Például a ...
Az interakciók kontrasztok, amelyek más kontrasztok szorzatából származnak. A kontrasztok segítenek megérteni, hogy más kontrasztokon keresztül tapasztalt hatások függenek-e más tényezők jellemzőitől. Vegyünk át néhány példát:
- Előfordulhat, hogy a tanulási stratégia hatékonysága a tanuló előzetes tudásától függ. A magas szintű előzetes tudással rendelkező tanulók profitálnak a tanulási stratégiából, az előzetes ismeretek nélküli tanulók nem részesülnek a tanulási stratégiában.
- A természetben a különböző típusú műtrágyák hatékonysága kölcsönhatásban áll attól függően, hogy a műtrágyát télen vagy tavasszal adják-e hozzá. Mivel a növények alig nőnek télen, a műtrágya télen nem működik, de nyáron igen.
- Az is előfordulhat, hogy a különböző étrendek hatékonysága a személy nemétől függ. Míg a 3. diéta a férfiaknál hatékonyabb, mint a 2. és az 1. diéta, a nőknél ez a hatás nem található meg.
Az interakciók tehát lehetővé teszik számunkra, hogy konkrétabb kérdéseket tegyünk fel az adatkészlettel és határfeltételeket állítsunk fel a hatásokhoz. Ebben a részben megpróbáljuk pontosabban megérteni az interakciókat a lineáris modell segítségével.
10.3.1 Fő hatások és specifikus kontrasztok
Először kezdjük a főbb hatások egyszerűbb értelmezésével. A fő hatások ellenőrzésének eljárása nem különbözik az előző modulokban alkalmazott eljárásunktól. Két modellt hozunk létre (kibővített és kompakt), és egy F-teszt segítségével ellenőrizzük, hogy a további paraméterek csökkentik-e az átlag feletti hibákat. Mivel ezen paraméterek együtthatói konkrét értelmezést tesznek lehetővé, felhasználhatjuk őket statisztikai kérdések megválaszolására. Például független minták esetében tesztelhettük a t-próba átlagos különbségeit, mivel a \ (b_1 \) együttható jelenti az átlagos különbségeket. Viszont a fő hatásokat úgy ellenőrizzük, hogy eltávolítunk minden kontrasztot a kibővített modellből, és teszteljük a tényezők jellemzőinek különbségeit:
| \ (\ lambda_ \) | 2. étrend vs. 3. étrend | 1 | 1 | -2 | 1 | 1 | -2 |
| \ (\ lambda_ \) | 1. diéta és 2. diéta | 1 | -1 | 0 | 1 | -1 | 0 |
| \ (\ lambda_ \) | Férfiak és nők | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 |
| \ (\ lambda_ \) | Interakció \ (\ lambda_ \) és \ (\ lambda_ \) | 1 | 1 | -2 | -1 | -1 | 2 |
| \ (\ lambda_ \) | Interakció \ (\ lambda_ \) és \ (\ lambda_ \) | 1 | -1 | 0 | -1 | 1 | 0 |
Ez a következő modellpár például azt teszteli, hogy a diéták különböznek-e hatékonyságukban. Mivel két ellentét írja le a diéták hatékonyságát, ezért a kompakt modellből eltávolítjuk őket az étrend fő hatásának ellenőrzése érdekében:
A specifikus kontrasztok lehetővé teszik bizonyos hipotézisek tesztelését. Például az a kérdés, hogy a 3. diéta jobb-e, mint az 1. és 2. diéta?
\ [\ begin \ hat & = b_0 + b_1 * X_1 & + b_2 * X_2 + b_3 * X_3 + b_4 * X_4 + b_5 * X_5 \\ \ hat & = b_0 & + b_2 * X_2 + b_3 * X_3 + b_4 * X_4 + b_5 * X_5 \ vég \]
10.3.2 Béta együtthatók az interakciókban
Sokkal nehezebb megérteni, hogy mit jelentenek a paraméterek az interakciókban. Nézzük meg a kontrasztot \ (\ lambda_ \):
| \ (\ lambda_ \) | 2. étrend vs. 3. étrend | 1 | 1 | -2 | 1 | 1 | -2 |
| \ (\ lambda_ \) | Férfiak és nők | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 |
| \ (\ lambda_ \) | Interakció \ (\ lambda_ \) és \ (\ lambda_ \) | 1 | 1 | -2 | -1 | -1 | 2 |
| \ (\ lambda_ \) | Interakció \ (\ lambda_ \) és \ (\ lambda_ \) | \ (1 * 1 \) | \ (1 * 1 \) | \ (1 * (-2) \) | \ (1 * (-1) \) | \ (1 * (-1) \) | \ ((- - 2) * (-1) \) |
Formálisan tudjuk, hogy a kontraszt súlya a többi kontraszt szorzata. Ezután próbáljuk meg kiszámolni a kontraszt béta együtthatóját:
Először meg kell találnunk a csoport jelentését:
| 1 | 0 | -3,050000 |
| 1 | 1 | -3,650000 |
| 2 | 0 | -2.607143 |
| 2 | 1 | -4.109091 |
| 3 | 0 | -5.880000 |
| 3 | 1 | -4.233333 |
Ezen átlagértékek felhasználásával most kiszámíthatjuk a béta együtthatót:
A teljes modell béta együtthatói a következők:
Kiterjesztett modellünk kontraszt súlyát most átalakítottuk adatkeretké. Ezután ezeket a kontrasztokat átadhatjuk az lm függvénynek a paraméterek kiszámításához:
Ennek eredményeként a következő modell jön létre:
\ [Y_i = -3,92 + 0,567 * X_1 + 0,004 * X_2 -0,076 * X_3 -0,449 * X_4 + 0,225 * X_5 \]
10.3.3 A kontraszt béta együtthatójának jelentése (\ lambda_ \)
Annak megértéséhez, hogy mit jelent az interakció béta együtthatója, először segít átnézni a kontraszt egyszerűbb példáját \ (\ lambda_ \):
| \ (\ lambda_ \) | 2. étrend vs. 3. étrend | 1 | 1 | -2 | 1 | 1 | -2 |
A \ (0,567 \) együttható a Diet1, Diet2 és a 3 csoport közötti átlagos értékkülönbséget jelenti. Ezt a kontrasztot használjuk annak ellenőrzésére, hogy a 3. diéta nagyobb súlycsökkenést eredményez-e, mint a másik két diéta. Ennek az állításnak az alátámasztására átfogalmazzuk a béta együttható számítását:
A Diet3 és Diet1/2 hipotézisünk esetében az együttható a következő:
Kis algebra elvégzésével az együtthatót a következő formára konvertálhatjuk:
Ezután mindkét oldalt elosztjuk 2-vel:
- A \ (\ frac_ + \ bar _> \) nem más, mint az 1. diétát kapott emberek átlagértéke.
- A \ (\ frac_ + \ bar _> \) a 2. diétát kapó emberek átlaga.
- A \ (\ frac_ + \ bar _> \) a 3. diétát kapó emberek átlaga. Átfogalmazhatjuk tehát az egyenletet úgy, hogy megadjuk ezeket a számításokat, mivel a csoport azt jelenti:
Az együttható mást nem vizsgál, mint azt a kérdést, hogy a 3. csoport átlaga megegyezik-e a másik két étrendcsoport átlagával:
Az interakció béta együtthatójának átéléséhez most hasonló dolgot fogunk megtenni.
10.3.4 A kontraszt béta együtthatójának jelentése (\ lambda_ \)
Alkalmazzuk ugyanezt az elvet az első interakcióra \ (\ lambda_ \). Az interakció azt vizsgálja, hogy a 3. étrend és az 1. étrend és a 2. étrend hatása attól függ-e, hogy a diétákat férfiaknak vagy nőknek adják-e be.
| \ (\ lambda_ \) | Interakció \ (\ lambda_ \) és \ (\ lambda_ \) | 1 | 1 | -2 | -1 | -1 | 2 |
A \ (b_4 \) paraméter kiszámítása a következőképpen történik:
Ha megosztjuk a számlálót és a nevezőt 2-gyel, kapjuk:
Most már láthatja, hogy a zárójelben ugyanaz a kérdés szerepel, amelyet \ (\ lambda_ \) segítségével tettünk fel magunknak. A 3. diéta hatékonyabb, mint az 1. és 2. diéta?
Ezúttal azonban arra vagyunk kíváncsiak, vajon megegyezik-e a diéták különbsége a férfiak és a nők esetében?
A \ (b_4 \) együttható pedig pontosan ezt a kérdést jelenti. A nullhipotézisben feltételezzük, hogy nincs különbség e különbség között:
Miután az F-teszt jelentős, feltételezzük, hogy a 3. étrend és az 1. étrend hatása eltérő a férfiak és a nők esetében. Ebben az esetben kiszámoljuk az egyszerű effektusokat, hogy megtudjuk, mi a különbség.
10.3.5 Megjelenítés
Az interakciók jobb megértése érdekében gyakran tanácsos megnézni az átlagértékek vizualizációját. A megjelenítésnek úgy kell kinéznie, hogy a diéta az X-tengelyen, a súlycsökkenés pedig az Y-tengelyen látható. Az egyes vonalak jelzik a nemet. Először ki kell számolnunk a súlycsökkenés különbség mértékét, és a tényezőket R tényezőkké kell átalakítanunk:
Ezután kiszámoljuk az egyes csoportok átlagértékeit:
Vizualizálja a csoport átlagértékeit:
Valójában a 3. diéta hatása sokkal jobbnak tűnik a nőknél, mint a férfiaknál. Ennek az intuíciónak a teszteléséhez kiszámoljuk az egyszerű hatásokat egy jelentős interakció után.
10.3.6 Egyszerű hatások és post-hoc elemzés
Az interakciók egyszerűen azt mondják nekünk, hogy az egyik hatásban különbség van egy másik tényező súlyosságától függően. Nem árulják el, mi ez a különbség. Ehhez kiszámoljuk az egyszerű effektusokat vagy a post-hoc teszteket.
Az egyszerű effektek nem mások, mint varianciaanalízisek, amelyeket egy tényező több értékére számolunk. Például tesztelhetnénk a kontrasztos 3. és 2. étrendet a férfiak és a nők egyirányú varianciaanalízisével.
A post-hoc tesztekben általában összehasonlítjuk az összes lehetséges csoport párját és ellenőrizzük a jelentőségüket. Más szavakkal: kiszámítunk egy t-tesztet minden csoportpárra, és korrigáljuk az alfa szintet az I. típusú hiba felfújásának elkerülése érdekében. Erre később visszatérünk a részletes példában.
Ügyeljen arra is, hogy az interakciók fő hatásait ne lehessen értelmezni, mivel a fő hatások egy másik tényező jellemzőitől függenek. Ezért mindig ajánlatos jelenteni az egyszerű hatásokat az interakciók során, és nem a fő hatást értelmezni.