A háztartás optimuma
Most két fontos információval rendelkezünk a (modell) háztartásokról: Egyrészt tudjuk, mit engedhetnek meg maguknak. Másodszor, tudjuk, mit akarnak. Mindkettőt grafikusan megjeleníthetjük: Amit megengedhet magának, azt a költségvetési korlátozással megmutatjuk az árutérben. A közömbösségi görbék segítségével ugyanabban a diagramban megmutathatjuk, mit akarnak. Annak érdekében, hogy lássuk, miként teljesíthetik legjobban kívánságaikat a költségvetési korlátok között, csak össze kell hozni a két szempontot.
Ehhez vegyük fel a numerikus példát, amelyet a költségvetési sor összeállításakor használtunk. 1000 eurós E jövedelemmel a háztartás X és Y árukat vásárolhat, amelyek egyenként 5 és 4 euróba kerülnek. Az általunk megállapított költségvetési korlátot itt mutatjuk be az 1. ábrán. A háztartás jövedelmével fizethetett az R árucsomagért; Megengedhette magának S-t anélkül, hogy a jövedelmét teljesen elköltötte volna, és az 1000 EUR-s jövedelem nem lenne elegendő a Q árucsomag megvásárlásához.
A sárga terület mutatja az 1000 EUR jövedelemmel rendelkező háztartás költségvetési korlátozását, aki jó X-et vásárolhat 5 EUR-ért, jó Y-t pedig 4 EUR-ért.
Feltételezzük, hogy a háztartásnak vannak preferenciái az árukkal kapcsolatban, amelyeket az U = XY hasznossági függvény segítségével lehet ábrázolni. Ez ugyanaz a hasznossági függvény, amelyet a sajthenger-sör példában találtunk, és amelyhez már készítettünk közömbösségi görbéket. A 2. ábrán ehhez a segédfunkcióhoz három kiválasztott közömbösségi görbét rajzolunk. A görbék indexértékei a teljes skála ábrán 5000, 12 500 és 20 000.
Az U = XY segédfunkció kiválasztott közömbösségi görbéi.
Például feltérképezhettük volna a háztartás preferenciáit az U = (XY) 0,5 segédfunkcióval. Ha ezt a függvényt használtuk volna, akkor a 70.71, 111.80 és 141.42 hasznossági index értékeinek azonos leképezését kaptuk volna.
Az U = (XY) 0.5 hasznossági függvénnyel Gossen első törvénye mindkét árura vonatkozik, mert a második parciális derivált negatív. Ugyanezeket a preferenciákat U = XY is képviseli. Gossen törvénye vonatkozik erre a segédfunkcióra is?
Most azt a két gondolatot hozzuk össze, hogy mit akar és mit engedhet meg magának a háztartás, egyszerűen az 1. és 2. ábra két diagramjának egymásra helyezésével (lásd a 3. ábrát). A háztartás szeretné elérni az I3 közömbösségi görbét (mert a három kihúzott közömbösségi görbe legnagyobb előnyét mutatja), de a költségvetési korlátozás nem teszi lehetővé. A legmagasabb elérhető közömbösségi görbe nyilvánvalóan az, amely befolyásolja a költségvetési sort. Az egyensúly feltételezése (a közömbösségi görbék konvexitása; a helyettesítés marginális sebességének csökkenése) biztosítja, hogy egyértelmű tangenciális pont legyen.
A költségvetési megszorítások és a közömbösségi görbék ötvözésével olyan információkhoz juthatunk, amelyeket a háztartás teljesíteni kíván az adott árak és jövedelmek mellett.
Az érintőpontot a 4. ábra jelöli. A háztartás akkor éri el a lehető legnagyobb hasznot, ha jövedelmét a P árucsomagra költi, azaz 100 X-et és 125 Y-t vásárol - amint az a grafikonból meghatározható a "szoros megtekintés módszerével". Ezt az árucsomagot vagy a P pontot háztartási optimálisnak vagy háztartási egyensúlynak nevezzük.
A háztartás egyensúlyban van, amikor elfogyasztja a P-csomagot.
ban,-ben Háztartási egyenleg (vagy optimális) a költségvetési sor meredeksége és a közömbösségi görbe megegyezik.
Jövő karácsony biztosan eljön .
A háztartási egyenleg fogalmának felhasználásával fontolja meg, hogy egy pénzajándék általában (és a feltételezések szerint) élvezhetőbb-e, mint a természetbeni ajándék.
Egyébként P nem érintő, hanem metszéspont lenne. Az előző szakaszban meghatároztuk a közömbösségi görbe (abszolút) meredekségét X és Y határhasznosításának arányaként (lásd a 6. ábrát és az ottani [5] egyenletet). A költségvetési sor (abszolút) meredeksége megfelel az X és Y áruk árarányának (lásd 4. ábra). Tehát a költségvetési egyensúlyban ez a két áru hasznosságának aránya megfelel az árarányuknak. Ez a megállapítás az n-goods esetre is vonatkozik, így általában megfogalmazható:
A háztartási optimumban két termék határhasznosítási aránya megegyezik az árarányukkal.
Mivel a marginális hasznossági arány megfelel a negatív inverz marginális helyettesítési aránynak, a következők is érvényesek:
A helyettesítés (abszolút) marginális aránya a háztartások egyensúlyában megfelel az áruk inverz árarányának.
Ezek furcsán hangzó és nehezen érthető állítások. De egy ellenpélda egyértelművé teszi, hogy ennek így kell lennie. Ehhez az 5. ábrán egy olyan esetet veszünk figyelembe, amelyben a háztartás nincs egyensúlyban az R pontban. A marginális hasznosság aránya nem esik egybe az áruk arányával. Ez 5/4 = 1,25, és negatív előjellel mutatja a költségvetési sor meredekségét. Tehát a háztartás 1,25 egységgel több Y-t engedhet meg magának állandó kiadásokkal, ha egy X egységtől eltekint.
R-től kezdődően a háztartás növelheti hasznosságát, mivel a piacon lévő jó Y-t kevesebb X-re cserélheti, mint amennyit hajlandó lenne lemondani közömbösség esetén.
Most egy tangens van R-ben lefektetve annak felismerése érdekében, hogy a háztartás közömbösség esetén hogyan cserélne árut egymásra. Az a kék vonal majdnem ötször hosszabb, mint a zöld b vonal. Tehát közömbösség esetén a háztartás hajlandó lenne lemondani 5 X egységről 1 Y egységre. Ha valóban lemondana 5 egység X-ről, 6,25 egység Y-t vásárolhatna cserébe. Az uralkodó piaci árakon sokkal olcsóbban tudja kicserélni Y-t X-re, mint ami a közömbösséghez szükséges lenne. Egy egység Y elegendő lett volna neki a közömbösséghez, valójában 6,25 egységet kap. Következésképpen feljebb lép a költségvetési soron, azaz több Y-t és kevesebb X-t fogyaszt.
Akinek az alma két körtét ér, az biztosan ad körtét, ha almát tud cserélni rá. Ez magától értetődő. De ez - amilyen egyszerűnek hangzik - a kulcs a modell megértéséhez.
Amíg R-ből "vándorol" P irányába, addig Y fogyasztása nő, Xé pedig csökken. A csökkenő marginális helyettesítési törvény törvénye alapján ez az Y csökkenésének csökkenéséhez és az X felértékelődésének növekedéséhez vezet. Amíg a háztartás el nem éri a P pontot, elvileg ugyanazok a megfontolások érvényesek, mint az R pontban: a háztartás jobb arányban cserélhet árukat a piacon, mint amennyi a használat állandóan tartása érdekében szükséges. Magában a P pontban pontosan abban az arányban tudja kicserélni a piacon lévő árukat, hogy a felhasználása állandó legyen.
Egy másik módszer annak tisztázására, hogy az 5. ábra R miért nem lehet optimális a háztartásban, a következő: Ha az R közömbösségi görbén halad az S irányába, az előny megmarad állandó. Ugyanakkor az egyik a költségvetési tétel alá kerül. A háztartás már nem költi teljes jövedelmét, mint R-ben. Ez nyilván azt jelenti, hogy "ugyanolyan előnyöket vásárolhat kevesebb pénzért". De akkor lehet, hogy R-ben nem volt optimális helyzetben. Ezzel szemben a háztartás nem tudja "megvásárolni" a P-ben elért előnyöket a teljes jövedelménél kisebb összeggel. Ennek megfelelően P-től nem lehetséges javulás. Így P optimális. (Ez az érvelés szorosan kapcsolódik a "kettős probléma" kulcsszó alatt ismert megfontoláshoz: Az I2 hasznosság adott szintjére a jövedelem adott áron minimálisra csökken. Tehát a háztartás lehető legalacsonyabb kiadásait kell elérni ennek a hasznossági szintnek a elérése érdekében. Ily módon úgy tűnik, hogy P a háztartás egyenlege - és egyszer nem csalóka.)
Ellenőrizze, hogy ugyanazt az eredményt kapja-e az U = (XY) 0.5 hasznossági függvénnyel és a háztartási egyensúly szükséges feltételével az [1] egyenletből, mint a numerikus példában a szomszédos szövegben az U = XY segédfunkcióval.
Mielőtt K. úr úgy döntött, hogy lefogy, hasznossági funkciója U = 3S 0,5 A 0,5 volt, ahol S jelentése csokoládé, A pedig alma. Egy kg csokoládé ára pS = 4, egy kg alma ára pA 2 EUR. K. úr havonta 200 eurót költ almára és csokoládéra. Döntése szerint K. úr hasznossági függvénye U = 4S 0,25 A.
Hány kg-mal kevesebb csokoládét eszik K úr?
Beszélje meg (vázlatokkal):
a) Ha egy háztartás optimálisan fogyaszt 21 egység jó x-et és 42 egység jó y-t, akkor a jó x pontosan kétszer olyan drága, mint a jó y.
b) Ha a háztartás jövedelme megháromszorozódik, a fogyasztás x-ről 63-ra, y-ról 126 egységre növekszik
Aki tudja, hogyan lehet maximalizálni az U (x, y) értéket az EВ = В pxxВ + В pyy korlátozás alatt, kiszámolhatta a háztartási egyensúly szükséges feltételét is:
Az U = XY segédfunkcióval ellátott numerikus példánál megkapjuk
és az 1000 = 5x + 4y költségvetési sor egyenletét használva az optimális mennyiségek y * = 125 és x * = 100.
Ennek a szakasznak a fő eredménye két változatban van:
Grafikusan: A költségvetés egyensúlyban van, ahol a költségvetési sor megérinti a (legmagasabb) közömbösségi görbét.
Elemző: A háztartás egyensúlyban van, ha a határhasznosítás aránya megegyezik az áruk árarányával (lásd az [1] egyenletet).
Ezt az eredményt hívják Gossen második törvénye (szinonimája: ekvimarginális elv, haszon marginális kompenzációs szabály, a súlyozott marginális hasznosság kiegyenlítésének törvénye, Gossen marginális haszon kompenzációs törvénye) ismert.
Két változó U (x, y) függvényének maximális feltétele
Az A szélső pontban az x és y értékek végtelen kis változásai nem vezetnek a függvény értékének változásához.
az 1. ábra A pontjában grafikusan látható, hogy a tengelyekkel párhuzamos marginális mozgások állandó értéken tartják a függvény értékét (ez a citrom legalacsonyabb pontján is így lenne, így a feltétel nem elegendő, hanem csak azért szükséges, mert a minimumra is vonatkozik).
A B pontban viszont felismerjük, hogy az y értékének növekedése növelné a függvény értékét. Nyilvánvaló, hogy a B-ben még nincs a citrom legmagasabb pontján.
A költségvetési korlátozás eredményeként, amelyet az ábrán e-hez hasonló egyenes vonallal ábrázolnak, dx és dy független mozgások nem lehetségesek. Az x változása az y áruk megfelelő változásához kapcsolódik az áruk árának arányán keresztül (a költségvetési tétel meredeksége):
Grafikus szempontból ez szinonimája a citrom függőleges vágásának e-n, és a vágott él legmagasabb pontjának keresése.
Az [1] -be beillesztett [2a] egyenlet eredményez
vagy szavakkal: A marginális hasznosság arányának a költségvetési egyensúlyban meg kell egyeznie a megfelelő árak arányával (Lásd még. Lagrange-módszer elegánsabb módszerhez).
Alternatív értelmezés lehetséges a közömbösségi görbe és a költségvetési sor grafikus ábrázolásával (P pont a 4. ábrán): A közömbösségi görbén a dU hasznosság változása értelemszerűen nulla. Lejtése így megadható [1]
A legmagasabb közömbösségi görbét ott érjük el, ahol a költségvetési sor egy közömbösségi görbét érint. A közömbösségi görbe és a költségvetési tétel csak akkor tud érinteni, ha a dy/dx meredekségük megegyezik (különben kereszteznék egymást). A költségvetési tétel lejtésének [2a] -tól tehát meg kell egyeznie a közömbösségi görbe meredekségével [4] -től:
A Második Gossen-törvény Hermann Heinrich Gossen (1810-1858) - természetesen, mint az első - megtalálható az "Emberi kapcsolat törvényeinek és az abból fakadó emberi cselekvés szabályainak kidolgozása" című, 1854-ben megjelent fő művében:
Gossen második törvénye
"Annak a személynek, aki szabadon választhat több öröm közül, de akinek ideje nem elegendő mindannyiuk teljes felkészítéséhez, ennek az élvezeteknek az abszolút méretétől függetlenül különböznie kell attól, hogy élvezeteinek összege a legnagyobb legyen. hozzák, még mielőtt teljesen elkészítené a legnagyobbat, mindannyian részben felkészülnek, és olyan arányban, hogy az öröm mennyisége abban a pillanatban, amikor az előkészítése megszakad mindenkinek, ugyanaz marad. "
Ma már többféle néven is ismert: Equimarginalprinzip, Marginal utility equalization rule, Törvény a súlyozott marginális hasznosság kiegyenlítéséről, Gossen marginális haszonegyenlítési törvény.
Még ha kissé elavultnak is hangzik, pontosan leírja azt a helyzetet, amelyben a költségvetési tétel a legmagasabb közömbösségi görbét érinti. Gossen azonban továbbra is meg volt győződve a haszon kardinális mérhetőségéről, így azt gondolta volna, hogy kimondhatja a hasznosság növekedését, amely akkor következik be, ha egy eurót egy bizonyos árura költenek. Gossen második törvényét hasonló módon, de a korábbinál némileg korszerűbben a következőképpen lehetne megfogalmazni: "Az x jószágra költött utolsó eurónak ugyanolyan haszonnövekedést kell eredményeznie a költségvetési egyensúlyban, mint a legutóbbi jó évre költött euró." ha nem így van, akkor az előny növelhető, ha valaki egy euróval kevesebbet költ x-re és egy euróval többet y-re (vagy fordítva). Gossen első törvénye akkor biztosítja, ha mindkét árura vonatkozik, hogy létezik egy optimális. Formálisan és tetszőleges számú árura vonatkozóan Gossen második törvénye a következőképpen is megfogalmazható: "Az egyes áruk határhasznosításának és az áruk árának elosztva minden áru esetében azonosnak kell lennie."
Gossen meg volt győződve arról, hogy az embereknek csak ezt a szabályt kell betartaniuk a legnagyobb boldogság elérése érdekében. Szerette volna, ha szabályait cselekvési utasításként értelmezik, és a természeti törvények minőségének tulajdonítják őket. Valószínűleg azért is, mert az elsők között matematikát használt az eredmények levezetésében. Nélkülük Gossen szerint a közgazdaságtan nem lenne lehetséges. És ha ki tudnád számolni, és így "bizonyítani", akkor kétségtelenül helyesnek, igaznak kellett lennie!?
| Órák | В VWLВ | В BWLВ | statisztika |
| 0 | 20 | 40 | 80 |
| 1 | 45 | 52 | 90 |
| 2 | 65 | 62 | 95 |
| 3 | 75 | 71. | 97 |
| 4 | 83. | 78 | 98 |
| 5. | 90 | 83. | 99 |
| 6. | 92 | 86 | 99 |
Martin Bergmann már tanulmányozta a jogot; jelenleg a középfokú diplomára készül. Tanulmányai mellett B. továbbra is részmunkaidőben dolgozik egy ügyvédi irodában, így napi 6 órája van a vizsga előkészítésére. Természetesen már nem készíti fel magát az igazságosságra. A lehető legjobb középfokú oklevél érdekli, amelynek összértékét az egyes évfolyamok egyszerű átlagaként számolják. Gyanítja, hogy vizsgánként 100 lehetséges pont alternatív terhelésével a következő eredményeket érheti el:
В В
Hogyan osztja fel B. minden nap hat órás felkészülési idejét? Hogyan érte el az eredményt?
Keressen hasonló oldalakat a WWW-n: