a másodikból, és x elmarad. Tehát mi az a értéke 3 · a = 4-ben ?
Ha a-ra konvertálunk, a = - 4/3 értéket kapunk. Tehát meg kell szorozni az I egyenletet - 4/3-mal, hogy az I-t hozzá tudjuk adni a II-hez, és x eltűnik.
Ha ezt megtesszük, és átalakított I egyenletünket hívjuk, akkor a következőket kapjuk:
Írjuk a II egyenletet az I 'alá, és végezzük el az I' + II összeadást:
Most azt akarjuk, hogy x maradjon el a III. Egyenletben, ezért megszorozzuk az I egyenletet \ (\ left (- \ frac \ right) \) és megkapjuk I '':
\ (\ begin \ text & 3 x & + 3 y & - 1 z & = 5 \ qquad |: \ left (- \ frac \ right) \\ \ text & 3 x \ left (- \ frac \ jobbra) + + 3 y \ balra (- \ frac \ jobbra) & - 1 z \ balra (- \ frac \ jobbra) és = 5 \ balra (- \ frac \ jobbra) \\ \ text & -2 x & -2 y & + \ frac z = - \ frac \ end \)
Adjuk össze az I '' és a III.
Most egymás alá írjuk az I, II 'és a III' szót:
Már megvan az első szakaszunk:
Most el kell távolítani az y-t a III 'egyenletből, ismét alkalmazzuk az összeadási eljárást, nevezetesen az utolsó két egyenletre:
Mindkét egyenletnek ugyanazok az y és z változói, elképzelhető, hogy csak 2 változóval rendelkező LGS van. Már megtanultuk, hogyan oldjuk meg az ilyesmit. Tehát kiküszöböljük y-t a III-ban, "szorozva a II-t" 7-el,
Tehát kiszámoljuk a II'7 egyenletet, és meghívjuk az új II''egyenletet:
\ (\ text 0 + 1 y + \ frac z = - \ frac \ qquad | 7 \\ \ text 0 + 7 y + \ frac z = - \ frac \)
Most írjuk egymás alá a II '' és a III 'szót, és adjuk hozzá az egyenleteket. Most a III '' összeget hívjuk:
Ezután egymás alá írhatjuk az I, II 'és III' 'egyenleteket, és lépés formában van egy LGS:
Az ilyen LGS most viszonylag egyszerűen megoldható. A legalacsonyabb egyenlettel indul, és meghatározza az egyenlet egyetlen változójának értékét. Ha a változót, amelynek értéke már ismert, beillesztjük a fenti egyenletbe, majd megoldjuk, megkapjuk a következő változó értékét. Ezután az összes ismert változót a magasabb egyenletbe helyezi, majd újra megoldja.
Tehát először megoldjuk a III '' egyenletet:
Most beilleszthetjük z értékünket a II 'második egyenletbe, és megoldhatjuk y-ra:
\ (\ text 0 + 1 y + \ frac z = - \ frac \ qquad | \ textcolor \\ 0 + 1 y + \ frac \ textcolor = - \ frac \\ 1 y - \ frac = - \ frac \\ 1 y = - \ frac + \ frac \\ y = - \ frac \\ y = -3 \)
Csak az x változóra van szükségünk. Ezt a változót úgy számoljuk ki, hogy y és z beillesztünk az I egyenletbe:
\ (\ text 3 x + 3 y - 1 z = 5 \ qquad | \ textcolor \ text < und >\ textcolor \\ 3 x + 3 \ textcolor - 1 \ textcolor = 5 \\ 3 x - 9 + 2 = 5 \\ 3 x - 7 = 5 \\ 3 x = 12 \\ x = 4 \)
Az LGS megoldásaként:
Ha ezeket az értékeket tesztként felvesszük a három eredeti egyenletbe, akkor azt látjuk, hogy mindhárom egyenlet működik.
\ (\ begin \ text & 3 x & + & 3 y & - & 1 z & = 5 \\ \ text & 4 x & + & 5 y & + & 1 z & = -1 \\ \ text & 2 x & - & 5 y & + & 7 z & = 9 \ end \)